2022-2023学年上海市杨浦区七年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年上海市杨浦区七年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本题共14小题，共28分）

1. 用代数式表示：的平方减去的次方：______．
2. 计算：______．
3. 当，时，代数式______．
4. 单项式的系数是______．
5. 多项式关于的一次项是______．
6. 计算：______．
7. 把多项式按字母的降幂排列，结果是______．
8. 如果单项式与是同类项，则______．
9. 多项式与多项式的差是______．
10. 计算：______．
11. 若，则______．
12. 如果是一个完全平方式，则______．
13. 观察下列各式：
    ，
    ，
    ，
    
    根据前面的规律，你可以得出：______．
14. 已知甲、乙两种糖果的单价分别是元千克和元千克．为了搞活动，店家将甲乙两种糖果混合成什锦糖来销售，为了保证两种销售方式分开卖，合并卖的收入一样，则由千克甲种糖果和千克乙种糖果混合而成的什锦糖的单价应是______元千克．

二、选择题（本题共4小题，共12分）

15. 下列代数式中，，，，，中，单项式(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

16. 下列多项式中，与相乘的结果是的多项式是(    )

A.  B.  C.  D.

17. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解(    )

A.
B.
C.
D.

18. 如图，正方形与正方形，点在上，与相交于点，已知正方形的边长为，正方形的边长为，用，表示下列面积，则下列选项中不正确的(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本题共10小题，共60分）

19. 计算：．
20. 计算：．
21. 计算：．
22. 计算：．
23. 分解因式：．
24. 分解因式：．
25. 先化简，再求值：，其中．
26. 已知：，，求代数式的值．
27. 如图所示，大正方形是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形拼成，设直角三角形较长的直角边如：为，较短直角边如：为．
    
    用含，的代数式表示大正方形的面积；
    图是由图变化得到，它是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形拼接而成．记图中正方形、正方形的面积分别为、若，，求直角三角形与正方形的面积．
28. 阅读下列材料：
    让我们来规定一种运算：，
    例如：，再如：．
    按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
    ______．
    当时，求的值．
    将下面式子进行因式分解：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
的平方减去的次方为，
故答案为：．
根据题意列出代数式，即可求解．
本题考查了列代数式，明确题意，准确得到数量关系是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，时，


，
故答案为：．
把，的值代入式子中，进行计算即可解答．
本题考查了代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：单项式的系数是：．
故答案为：．
直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．
此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的系数确定方法是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：多项式关于的一次项是，
故答案为：．
找到关于的一次项即可．
本题考查多项式的有关概念，关键是注意是找到关于的一次项．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：多项式按字母的降幂排列，结果是，
故答案为：．
按的指数从大到小的顺序排列即可．
本题考查了多项式，关键是注意：把一个多项式按一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作把这个多项式按这个字母的降幂排列．
 

8.【答案】 

【解析】解：单项式与是同类项，
，，
．
故答案为：．
根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案．
本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
根据题意列出整式相减的式子，再去括号，合并同类项即可．
本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：，
根据积的乘方与幂的乘方法则进行计算．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，关键是熟记幂的乘方与积的乘方法则．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，，，
解得，，，
，
故答案为：．
根据多项式乘多项式的运算法则进行求解．
此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确运用相关法则进行正确地计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征列出的方程求得解便可．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
观察其右边的结果：第一个是；第二个是；依此类推，则第个的结果即可求得．
本题考查了平方差公式，发现规律：右边的指数正好比前边的最高指数大是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：混合后的总价钱为：
，
混合后的总质量为：
，
故什锦糖的单价为：
，
混合而成的什锦糖的单价应是元千克．
先求出千克甲种糖果和千克乙种糖果的总价钱为，混合糖果的总质量为，用总价钱除以总质量即为什锦糖的单价．
本题考查列代数式，本题中，混合什锦糖单价甲种糖果和乙种糖果的总价钱混合糖果的质量．
 

15.【答案】 

【解析】解：代数式中，，，，，，单项式，，，共个．
故选：．
直接利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，进而判断得出答案．
此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意，
，
选项D不符合题意，
故选：．
用分别乘以各选项中的多项式进行辨别、求解．
此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确运用计算法则进行正确地计算．
 

17.【答案】 

【解析】解：，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，
，故选项A不符合题意；
，，
，故选项B符合题意；


，
，
，
，
，故选项C不符合题意；
，，
，故选项D不符合题意；
故选：．
根据三角形及梯形和正方形面积公式分别进行列代数式，然后化简代数式，判断是否相等即可．
本题考查整式的加减，准确识图，掌握几何图形中利用割补法求图形面积的方法是解题关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用单项式乘多项式运算法则、合并同类项法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式分别化简，进而合并同类项得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：

． 

【解析】根据多项式乘多项式的运算法则进行求解．
此题考查了多项式乘多项式的运算能力，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算．
 

22.【答案】解：


． 

【解析】先计算多项式乘多项式，再计算整式的加减运算．
此题考查了多项式乘多项式的混合运算运算能力，关键是能准确运用对应法则和运算顺序进行正确的计算．
 

23.【答案】解：


． 

【解析】原式变形可得，再提公因式因式分解即可．
本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：



． 

【解析】直接利用完全平方公式化简，进而结合十字相乘法、平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了十字相乘法、平方差公式分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
 

25.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则及平方差公式、完全平方公式化简代数式．
首先根据整式相乘的法则和平方差公式、完全平方公式计算，再去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解．
 

26.【答案】解：，，
． 

【解析】首先运用提取公因式法分解因式，再配方，然后代入已知条件计算即可．
本题考查了因式分解的应用以及配方法；熟练掌握因式分解和配方法是解题的关键．
 

27.【答案】解：由勾股定理知，
则正方形的面积；
设八个全等的直角三角形的面积均为，则
，，
两式相加可得，
，
两式相减得，，
，
，
故直角三角形与正方形的面积分别为，． 

【解析】如图所示，大正方形是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形拼成，设直角三角形较长的直角边如：为，较短直角边如：为．
设八个全等的直角三角形的面积均为，依据正方形内外四个直角三角形的面积之和相等，解方程组即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的证明以及正方形的性质，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
 

28.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
 由题意得，，
解得：；
由本题运算规则，原式


．
直接利用运算公式计算得出答案；
利用运算公式得一元一次方程，解方程即可；
利用运算公式得，再因式分解即可．
此题主要考查了整式的加减以及新运算，正确运用已知公式是解题关键．