2021-2022学年山西省临汾市侯马市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年山西省临汾市侯马市九年级（上）期末数学试卷

1.     若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     下列事件中是不可能事件的是(    )

A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 旭日东升 D. 瓜熟蒂落

3.     “相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，这种学习方式体现的数学思想是(    )

A. 类比思想 B. 分类思想 C. 方程思想 D. 数形结合思想

4.     祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5.     在中，，若斜边AB是直角边BC的3倍，则的值是(    )

A.  B. 3 C.  D.

6.     若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，那么抛物线的对称轴为直线(    )

A.  B.  C.  D.

7.     如图，AB是的直径，C、D是上的两点，连接AC、AD、CD，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.     将抛物线先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

9.     如图，等边的边长为6，P为BC上一点，，D为AC上一点，若，则CD的长为(    )

A. 2
B.
C.
D. 1

10. 如图：在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，过点F作交BE于点若，，则PF的长为(    )

A.  B. 2 C.  D.

11. 已知，，则______.
12. 如图：是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“Ⅲ”区域内的概率是______.

13. 如图，在中，点A在上，则__________

14. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则的值为______.

15. 已知中，，过点A作BC边上的高，垂足为D，且BD：：1，则的面积为______.
16. ；
     
17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    在网格内画出和以点O为位似中心的位似图形，且和的位似比为2：1；
    分别写出、、三个点的坐标：______ 、______ 、______ ；
    求的面积为______ .

18. 在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“山”“西”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
    若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为______.
    甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率；
    乙从中任取一球，记下汉字后再放回口袋中，然后再从中任取一球，记下取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率为，不画树状图或列表，写出的值，并比较，的大小．
19. 阅读材料：
    关于三角函数还有如下的公式：
    ；
    利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.
    例：
    根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：
    
    计算：；
    乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一图，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离8米的C处，测得塔顶的仰角为，小华的眼睛离地面的距离DC为米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度精确到米，参考数据，
20. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
    求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
    如果平均每人每月最多可投递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
21. 如图，AB是的直径，C，D两点在上，
    求证：；
    若，，求的半径．

22. 综合与实践：在数学课上，老师让同学们以两个大小不等的等腰直角三角形为主题，探究线段间的关系．
    问题情境：如图①，和是等腰直角三角形，，点D在边AB上，连接BE，点F是BE的中点，连接CD，CF，
    探究发现：①请判断的形状，并说明理由；
    ②如图②，将绕点A逆时针旋转时，请证明①中的结论仍然成立；
    实践探究：如图③，在的条件下将绕点A逆时针旋转时，在不添加字母的情况下可以连线，你还能发现哪条线段与线段CF的长度相等．至少写出一条
     
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点.
    求A，C两点的坐标；
    求抛物线的解析式；
    若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.
    
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
则，
解得：
故选：
直接利用二次根式的定义得出x的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】B 

【解析】解：守株待兔，这是随机事件，故A不符合题意；
B.水中捞月，这是不可能事件，故B符合题意；
C.旭日东升，这是必然事件，故C不符合题意；
D.瓜熟蒂落，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由题意可知，这种学习方式体现的数学思想是类比思想．
故选：
由于在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，所以这种学习方式体现的数学思想是类比思想．
本题考查了相似三角形，全等三角形，教材中“相似三角形”的知识安排在“全等三角形”的知识之后，因为“相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，所以我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，体现了数学中的类比思想．
 

4.【答案】B 

【解析】解：当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，
依题意得：
故选：
当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，利用超市每天销售酥梨获得的利润=每千克的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】D 

【解析】解：设，则，
由勾股定理得，，
，
故选：
设，则，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出
本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．
 

6.【答案】B 

【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
则由韦达定理可得，，
，
二次函数的对称轴为，
故选：
由一元二次方程的两个根为，，可求，再由二次函数的对称轴为，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，一元二次方程的根的特点；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、二次函数对称轴的求法是解题的关键．
 

7.【答案】A 

【解析】解：连接BC，
是的直径，
，
，
，
故选：
连接BC，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】B 

【解析】解：将抛物线先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是
故选：
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

9.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
即，
∽，
，
，，
，
，
故选：
证明∽后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于基础题型．
 

10.【答案】A 

【解析】解：连接AP，如图：

沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，
点与A点关于BE对称．
，，
又，



，
由折叠可知，，
，
，

，

∽

，
，
，
，
解得，
，
故选：
连接AP，由沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，，可得，由折叠可知，故，即，而∽有，可得，由勾股定理得，从而知
本题考查矩形中的折叠问题，涉及等腰三角形判定、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明和用相似三角形对应边成比例求出
 

11.【答案】6 

【解析】解：，，
；
故答案为：
先把要求的式子变形为，再代入计算即可．
此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式、因式分解，关键是通过因式分解把要求的式子进行变形．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．
直接利用“Ⅲ”所示区域所占圆心角除以，进而得出答案．
【解答】
解：指针落在“Ⅲ”区域内的概率是  

13.【答案】130 

【解析】

【分析】
根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆周角定理与圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【解答】
解：如图，取优弧上的一点D，连接BD，CD，







，
，
，
故答案为：  

14.【答案】2 

【解析】解：如图，连接BE，
四边形BCED是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
∽，
：：：3，
：：2，
，
在中，，
，

故答案为：2
首先连接BE，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：：3，即可得PF：：：2，在中，即可求得的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
 

15.【答案】8或24 

【解析】解：如图1所示：
，BD：：1，
，
，，
，
，
；
如图2所示：，BD：：1，
，
，，
，
，
；
综上，面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或
分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．
 

16.【答案】解：


；

，
，
则，
或，
解得， 

【解析】先化简二次根式、利用乘法分配律计算，再计算乘法，最后计算加减即可；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

17.【答案】如图所示：，即为所求；

；；；
 

【解析】解：见答案；
由图易得：，，；
的面积为：

直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用中所画图形得出各点坐标；
利用所在矩形面积，减去周围三角形面积进而得出答案．
此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率；
根据题意知，共有16种结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率

直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
根据题意知，共有16种结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的有4种结果，根据概率公式求解即可得出答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：由题意可知：




；
在中，
，，米，


米
米
答：乌蒙铁塔的高度约为米． 

【解析】根据题意即可求出结果；
利用锐角三角函数即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

20.【答案】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
，
解得，不合题意舍去，
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为；
今年6月份的快递投递任务是万件，
因为平均每人每月最多可投递万件，
所以21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是，
所以该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，
所以需要增加业务员人，
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员． 

【解析】本题考查方程与不等式以及一元二次方程的应用．
设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
 

21.【答案】证明；如图，连接

，
，
是的直径，
，
，
，

解：连接AC，
是的直径，
，
，，
，
的半径为 

【解析】连接OC，证明，可得结论；
在中，解直角三角形求出AB即可．
本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，特殊三角形的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：探究发现：①是等腰直角三角形；
证明：是直角三角形，点F是BE的中点，
，
是直角三角形，点F是BE的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据四边形内角和可得：，
即是等腰直角三角形；
②证明：如图，延长DF交BC于点G，
点D落在AC上，，
，
，，
点F是BE的中点，
，
在和中，
，，，
≌，
，，
又，，
，
又，，

是等腰直角三角形；
实践探索：①；②；
延长DF交AB于点M，连接CM，DM，
将绕点A逆时针旋转，得，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
中，F是MD的中点，
，
与CF相等的线段有AF， 

【解析】探究发现：①是等腰直角三角形；先证明，再证明，即是等腰直角三角形；
②证明：如图，延长DF交BC于点G，证明≌，得，，再证得是等腰直角三角形；
实践探索：延长DF交AB于点M，连接CM，DM，先证明≌，再证明≌，得，，，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是构造手拉手模型证明全等．
 

23.【答案】解：如图，的坐标为


故点A、C的坐标分别为、
抛物线的表达式为：
把代入得：
，解得：
故抛物线的表达式为：
直线CA过点C，设其函数表达式为：
将点A坐标代入上式并解得：
故直线CA的表达式为：
过点P作y轴的平行线交AC于点H



轴

设点，则点


有最大值
当时，其最大值为
此时点 

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中，用函数关系表示PD，是本题解题的关键.
求出OB，由，即可求解；
设抛物线的表达式为：，将C点坐标代入即可求解；
求出直线CA的表达式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，则，即可求解.