数学必修 第二册10.3 几个三角恒等式课文内容课件ppt

10.3　几个三角恒等式

知识点1　积化和差与和差化积公式

(1)积化和差公式

sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，

cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，

cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，

sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

(2)和差化积公式

sin α＋sin β＝2sin cos ，

sin α－sin β＝2cos sin ，

cos α＋cos β＝2cos cos ，

cos α－cos β＝－2sin sin ．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B． (　　)

(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Acos B． (　　)

(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2 α－cos2 β． (　　)

[提示]　(1)正确．

(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin Asin B．

(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

知识点2　半角公式与降幂公式

拓展：万能公式：

设tan ＝t，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．

2．若cos α＝－，且π＜α＜，则cos ＝________．

－　[∵π＜α＜，

∴＜＜，

∴cos＝－＝－．]

3．若tan ＝3，则cos α＝________．

－　[∵tan2＝＝9，∴cos α＝－．]

类型1　应用和差化积或积化和差求值

【例1】　求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50° 的值．

[解]　原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°)

＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－

＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70°

＝－sin 70°＋sin 70°

＝．

套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.

[跟进训练]

1．(1) sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝(　　)

A．  B．  C．  D．1

(2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．

(1)C　[原式＝sin 20°－sin 80°＋sin 40°＋sin 60°＝2cos 50°sin(－30°)＋cos 50°＋sin 60°＝sin 60°＝．]

(2)[解]　∵cos α－cos β＝，

∴－2sinsin＝． ①

又∵sin α－sin β＝－，

∴2cossin＝－． ②

∵sin≠0，

∴由①②，得－tan＝－，

即tan＝．

∴sin(α＋β)＝＝＝＝．

类型2　万能代换公式的应用

【例2】　设tan ＝t，求证：＝(t＋1)．

利用万能代换公式，分别用t表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.

[证明]　由sin θ＝及cos θ＝，得1＋sin θ＝＝，

1＋sin θ＋cos θ＝＝，

故＝(t＋1)．

在万能代换公式中不论α的哪种三角函数包括sin α与cos α都可以表示成tan＝t的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.

[跟进训练]

2．已知cos θ＝－，且180°＜θ＜270°，求tan．

[解]　∵180°＜θ＜270°，

∴90°＜＜135°，

∴tan＜0．

由cos θ＝，得＝－，

解得tan2＝4．

又tan＜0，

∴tan＝－2．

类型3　f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx的性质

【例3】　求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x，x∈的最小值，并求其单调减区间．

[解]　f(x)＝5×＋×－2sin 2x＝3＋2cos 2x－2sin 2x

＝3＋4

＝3＋4

＝3＋4sin＝3－4sin，

∵≤x≤，

∴≤2x－≤．

∴sin∈．

∴当2x－＝，即x＝时，

f(x)取最小值为3－2．

∵y＝sin在上单调递增，

∴f(x)在上单调递减．

1．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤

(1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简．

(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式．

(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．

2．对三角函数式化简的常用方法

(1)降幂化倍角；

(2)升幂角减半；

(3)利用f(x)＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，化为“一个角”的函数．

[跟进训练]

3．已知函数f(x)＝2cos2＋cos．

(1)求函数的最小正周期以及对称轴方程；

(2)求函数y＝f(－x)的单调减区间．

[解]　f(x)＝2cos2＋cos

＝cos＋1＋cos

＝sin＋cos＋1

＝sin＋1

＝sin＋1．

(1)函数的最小正周期T＝＝π．

令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，

解得x＝＋(k∈Z)，

故对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)y＝f(－x)＝sin＋1

＝－sin＋1，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，故函数的单调减区间是(k∈Z)．

1．已知tan α＝－，则sin 2α＝(　　)

A．  B．－  C．  D．－

D　[sin 2α＝＝＝＝－．]

2．若3π<x<4π，则＋＝(　　)

A．cos   B．－cos

C．sin   D．－sin

C　[因为3π<x<4π，

所以<<2π，sin <0，cos >0．

于是＋＝＋

＝cos －sin

＝

＝sin．]

3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝．

又β＝－，

即cos β＝cos＝sin

＝

＝＝．]

4．化简：＝________．

tan 20°　[原式＝

＝

＝tan 20°．]

5．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝________．

－　[∵α是第三象限角，

∴为第二、四象限角，

∴tan＜0，

∴tan＝－＝－＝－3，

∴原式＝＝－．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何用cos α表示sin2，cos2？

[提示]　sin2＝；cos2＝．

2．如何用tan α表示sin 2α，cos 2α？

[提示]　sin 2α＝，cos 2α＝．

3．如何确定半角公式根号前的符号？

[提示]　(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号．

(2)当给出角α的范围时，可先求的范围，再根据的范围来确定各三角函数值的符号．

(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．