方程 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版

这是一份方程 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版，共13页。试卷主要包含了若关于x的方程，分式方程的解是，方程、、、中分式方程的个数是，下列是一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学专题复习--方程
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠l B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
2．分式方程的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝﹣1 D．x＝1
3．方程、、、中分式方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．为执行“两免一补”政策，某地区2021年投入教育经费2500万元，预计2023年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x．则下列方程正确的是（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）2＝3600
C．2500（1+x%）2＝3600
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
5．下列是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x+＝1 D．x2+2x+1＝0
6．某学校举行篮球对抗赛，有x支球队参加，每两队之间比赛一场，共安排了28场比赛，则符合题意的方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
7．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝110 B．x（x+1）＝110 C．（x+1）2＝110 D．（x﹣1）2＝110
8．2022年新冠疫情依然很严重，疫情未结束，防控不松懈，戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足方程（　　）
A．25x2＝16 B．25（ 1﹣2x）＝16
C．25（1﹣x）2＝16 D．25（1﹣2x）2＝16
9．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．某特许零售店“冰墩墩”的销售火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3（1+x）2＝9.93
B．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93
C．3+3x+3（1+x）2＝9.93
D．3+3（1+x）2＝9.93
10．某服装公司今年10月的营业额为200万元，按计划第四季度的总营业额要达到900万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　）
A．200（1+x）2＝900
B．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝900
C．200[1+x+（1+x）2]＝900
D．900（1+x）2＝200
二．填空题（共5小题）
11．方程（x+1）2＝1的根是 　 　．
12．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为29米的篱笆围成，已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为100平方米，根据题意列方程为 　 　．

13．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 　 　．
14．方程的最简公分母是　 　 　．
15．请填上适当的m值，使得关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，m的值为 　 　．
三．解答题（共6小题）
16．解下列方程
（1）2x+3＝5；
（2）3x﹣4＝2x+8．
17．解方程：
（1）10x﹣3（x﹣4）＝2（x+1）．
（2）−1＝．
18．解方程：4x2﹣16x﹣3＝0（用配方法）．
19．解方程：（2x+1）2﹣（x﹣6）2＝0．
20．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的取值范围．

2023年中考数学专题复习--方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠l B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义，可得m﹣1≠0，据此可得答案．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．分式方程的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝﹣1 D．x＝1
【分析】根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：两边同乘x（x﹣2），
得5x＝3（x﹣2），
解得x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是原方程的根，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
3．方程、、、中分式方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：根据分式方程的定义可知：、、是分式方程，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数，这是解答此题的关键．
4．为执行“两免一补”政策，某地区2021年投入教育经费2500万元，预计2023年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x．则下列方程正确的是（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）2＝3600
C．2500（1+x%）2＝3600
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
【分析】利用预计该地区2023年投入教育经费的金额＝该地区2021年投入教育经费的金额×（1+这两年投入教育经费的年平均增长百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2500（1+x）2＝3600，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．下列是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x+＝1 D．x2+2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．2x+1＝0为一元一次方程，所以A选项不符合题意；
B．x2+y＝0为二元二次方程，所以B选项不符合题意；
C．x+＝1是分式方程，所以C选项不符合题意；
D．x2+2x+1＝0为一元二次方程，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
6．某学校举行篮球对抗赛，有x支球队参加，每两队之间比赛一场，共安排了28场比赛，则符合题意的方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝28，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝110 B．x（x+1）＝110 C．（x+1）2＝110 D．（x﹣1）2＝110
【分析】由参加聚会小朋友的人数为x人，可得出每人需赠送出（x﹣1）件礼物，根据全部小朋友共互赠了110件礼物，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵参加聚会小朋友的人数为x人，
∴每人需赠送出（x﹣1）件礼物．
根据题意得：x（x﹣1）＝110．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．2022年新冠疫情依然很严重，疫情未结束，防控不松懈，戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足方程（　　）
A．25x2＝16 B．25（ 1﹣2x）＝16
C．25（1﹣x）2＝16 D．25（1﹣2x）2＝16
【分析】利用经过两次降价后口罩的价格＝口罩的原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得25（1﹣x）2＝16，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．某特许零售店“冰墩墩”的销售火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3（1+x）2＝9.93
B．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93
C．3+3x+3（1+x）2＝9.93
D．3+3（1+x）2＝9.93
【分析】根据该店10月份的销售量及11，12月份销售量的平均增长率，可得出该特许零售店11月“冰墩墩”的销量为3（1+x）万件，12月“冰墩墩”的销量为3（1+x）2万件，结合该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该特许零售店10月“冰墩墩”的销量为3万件，且11，12月份销售量的平均增长率为x，
∴该特许零售店11月“冰墩墩”的销量为3（1+x）万件，12月“冰墩墩”的销量为3（1+x）2万件，
又∵该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，
∴可列方程为3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．某服装公司今年10月的营业额为200万元，按计划第四季度的总营业额要达到900万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　）
A．200（1+x）2＝900
B．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝900
C．200[1+x+（1+x）2]＝900
D．900（1+x）2＝200
【分析】由该服装公司今年10月的营业额及该公司11，12两个月营业额的月均增长率，可得出该服装公司今年11月的营业额为200（1+x）万元，12月的营业额为200（1+x）2万元，结合该服装公司第四季度的总营业额要达到900万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该服装公司今年10月的营业额为200万元，该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，
∴该服装公司今年11月的营业额为200（1+x）万元，12月的营业额为200（1+x）2万元．
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝900，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝900．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．方程（x+1）2＝1的根是 　x1＝0，x2＝﹣2　．
【分析】把方程两边开方得到x+1＝±1，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x+1）2＝1，
x+1＝±1，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
12．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为29米的篱笆围成，已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为100平方米，根据题意列方程为 　x（29+1﹣2x）＝100　．

【分析】根据各边之间的关系，可得出这个苗圃园平行于墙的一边长为（29+1﹣2x）米，根据苗圃园的面积为100平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长度为29米，这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，
∴这个苗圃园平行于墙的一边长为（29+1﹣2x）米．
∵苗圃园的面积为100平方米，
∴根据题意列方程为x（29+1﹣2x）＝100．
故答案为：x（29+1﹣2x）＝100．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 　6　．
【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m＝9，利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，再将其代入m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）中，即可求出结论．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9．
∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
14．方程的最简公分母是　 　2x﹣3　．
【分析】把方程，化为+1＝﹣，即可得出最简公分母是2x﹣3．
【解答】解：∵，
∴+1＝﹣，
∴最简公分母是2x﹣3．
故答案为：2x﹣3．
【点评】本题考查了解分式方程，最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键．
15．请填上适当的m值，使得关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，m的值为 　不为0的实数　．
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【解答】解：因为关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，
所以m≠0，
即m的值为不为0的实数．
故答案为：不为0的实数．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
16．解下列方程
（1）2x+3＝5；
（2）3x﹣4＝2x+8．
【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【解答】解：（1）2x+3＝5，
∴2x＝5﹣3，
∴2x＝2，
∴x＝1；
（2）3x﹣4＝2x+8，
∴3x﹣2x＝8+4，
∴x＝12．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
17．解方程：
（1）10x﹣3（x﹣4）＝2（x+1）．
（2）−1＝．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【解答】解：（1）10x﹣3（x﹣4）＝2（x+1），
去括号，得10x﹣3x+12＝2x+2，
移项，得10x﹣3x﹣2x＝2﹣12，
合并同类项，得5x＝﹣10，
系数化为1，得x＝﹣2．
（2）−1＝，
去分母，得3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），
去括号，得9x﹣3﹣12＝10x﹣14，
移项，得9x﹣10x＝﹣14+3+12，
合并同类项，得﹣x＝1，
系数化为1，得x＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18．解方程：4x2﹣16x﹣3＝0（用配方法）．
【分析】利用配方法得到（x﹣2）2＝，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：4x2﹣16x﹣3＝0，
x2﹣4x＝，
x2﹣4x+4＝+4，
（x﹣2）2＝，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
19．解方程：（2x+1）2﹣（x﹣6）2＝0．
【分析】利用因式分解法把方程转化为（2x+1）+（x﹣6）＝0或（2x+1）﹣（x﹣6）＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（2x+1）2﹣（x﹣6）2＝0，
[（2x+1）+（x﹣6）][（2x+1）﹣（x﹣6）]＝0，
（2x+1）+（x﹣6）＝0或（2x+1）﹣（x﹣6）＝0，
所以x1＝，x2＝﹣7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？

【分析】设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为2xcm，除彩条之外的部分可合成长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的长方形，根据除彩条之外的部分所占面积是图案面积的（1﹣），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出竖彩条的宽度，再将其代入2x中，即可求出横彩条的宽度．
【解答】解：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为2xcm，除彩条之外的部分可合成长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的长方形，
根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2×2x）＝30×20×（1﹣），
整理得：x2﹣20x+19＝0，
解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴2x＝2×1＝2．
答：横彩条的宽度是2cm，竖彩条的宽度是1cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝a2≥0，则根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝1，x2＝a+1，再根据方程的两个实数根都是正整数得到a+1≥1．所以a≥0且a为整数．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4（a+1）
＝a2+4a+4﹣4a﹣4
＝a2，
∵a2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根；
（2）解：x＝，
∴x1＝1，x2＝a+1，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴a+1≥1．
解a≥0，
∴a的取值范围为a≥0且a为整数．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的意义．