10.3 几个三角恒等式（四大题型）-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）
展开10．3 几个三角恒等式
【题型归纳目录】
题型一：积化和差与和差化积公式的应用
题型二：应用半角公式求值
题型三：三角函数式的化简
题型四：恒等式的证明
【知识点梳理】
知识点一：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆）
，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
知识点二：积化和差公式
知识点诠释：
规律1：公式右边中括号前的系数都有．
规律2：中括号中前后两项的角分别为和．
规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．
知识点三：和差化积公式
知识点诠释：
规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．
规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．
规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．
规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．
注意
1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．
2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．
3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．
4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．
5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．
【典型例题】
题型一：积化和差与和差化积公式的应用
【方法技巧与总结】
（1）在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差．
（2）和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式．
例1．（2023·全国·高一专题练习）若， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，因为，
所以，
所以，所以，
故选：A．
例2．（2023·高一课时练习）求值：_____________．
【答案】
【解析】原式．
故答案为：
例3．（2023·高一课时练习）已知，，则__________.
【答案】
【解析】
故答案为：
变式1．（2023·高一课时练习）求值：__________.
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
变式2．（2023·高一课时练习）求值：.
【解析】原式
.
变式3．（2023·高一课时练习）在①；②；③这三个条件中任选两个，求值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）若选①和②，
由得，
由得,
两式相加，得，
得.
若选①和③，
联立，解得，
则，
由得，
由得，
所以，
当时，，
当时，，
所以或
若选②和③，
由得，
由得，
所以，
所以
.
（2）若选①和②，
由得，
由得，
所以，
所以.
若选①和③，
联立，解得，
由得，
由得，
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
.
所以或.
若选②和③，
由得，
由得，
所以，
所以，
所以，所以，
所以.
题型二：应用半角公式求值
【方法技巧与总结】
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算．
（4）下结论：结合（2）求值．
例4．（2023河北沧州·高一统考期末）已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵，，
∴.
方法二：∵，，
∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，
∴
故选：C
例5．（2023·高一课时练习）等腰中，顶角满足，则底角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设其中一底角为，根据等腰三角形性质，则有，即，，由得，
又因，所以
故选A
例6．（2023河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知点是角的终边上一点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由三角函数的定义可得，，
所以，.
故选：A.
变式4．（2023内蒙古兴安盟·高二校考阶段练习）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∵，
∴由半角公式可得.
故选：B
变式5．（2023河北石家庄·高三统考期末）已知，则__________.
【答案】
【解析】因为，且，
所以，
故答案为：.
题型三：三角函数式的化简
【方法技巧与总结】
三角函数式化简的要求、思路和方法
（1）化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．
（2）化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
例7．（2023春·全国·高一专题练习）化简:
【解析】原式＝
.
例8．（2023·高一课时练习）化简：．
【解析】原式
例9．（2023·高一课时练习）化简求值：（1）；
（2）．
【解析】（1）
（2）
变式6．（2023·全国·高三专题练习）化简：
(1)；
(2).
【解析】（1）因为，所以，
所以原式
.
（2）因为，
所以.
又因为，且，
所以原式，
因为，所以，所以.
所以原式.
题型四：恒等式的证明
【方法技巧与总结】
三角恒等式证明的常用方法
（1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
（4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
例10．（2023·高一课时练习）用和角与差角公式证明：
(1)；
(2)．
【解析】(1)证明：
，证毕.
(2)证明：
，证毕.
例11．（2023·高一课时练习）证明：．
【解析】左边==右边，
故原等式成立.
（2023·高一课时练习）证明下列各恒等式：
例12．；
变式7．；
变式8．．
【解析】(1)
，
故成立.
(2)
，
故成立.
(3)
，
故.
变式9．（2023春·高一课时练习）证明：（1）；
（2）．
【解析】（1）左边
右边．
（2）左边
右边．
【同步练习】
一、单选题
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】D
【解析】，.
故选：D
2．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，解得：.
故选：B
3．（2023·山西吕梁·高一统考期末）若，则（ ）
A． B． C．－ D．－3
【答案】D
【解析】因为，
所以，
即，
所以，
所以.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C
5．（2023·高一课时练习）若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
原式
；
故选：B.
6．（2023·高一课时练习）若，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 解得 .
所以 的取值范围是 .
故选：B.
7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）若，，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】
,
或，
或（舍去，使无意义）
又，
，
故选：D.
8．（2023·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则，，
即，，，
故，.
故选：D
二、多选题
9．（2023·山东菏泽·高一统考期末）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
即，
故，
所以，
即，故D错误.
故选：AC.
10．（2023·高一课时练习）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A选项，，
，
所以
，A选项正确.
B选项，
，B选项错误.
C选项，，C选项正确.
D选项，
，D选项错误.
故选：AC
11．（2023·高一课时练习）（多选）下列等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为，
，
从而有，，
对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D．．
故选：ABC．
12．（2023·高一课时练习）（多选）若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，
所以，
因为，，所以，
从而，
于是，
所以，从而．
故选：BC.
三、填空题
13．（2023·全国·高一专题练习）____．
【答案】
【解析】原式
.
故答案为：.
14．（2023·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考开学考试）_________．
【答案】
【解析】
．
故答案为：
15．（2023·高一课时练习）已知，，则___________.
【答案】5
【解析】由，得，解得或.
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，
∴.
故答案为：5
16．（2023春·高一课时练习）利用半角公式求值：___________.
【答案】
【解析】因为，所以,
又因为，所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题
17．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考开学考试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求角的取值集合.
【解析】（1）
.
故函数的最小正周期为.
（2）由，可得,
故或,
解得或.
故角的取值集合为或.
18．（2023·广东佛山·高一南海中学校考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值．
(3)设为锐角，且，求的值；
【解析】（1）因为
所以，的最小正周期为
（2）当时，，
所以，即，
所以，
所以，当，即时，取得最小值，
当，即时，取得最大值
（3）因为为锐角，且，
所以，，，，
所以，
所以.
19．（2023·河北保定·高一保定一中校考期末）回答下面两题
(1)已知，，求的值；
(2)已知，且，，求角的值.
【解析】（1）因为，两边平方后得
，即，因为，
所以，所以，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
，所以，
，得，解得：，，
，且，
所以.
20．（2023·广东广州·高一校考期末）化简求值
(1)已知，求的值
(2)已知，且．求
【解析】（1）由得，
因为，所以，，
故.
（2）因为，所以 ，
所以
所以
因为，所以.
21．（2023·广东广州·高一广州市第一中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的最大值与最小值．
【解析】（1）由于,故，解得，,故函数的单调递增区间为，
（2）当时，，故当时，取最小值-2，当时，取最大值.
22．（1996·全国·高考真题）已知的三个内角A，B，C满足：，，求的值.
【解析】因为，所以，解得，
所以，
即，
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为：
，
将代入上式得：
，
将代入上式并整理得：
，
即，
因为
所以，解得.
故
