人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案

第三章  圆锥曲线的

3.1  椭圆

3.1.1  椭圆及其标准方程

一、教学目标

1、了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2、掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.

二、教学重点、难点

重点： 对椭圆的定义的准确掌握，椭圆的两种形式的标准方程

难点： 椭圆定义的应用、求各种条件下的椭圆标准方程

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【序言】阅读课本，用时1分钟

【发现】

【科普视频】椭圆与开普勒第一定律等

【情景一】太阳系行星的运动轨迹

【情景二】鸟巢的顶棚的开口的形状

【发现】通过多个渠道我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？

（二）阅读精要，研讨新知

【数学实验】

【思考】结合实验及上面的问题，你能给椭圆下一个定义吗？

【椭圆定义】我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆(ellipse). 这两个定点叫做椭圆的焦点(focus)，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(focus distance).

【椭圆定义解读】

思考：在平面内动点到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？

（1）…………轨迹为椭圆

（2）…………轨迹为线段

（3）…………轨迹不存在

【坐标法演绎椭圆】

【问题】如何建立适当的坐标系呢？ 建立坐标系的原则是：对称，简洁.

设是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为和，椭圆的焦距为，与和的距离的和等于.

请同学们阅读验算课本中椭圆标准方程的推导过程，并记忆默写椭圆的标准方程.

【关键步骤解读】化简到时

令，则

所以，即

【椭圆标准方程认知】

【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2、例3（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且过点，求它的标准方程.

解：方法一：由已知，设所求椭圆方程为，

由椭圆定义知，，所以

所以，所求椭圆方程为

方法二：由已知，设所求椭圆方程为，则   ①

又点在椭圆上，所以     ②，联立解方程组得

因此所求椭圆方程为

例2如图3.1-5，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足。当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么?为什么? (当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合. )

解：设点,则点.由点是线段的中点，得

，

因为点在圆上，所以  ①

把代入方程①，得，

即

所以点的轨迹是椭圆.

【发现】可以由圆通过“压缩”得到椭圆.

【思考】你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗?如何“拉伸”?由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗?

例3如图3.1-6. 设，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.

解：设点，由已知，，

所以

化简得点的轨迹方程为，

所以点的轨迹是除去两点的椭圆.

【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

类型一　求椭圆的标准方程

1.中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点的椭圆的标准方程为_____________.

解：方法一：（1）当椭圆焦点在轴上时,可设椭圆的标准方程为

依题意,有      ①               ②

解①②得，与矛盾，舍去

（2）当椭圆焦点在轴上时,可设椭圆的标准方程为

依题意,有      ①               ②

解①②得

所以，所求椭圆的标准方程为

方法二:设椭圆的方程为（忽略焦点的位置，由的大小来确定）

则      ①               ② 

解得

所以，所求椭圆的方程为，即椭圆的标准方程为

答案：

类型二　椭圆定义及其应用

2. 椭圆 的焦点为，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 (　　)

A.20         B.12      C.10       D.6

解：因为过，所以

由椭圆定义知，

所以的周长为，故选A.

3. 点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，则圆心的轨迹方程为___________.

解：由已知，圆方程化为，所以圆心为半径

因为动圆与已知圆内切且过点，所以，所以动点的轨迹是椭圆.

所以，,所以圆心的轨迹方程为

答案：

4.如图，圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于，则点的轨迹方程为_____________.

解：由垂直平分线性质可知，

所以

所以，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，

且，所以所求轨迹方程为

答案：

类型三　椭圆中的焦点三角形

5.是椭圆上的一点, 为两个焦点,若,则的面积为(　　)

A.            B.            C.4          D.2

解：设，由椭圆的定义得,

在中,由余弦定理得，

即，所以

所以，故选B.

6. 已知椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为________.

解：由已知

所以，所以

答案：

类型三　与椭圆有关的轨迹问题

7.设定点点是椭圆上的动点,则线段的中点的轨迹方程为_____________.

解：设，依题意    ①

因为为线段的中点,所以 ，所以代入①得

所以点的轨迹方程为

答案：

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题3.1   1、2、5、6、9、10

2.预习3.1.2  椭圆的简单的几何性质

五、教学反思：（课后补充，教学相长）