高中苏教版 (2019)第9章 平面向量9.1 向量概念图片课件ppt

9.1　向量概念

知识点1　向量的定义及表示

1．定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？

[提示]　向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面．

1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．

①⑥⑦⑧　[一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．]

知识点2　向量的有关概念及其表示

2．(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？

(2)已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？

(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？

[提示]　(1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．

(2)因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．

(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．

2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)有向线段就是向量． (　　)

(2)两个向量的模能比较大小． (　　)

(3)有向线段可以用来表示向量． (　　)

(4)若a＝b，b＝c，则a＝c． (　　)

(5)单位向量的模都相等． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√

类型1　向量的概念

【例1】　判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)任何两个单位向量都是平行向量；

(2)零向量的方向是任意的；

(3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量与是平行向量；

(4)对于向量a、b、c，若a∥b，且b∥c，则a∥c；

(5)若非零向量与是平行向量，则直线AB与直线CD平行；

(6)非零向量与是模相等的平行向量．

[解]　(1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；

(2)正确．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；

(3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量与方向相反，是平行向量；

(4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；

(5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；

(6)正确．非零向量与的模相等，方向相反，二者是平行向量．

1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．

2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．

3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．

提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．

[跟进训练]

1．判断下列命题是否正确，并说明理由：

(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行．

[解]　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．

(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．

类型2　向量的表示

【例2】　一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．

(1)作出向量，，，；

(2)求||．

依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量，，，；进而求出||.

[解]　(1)如图．

(2) 由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD．

又∵||＝||，

∴在四边形ABCD中，ABCD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴||＝||＝200(千米)．

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度模，选择合适的比例关系作出向量.

[跟进训练]

2．(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量．

(2)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．

①作出向量，，，；

②问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？

[解]　(1)画出所有的向量，如图所示．

(2)①由题意，作出向量，，，，如图所示，

②依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km．

又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，

所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1 000 km，∠CAD＝45°．

所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km．

类型3　共线向量

【例3】　(对接教材P6例2)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数有______个．

8　[如图所示，

满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个．]

1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

1．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．零向量的长度为零

B．零向量与任一向量都是共线向量

C．零向量没有方向

D．零向量的方向是任意的

ABD　[零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错误，故选ABD．]

2．下列说法中正确的个数是(　　)

①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．

A．0  B．1  C．2  D．3

B　[向量具有大小和方向两个要素，故只有④正确，选B．]

3．设M是等边△ABC的中心，则，，是(　　)

A．有相同起点的向量   B．相等的向量

C．模相等的向量   D．平行向量

C　[M是等边△ABC的中心，故||＝||＝||，选C．]

4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且||＝1，||＝2，则||＝________．

　[因为||2＝||2＋||2＝5，所以||＝．]

5．如图所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中，回答下列问题．

(1)模与a的模相等的向量有多少个；

(2)请列出与a的长度相等，方向相反的向量；

(3)请列出与a共线的向量；

(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．

[解]　(1)满足条件的向量有23个．

(2)与a的长度相等，方向相反的向量有，，，．

(3)与a共线的向量有，，，，，，，，．

(4)与a相等的有，，；与b相等的有，，；与c相等的有，，．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．向量与数量相同吗？

[提示]　不同．

①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．

②数量可以比较大小，向量不能比较大小．

2．向量与有向线段有何区别和联系？

[提示]　①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．

②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．

3．向量平行具备传递性吗？举例说明．

[提示]　向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c．

向量及向量符号的由来

向量最初应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle，公元前384—前322)就知道了力可以表示成向量．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727)．

向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向，线段长表示大小的有向线段来表示它．1806年，瑞士人阿尔冈(R．Argand,1768—1822)以表示有向线段或向量．1827年，莫比乌斯(Möbius,1790—1868)以表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受．另外，哈密尔顿(W．R．Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J．W．Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量．1912年，兰格文用 表示向量，后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其在手写稿中．为了方便印刷，用粗黑体小写字母a，b等表示向量，这两种符号一直沿用至今．

向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的．1797年，丹麦数学家威塞尔(C．Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a，b)表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量．

你能体会用符号表示向量的优越性吗？