2022-2023学年上海市杨浦区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市杨浦区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列实数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列各组二次根式中，不是同类二次根式的组是(    )

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

3.    下列关于的方程中，无实数根的是(    )

A.
B.
C. 、，且、同号
D.

4.    若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是(    )

A. 一对同位角的平分线互相平行 B. 一对内错角的平分线互相平行
C. 一对同旁内角的平分线互相平行 D. 一对同旁内角的平分线互相垂直

5.    用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交边于点，联结交于点，则下列结论中，不一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）

7.    的平方根是______．
8.    等式成立的条件是______．
9.    在两个连续的整数和之间，那么的值是______．
10. 当时，代数式的值是______．
11. 方程的根是______．
12. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．
13. 在实数范围内分解因式：______．
14. 某商品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同．已知原售价是元，降价两次后的售价是元，设每次下降的百分率为，可列出方程______．
15. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______ ．
16. 如图，将一个直角三角形的直角顶点放在一个长方形的一边上，如果，那么______度．

17. 如图，，要使≌，还需要添加的一个条件是______添加一个条件即可．

18. 已知，，，是边上的中线，那么点到直线的距离是______．
19. 如图，，，点、分别在边、上，，，那么______度．

20. 如图，已知等腰，，将绕点顺时针旋转，点落在点处，且，联结交于点，如果，那么______度．

三、解答题（本大题共9小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    计算：．
22. 本小题分
    计算：．
23. 本小题分
    解方程：．
24. 本小题分
    用配方法解方程：．
25. 本小题分
    阅读，并完成填空．
    小李同学在学习完三角形一章后，尝试用一块三角板和一把刻度尺作出一个已知角的平分线，以下是他的作法．
    如图，已知，第一步：分别在射线、上量取、，使得，第二步：过点作，过点作，与交于点，第三步：作射线那么射线就是的平分线．这是为什么呢？
    解：因为已知，所以______
    因为已知，所以．
    在与中，
    所以≌，
    所以____________
    又因为已知，
    所以等量代换，
    得____________
    又因为，
    所以______等量代换，
    所以射线就是的平分线．

26. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    如果方程有两个实数根，求的取值范围；
    如果等腰三角形的一条边长为，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求的值．
27. 本小题分
    如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，延长交边于点，联结、．
    试说明≌的理由；
    延长交于点，求的度数．

28. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在直线上．
    如果是直角三角形，写出此时点的坐标：______；
    当与的面积相等时，写出此时点的坐标：______．

29. 本小题分
    已知，，，是射线上一点，联结，将绕点逆时针旋转，点落在点处，联结交射线于点．
    如图，当点与点重合时，求的长；
    如图，当点在线段上时，联结，在点的运动过程中，请问的面积是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由；
    当时，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.．是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，故A不符合题意；
B、，，故B不符合题意；
C、，，故C符合题意；
D、，，，故D不符合题意，
故选：．
由同类二次根式的概念即可判断．
本题考查二次根式的概念，关键是掌握：判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、，该方程没有实数根，符合题意；
D、，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：．
先求出的值，再比较出其与的大小即可求解．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示：
若两条平行线被第三条直线所截，一对同位角和内错角的平分线互相平行，一对同旁内角的平分线互相垂直，
所以C错误．故选C．
结合角平分线的定义，根据平行线的性质与判定进行分析，从而得到答案．
本题考查两条平行线被第三条直线所截得的角的角平分线之间的关系，可结合图形进行分析．
 

5.【答案】 

【解析】解：设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，
．
，
当时，取得最大值，最大值为，
的值不可能为．
故选：．
设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可周长的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是边上的高，
，
，
，
，是的平分线，
，故A结论正确；
，
≌，
，
垂直平分，
，
，
，，
≌，
，，故C结论正确；
，故B结论正确；
结论不一定正确．
故选：．
根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质可判断，，进而可得出答案．
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定于性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关判定和性质并灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
根据平方根的定义求解即可．
【解答】
解：的平方根是，
故答案为．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不能为零是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
在两个连续的整数和之间，
，
故答案为：．
由于，得，从而易求．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，





．
故答案为：．
把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
则或，
解得，，
故答案为：，．
先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

12.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且，
故答案为：且，
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解方程得，，，则可将该多项式实现实数范围内的因式分解．
解：解方程得，
，，
则
此题考查了整式因式分解的能力，关键是能利用解一元二次方程进行因式分解．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
故答案为：．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设每次下降的百分率为，根据“原售价元，降价两次后的售价是元”，即可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
根据平行线的性质可得，再根据平角的定义结合即可求解．
本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等的知识点．也利用了平角的定义．
 

17.【答案】答案不唯一 

【解析】解：当时，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
根据，利用“”定理解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定，熟练运用“”定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过作的延长线于，
，，是边上的中线，
，，
，
，
，
点到直线的距离是．
如图，过作的延长线于，首先可以证明，然后可以三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的计算，同时也利用了三角形的面积．
 

19.【答案】 

【解析】解：设，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设，求出，，再根据外角的性质解答即可．
本题考查了三角形的性质，掌握三角形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，点落在点处，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可得到结论．
本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
 

21.【答案】解：原式
． 

【解析】分别根据指数幂，负整数指数幂及数的乘方，开方法则分别计算出各数，再根据有理数的加减法则进行计算即可．
本题考查的是分数指数幂，指数幂，负整数指数幂及数的乘方，开方法则，熟知分数指数幂的运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：

． 

【解析】根据二次根式的加减法的法则计算即可．
本题考查了二次根式的加减法，熟记二次根式的加减法的法则是解题的关键．
 

23.【答案】解：整理得：，
，
，，
解得，．
经检验，是原方程的根．
故原方程的解为，． 

【解析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

24.【答案】解：先将常数项移到等号的右边，再把方程各项除以，得
，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得

配方得，
开方得，
解得． 

【解析】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．先将常数项移到等号的右边，再把方程各项除以，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．
 

25.【答案】两直线平行，内错角相等    全等三角形对应边相等    等边对等角   

【解析】解：因为已知，所以两直线平行，内错角相等．
因为已知，所以．
在与中，
所以≌，
所以全等三角形对应边相等．
又因为已知，
所以等量代换，
得等边对等角．
又因为，
所以等量代换，
所以射线就是的平分线．
故答案为：两直线平行，内错角相等，，全等三角形对应边相等，，等边对等角，．
利用平行线的性质，全等三角形的判定和性质证明即可．
作图考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

26.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
当方程有两个实数根，的取值范围为．
当为底时，由题意得，，则，
解得，
此时一元二次方程
解得，因为，舍去；
当为腰时，将代入得，
解得或，
当时，得三边长为、、，因为舍去，
当时，算得三边长为、、，可以构成三角形，
故的值为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
分为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．
 

27.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
即，
，
即，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：由得：≌，
，
，，
，
，
． 

【解析】证是等边三角形，得，，再证，则，然后证，进而证≌；
由全等三角形的性质得，再证，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

28.【答案】或  或 

【解析】解：设点的坐标为，
点，点，
，
，
，
当时，，
解得，；
当时，，
解得，；
当时，，
本方程无解，
为直角三角形时，点的坐标为或；
故答案为：或；
设点的坐标为，
，
，
点，点，
直线的解析式为，
直线与直线的交点坐标为，
当在点右边时，
，
解得，
当在点左边时，
，
解得，
点的坐标为或．
故答案为：或．
设点的坐标为，根据点的坐标的性质用表示出、、，分、和，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；
设点的坐标为，求出直线与直线的交点坐标为，再分两种情况讨论即可．
本题考查的是一次函数知识的综合运用，掌握勾股定理、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

29.【答案】解：将绕点逆时针旋转，
，，
点与点重合，
，
，
又，，
≌，
，
，
；
的面积不会变化，理由如下：
如图，过点作于，

将绕点逆时针旋转，
，，
，
，
≌，
，
；
当点在线段上时，
，，
，
≌，
，
，
，，，
≌，
，
；
当点在线段的延长线时，过点作直线于，

，，
，
同理可证≌，
，
，
同理可证：≌，
，
，
综上所述：的长为或． 

【解析】由“”可证≌，可得，即可求解；
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，即可求解；
分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．