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- 10.2 二倍角的三角函数练习题 试卷 3 次下载
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苏教版 (2019)必修 第二册10.3 几个三角恒等式同步训练题
展开10.3 几个三角恒等式
基础过关练
题组一 积化和差公式的应用
1.sin220°+cos280°+sin 20°cos 80°的值是( )
A. B. C. D.1
2.若cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β= .
3.化简:4sin(60°-θ)·sin θ·sin(60°+θ)= .
4.函数y=sincos x的最小值是 .
5.求下列各式的值.
(1)sin 37.5°cos 7.5°;
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
深度解析
题组二 和差化积公式的应用
6.下列关系式中正确的是( )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.[cos(x-y)-cos(x+y)]=sin xsin y
7.若A+B=120°,则y=sin A+sin B的最大值是( )
A.1 B. C. D.
8.计算:=( )
A. B.- C. D.-
9.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若cos B+cos C=sin B+sin C,试判断△ABC的形状.
深度解析
题组三 半角公式的应用
10.已知cos 2α=-,且α∈,则sin α的值为( )
A. B. C.- D.-
11.若π<α<2π,则= .
12.(2020江苏南京金陵中学高一月考)若cos α=-,α是第三象限角,则= .
13.已知sin θ=,cos θ=,则tan= .
题组四 万能公式的应用
14.已知α为第三象限角,且cos>0,tan α=3,则tan的值为( )
A.-- B.+
C.-+ D.-+或--
15.若tan θ=3,则sin 2θ-cos 2θ的值是 .
16.若tan θ+=m,则sin 2θ= .
17.求证:=tan+.
能力提升练
题组一 积化和差与和差化积公式的应用
1.()sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值为( )
A. B. C. D.
2.(2020江苏扬州大学附属中学期中,)已知tan=,tan αtan β=,则cos(α-β)的值为 .
3.(2020江苏天一中学阶段检测,)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,则sin(α+β)的值为 .
4.(2020江苏海头高级中学期中,)已知α,β为锐角,且α-β=,则sin αsin β的取值范围是 .
5.()已知在△ABC中,A>C,且B=60°,能否利用log4sin A+log4sin C=-1求出A和C的大小?若能,请求出;若不能,请说明理由.
题组二 半角公式的应用
6.(2020江苏高邮中学学情检测,)已知450°<α<540°,则化简的结果是( )
A.sin B.-sin C.cos D.-cos
7.(多选)()若cos α=-,则的值可能为( )
A. B.2 C.- D.-2
8.(多选)()设θ的终边在第二象限,则的值可能为( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2
9.()计算sin4+sin4+sin4+sin4的结果是( )
A. B. C. D.
10.()化简:(1)+;
(2)(0<α<π).
题组三 三角恒等变换的综合应用
11.(2020天津一中高一上期末,)下列函数中,以为最小正周期的偶函数是( )
A.y=sin 2x+cos 2x B.y=sin 2xcos 2x
C.y=cos D.y=sin22x-cos22x
12.(2019天津六校期末联考,)已知A是函数f(x)=2sin+cos的最大值,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为( )
A. B. C. D.
13.()已知函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点α,β.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求tan(α+β)的值.
答案全解全析
10.3 几个三角恒等式
基础过关练
1.A 原式=++(sin 100°-sin 60°)
=1-(cos 40°+cos 20°)+cos 10°-=1-cos 30°cos 10°+cos 10°-=.
2.答案
解析 cos(α+β)cos(α-β)=(cos 2α+cos 2β)=[(2cos2α-1)+(1-2sin2β)]=cos2α-sin2β=.
3.答案 sin 3θ
解析 原式=-2sin θ·[cos 120°-cos(-2θ)]
=-2sin θ
=sin θ+2sin θcos 2θ
=sin θ+sin 3θ-sin θ=sin 3θ.
4.答案 -
解析 y=sincos x
=
=
=sin-,
当sin=-1时,y取得最小值,为-.
5.解析 (1)sin 37.5°cos 7.5°
=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]
=(sin 45°+sin 30°)=.
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]
=-sin 50°-+cos 40°=.
方法技巧 在运用积化和差公式时,如果形式为异名函数积,那么化得的结果应用sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积,那么化得的结果应用cos(α+β)与cos(α-β)的和或差.
6.D A中 ,sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,A错;
B中,cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ)=2sin 4θsin θ,B错;
C中,sin 3θ-sin 5θ=2cos 4θsin(-θ)=-2cos 4θsin θ,C错;
D中,[cos(x-y)-cos(x+y)]=×[-2sin xsin(-y)]=sin xsin y,D正确.
7.C y=sin A+sin B=2sincos
=cos≤,∴y的最大值为.
8.D 原式==-=-=-.
9.解析 易知cos的值不为0,
由cos B+cos C=sin B+sin C,得
2coscos=2sincos,
两边同除以2cos,得sin=cos,
即tan=1,∵0<B+C<π,∴0<<,
∴=,即B+C=,∴A=,
∴△ABC为直角三角形.
方法技巧 应用和差化积公式时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式,若是一正弦与一余弦的和或差,则先利用诱导公式化成同名函数后,再运用公式化成积的形式.
10.B ∵α∈,∴sin α>0,
∵cos 2α=-,
∴由半角公式可得sin α==.
11.答案 -cos
解析 ∵π<α<2π,∴<<π,
∴cos<0,
则原式===-cos.
12.答案 -
解析 ∵α是第三象限角,cos α=-,
∴sin α=-,则tan===-3.
故原式==-.
13.答案 5
解析 由sin2θ+cos2θ=1,得+=1,解得m=0或m=8.
当m=0时,sin θ<0,不符合题意,舍去;
当m=8时,sin θ=,cos θ=-,
∴tan===5.
14.A ∵tan α=3,∴=3,
即3tan2+2tan-3=0,
∴tan=-+或tan=--.
∵cos>0,α为第三象限角,
∴为第四象限角,
∴tan<0,∴tan=--.
15.答案
解析 因为tan θ=3,所以sin 2θ===,cos 2θ===-,
所以sin 2θ-cos 2θ=-=.
16.答案
解析 因为tan θ+=m,即=m,
所以sin 2θ==.
17.证明 ∵左边==
==
=tan+=右边,
∴原等式成立.
能力提升练
1.A 解法一:原式=(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+sin 20°cos 50°
=1+(cos 100°-cos 40°)+(sin 70°-sin 30°)
=-sin 70°sin 30°+sin 70°=.
解法二:原式=(sin 20°+cos 50°)2-sin 20°·cos 50°
=(2sin 30°·cos 10°)2-(sin 70°-sin 30°)
=cos210°-cos 20°+
=-cos 20°+=.
2.答案
解析 tan αtan β===,
∴cos(α-β)=-cos(α+β).
∵tan=,
∴cos(α+β)===-,
故cos(α-β)=-×=.
3.答案
解析 因为cos α-cos β=,
所以-2sinsin=.①
因为sin α-sin β=-,
所以2cossin=-.②
因为sin≠0,
所以由得-tan=-,
即tan=.
所以sin(α+β)=
===.
4.答案
解析 ∵α-β=,
∴sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-
=-.
∵α,β为锐角,且α-β=,
∴0<+β<,则0<β<,
∴<2β+<,
∴-<cos<,
∴0<-<,
∴sin αsin β的取值范围为.
5.解析 能.∵在△ABC中,A>C,B=60°,
∴A+C=120°.①
∵log4sin A+log4sin C=-1,
∴sin Asin C=.
∵sin Asin C=[cos(A-C)-cos(A+C)],
∴[cos(A-C)-cos(A+C)]=,
∴cos(A-C)=+cos(A+C)=+cos 120°=0.
又∵0°<A-C<120°,∴A-C=90°.②
由①②,得A=105°,C=15°.
6.B ∵450°<α<540°,
∴cos α<0,225°<<270°.
原式=
==
==
=.
又sin<0,∴原式=-sin.
7.CD ==
=
=
=,
∵cos α=-,∴sin α=±.
当cos α=-,sin α=-时,
==-;
当cos α=-,sin α=时,
==-2.故选CD.
8.AB ∵θ的终边在第二象限,∴2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,∴kπ+<<kπ+,k∈Z,
==.
故当2kπ+<<2kπ+,k∈Z时,
sin-cos>0,=-1;
当2kπ+<<2kπ+,k∈Z时,
sin-cos<0,=1.
故选AB.
9.C sin4+sin4+sin4+sin4
=sin4+sin4+sin4+sin4
=sin4+sin4+cos4+cos4
=sin4+cos4+sin4+cos4
=sin2+cos22-2sin2cos2+-2sin2cos2=1-sin22×+1-sin22×
=2--=2--=.
10.解析 (1)∵π<α<,∴<<,
原式=
+
=-+sin-cos
=-cos.
(2)∵tan=,
∴(1+cos α)tan=sin α.
又∵cos=-sin α,且1-cos α=2sin2,
∴原式===-,
∵0<α<π,∴0<<,∴sin>0.
∴原式=-2cos.
11.D 选项A中,y=sin,最小正周期为π,故A错误;选项B中,y=sin 4x,最小正周期为,是奇函数,故B错误;选项C中,y=-sin 4x,最小正周期为,是奇函数,故C错误;选项D中,y=-cos 4x,最小正周期为,是偶函数,故选D.
12.C ∵f(x)=2sin+cos
=sin 2 018x+cos 2 018x+·cos 2 018x+sin 2 018x
=3
=3sin,
∴A=f(x)max=3,周期T==,
又存在实数x1,x2,对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,
∴f(x2)=f(x)max=3,f(x1)=f(x)min=-3,
|x1-x2|的最小值为T=,又A=3,
∴A·|x1-x2|的最小值为.故选C.
13.解析 (1)∵函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点,
∴关于x的方程sin x+cos x+a=0在(0,2π)内有两个不同的根.
∵sin x+cos x=2sin x+cos x=2sinx+,
∴sin=-在(0,2π)内有两个不同的根.
∵0<x<2π,∴<x+<.
结合图象(图象略)可得,若方程有两个不同的根,则满足-1<-<1且-≠,
解得-2<a<2且a≠-.
∴实数a的取值范围是(-2,-)∪(-,2).
(2)由题意知α,β是方程sin x+cos x+a=0的两个根,
∴sin α+cos α+a=0,①
sin β+cos β+a=0,②
①-②得(sin α-sin β)+(cos α-cos β)=0,
∴2sincos-2sinsin=0,
又sin≠0,∴tan=,
∴tan(α+β)==.
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