锐角三角函数 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版

这是一份锐角三角函数 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版，共21页。试卷主要包含了如图，AD是△ABC的高等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学专题复习--锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，坡高BC＝2m，则迎水坡宽度AC的长为（　　）

A．2m B．4m C．2m D．6m
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，cosB＝，则AC的长为（　　）

A．9 B．10 C．12 D．13
4．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么下列结论正确的是（　　）

A．CD＝AB•tanB B．CD＝BC•sinB
C．CD＝AC•sinB D．CD＝AD•cotA．
6．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tanC＝2，则边AB的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．6
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（　　）
A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
9．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．1
10．在Rt△ABC中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（　　）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 　 　．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanB＝　 　．
13．要求tan30°，我们可以通过构造直角三角形进行计算：在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，利用三角函数定义可求出tan30°的值，请在此基础上计算tan75°＝　 　（结果保留根号）．
14．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝　 　．
15．如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅AB，现在乙建筑物的顶部C测得条幅顶端A的仰角为45°，条幅底端B的俯角为30°，已知街道宽MN＝42m，则广告条幅AB的长是 　 　．（结果保留根号）

三．解答题（共6小题）
16．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平地面40cm，点C距离水平地面61cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的值（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正切值．

18．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？

19．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

20．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）

21．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．


2023年中考数学专题复习--锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，坡高BC＝2m，则迎水坡宽度AC的长为（　　）

A．2m B．4m C．2m D．6m
【分析】由堤高BC＝2米，迎水坡AB的坡比1：，根据坡度的定义，即可求得AC的长．
【解答】解：迎水坡AB的坡比是1：，即tan∠A＝，
则＝，
又∵BC＝2米，
∴AC＝BC＝2（米）．
故选：A．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，注意理解坡度的定义是解此题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，
∴AC＝＝＝2，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝＝，cotA＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，cosB＝，则AC的长为（　　）

A．9 B．10 C．12 D．13
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出BC，再利用勾股定理求出AC．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝15，cosB＝＝，
∴BC＝12．
∴AC＝
＝
＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
4．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出△ABO的三边，再判断△ABO的形状，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：连接AB．
∵点O、A、B在格点上，
∴OB＝＝2，
OA＝＝，
AB＝＝．
∵（）2+（）2＝（2）2，
∴AB2+OA2＝OB2．
∴△OAB是直角三角形．
∴sin∠AOB＝＝＝．
故选：D．

【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么下列结论正确的是（　　）

A．CD＝AB•tanB B．CD＝BC•sinB
C．CD＝AC•sinB D．CD＝AD•cotA．
【分析】在不同的直角三角形中由锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∵tanB＝，
∴CD＝BD•tanB，
因此选项A不符合题意；
∵sinB＝
∴CD＝BC•sinB，
因此选项B符合题意；
在Rt△ADC中，
∵sinA＝，
∴CD＝AC•sinA，
因此选项C不符合题意；
∵tanA＝，
∴CD＝AD•sinA，
因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
6．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tanC＝2，则边AB的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．6
【分析】利用题目信息得到AD的长度，然后根据AD和BD的长度判断出△ABD的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到AB的长度．
【解答】解：由题意可知，
tanC＝＝2，
∵CD＝2，
∴AD＝4，
∴AD＝BD＝4，
∵AD⊥BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有45°角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（　　）
A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝
【分析】先利用勾股定理计算出AB＝2，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义求出∠A的四个三角函数值，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，
∴AB＝＝2，
∴tanA＝＝＝，cotA＝＝＝，sinA＝＝＝，cosA＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【分析】先根据勾股定理计算出AC＝，然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝，
∴sinA＝＝，cosA＝＝．tanA＝＝＝，cotA＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．
9．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．1
【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝3，
∴tanB＝＝＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．在Rt△ABC中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（　　）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
【解答】解：锐角三角函数表示的是直角三角形中相应的两条边的比，将各边的长度都缩小4倍，其比值不变，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 　105°　．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanB＝　　．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键．
13．要求tan30°，我们可以通过构造直角三角形进行计算：在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，利用三角函数定义可求出tan30°的值，请在此基础上计算tan75°＝　2+　（结果保留根号）．
【分析】延长CB到D，使BD＝CB，连接AD，在Rt△ABC，利用勾股定理求出AC＝，再利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质可得∠D＝∠BAD＝15°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DAC＝75°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：延长CB到D，使BD＝CB，连接AD，

在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，
∴AC＝＝＝，AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∴∠D+∠BAD＝30°，
∵BD＝BA＝2，
∴∠D＝∠BAD＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣∠D＝75°，
在Rt△ACD中，CD＝BD+CB＝2+，AC＝1，
∴tan∠CAD＝＝＝2+，
∴tan75°＝2+，
故答案为：2+．
【点评】本题考查了解直角三角形，含30角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝　60°　．
【分析】利用60°的正弦值求解．
【解答】解：∵∠α为锐角，sinα＝，
∴∠α＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
15．如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅AB，现在乙建筑物的顶部C测得条幅顶端A的仰角为45°，条幅底端B的俯角为30°，已知街道宽MN＝42m，则广告条幅AB的长是 　（42+14）m　．（结果保留根号）

【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形，过C作CF⊥AB于F，在Rt△ACF和Rt△BCF中，根据CF的长和已知角的度数，即可求得AF、BF的值，进而由AB＝AF+BF求得条幅AB的长．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如右图所示，
由题知：四边形CMNF为矩形，CF＝MN＝42m，
在Rt△ACF中，∠ACF＝45°，
∴tan∠ACF＝＝1，
∴AF＝42m，
在Rt△BCF中，∠BCF＝30°，
∴tan∠BCF＝＝，
∴BF＝14，
∴AB＝AF+BF＝42+14（m）．
即广告条幅AB的长为（42+14）m．
故答案为：（42+14）m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
三．解答题（共6小题）
16．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平地面40cm，点C距离水平地面61cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的值（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

【分析】（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H，则△ABG∽△ACF，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值；
（2）根据题意求得CF的长，在Rt△ACF中，求得sin∠CAE，即可求得∠CAE的度数．
【解答】解：（1）设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，
作BH⊥AE于点G，交DM于点H，
则BG∥CF，
∴△ABG∽△ACF，
∴＝，即＝，
解得：x＝5，
则圆形滚轮的半径AD的长是5cm；
（2）CF＝40﹣5＝40（cm）．
则sin∠CAE＝＝＝，
∴∠CAE＝60°．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正切值．

【分析】（1）解直角三角形求出CD＝4，再利用勾股定理求出AC即可；
（2）过点E作EH⊥AB于点H．求出AH，EH，可得结论．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴tanB＝＝，
∵BD＝6，
∴CD＝4，
∴AC＝＝＝2；

（2）过点E作EH⊥AB于点H．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴EH∥CD，
∵EC＝EB，
∴DH＝BH＝3，
∴EH＝CD＝2，
∴AH＝AD+DH＝2+3＝5，
∴tan∠EAB＝＝．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？

【分析】（1）设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，利用勾股定理得到AO′＝4x，则4x＝40，解方程可得到AO′＝50cm，O′C＝30cm，所以AO为50cm；
（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，先计算出∠BOH＝30°，利用30的正弦得到BH＝25cm，再计算CB′＝80cm，然后计算B′C′﹣BH即可．
【解答】解：（1）∵AO'：O'C＝5：3，
∴设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，
∵O'C⊥OA，
∴∠ACO′＝90°，
∵AO′＝＝4x，
∴4x＝40，
解得x＝10，
∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，
∴AO＝AO′＝50cm；
答：OA的长为50cm；
（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，
∴∠AOB＝150°，
∴∠BOH＝30°，
∵BH＝OB＝25cm，
∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）
∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），
∴显示屏的顶部B′比原来升高了55cm．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：正确的画出几何图形是解题的关键．
19．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

【分析】过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
【解答】解：由题意得：∠DOC＝45°，∠BOD＝15°，OB＝80km，
∴∠BOC＝30°，OB＝80km，
如图，作BG⊥OC于G，
∴BG＝OB＝40km，
∵40＜50，
∴会受到影响，

如图：BE＝BF＝50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，
∵BG＝40km，
∴EG＝＝30km，
∴EF＝2EG＝60km，
∵风速为40km/h，
∴60÷40＝1.5（小时），
∴影响时间约为1.5小时．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
20．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）

【分析】由题意可求得AG＝5米，分别在Rt△ADG和Rt△ACG中，利用三角函数的求出DG和CG，最后根据CD＝DG﹣CG可得出答案．
【解答】解：由题意得，BG＝CE＝DF＝1.5米，
∴AG＝AB﹣BG＝5米，
在Rt△ADG中，tan30°＝＝＝，
解得DG＝5，
在Rt△ACG中，tan60°＝＝＝，
解得CG＝，
∴CD＝DG﹣CG＝米．
答：体温检测有效识别区域CD段的长为米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．

【分析】（1）由∠A与∠B互余即可求出∠B，由直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半可求b，由锐角的正切定义可求a；
（2）由锐角的正弦定义，勾股定理可求AD长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴b＝c＝4，
∵tanA＝，
∴a＝btanA，
∴a＝4×＝12；
（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝CD＝6，
∵sinA＝，
∴AB＝＝10，
∵AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC2＝102﹣62，
∴AC＝8，
∴AD＝AC﹣DC＝2．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的三角函数定义．