2023-2024学年上海市杨浦区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. x2−12+x3=1分式方程B. x2+3y=1是二元二次方程
C. x2+ 2x−1=0是无理方程D. x2+x=0是二项方程
2.下列方程中，有实数根的是( )
A. x−2+3=0B. xx−2=2x−2C. 2x2+3x+1=0D. 2x4+3=0
3.用换元法解方程x2−1x+xx2−1=3时，如果设x2−1x=y，那么可以得到一个关于y的整式方程，该方程是( )
A. y2−3y−1=0B. y2+3y−1=0C. y2−3y+1=0D. y2+3y+1=0
4.一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为( )
A. 11B. 10C. 9D. 8
5.A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=−3x+1图象上的不同的两点，则( )
A. (x1−x2)(y1−y2)<0B. (x1−x2)(y1−y2)>0
C. (x1−x2)(y1−y2)=0D. (x1−x2)(y1−y2)的符号无法判断
6.下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对角相等，一组邻角互补
B. 一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线
C. 一组对边平行，一组对角相等
D. 一组对边平行，另一组对边相等
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.一次函数y=2x−3的截距是______．
8.关于x的方程ax−4x−2=0(a≠4)的解是______．
9.如果函数y=kx+3中的y随x的增大而减小，那么这个函数的图象不经过第______象限．
10.一辆汽车.新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为x.如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于x的方程是______.(列出方程即可，无需求解)
11.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A(2,0)、B(0.−1.5)两点，那么当y<0时，自变量x的取值范围是______．
12.已知平行四边形ABCD中，已知∠A：∠D=3：2，则∠C= ______度.
13.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为______．
14.二元二次方程组x2−4y2=0(x−y)2−5(x−y)−6=0可化为四个二元一次方程组，这四个二元一次方程组分别是______．
15.某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元.某人乘该类出租车行驶了x(316.甲、乙两人加工某种零件．若单独工作，则乙要比甲多用12天才能完成；若两人合作，则8天可以完成．设甲单独工作x天可以完成，则可以列出方程：______．
17.含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(−2,0)，B(0,1)，则直线BC的解析式为______．
18.已知：如图所示，直线y=− 33x+ 3交x轴于点A，交y轴于点B，若点P从点A出发，沿射线AB作匀速运动，点Q从点B出发，沿射线BO作匀速直线运动，两点同时出发，运动速度也相同，当△BPQ为直角三角形时，则点Q的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
解方程：x+2x−2+x2−8x2−3x+2=1．
20.(本小题5分)
解方程：3− 2x−3=x．
21.(本小题5分)
解方程组：x+2y=5x2−y2=2(x+y)．
22.(本小题5分)
5x+y+1x−y=73x+y−1x−y=1
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y=−12x，且经过点A(−2,3)，与x轴交于点B．
(1)求这个一次函数的解析式并画出图象；
(2)设点C在y轴上，当AC=BC时，求点C的坐标．
24.(本小题8分)
甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．
x(小时)y(千米)
(1)求甲车原计划的速度；
(2)如图是甲车行驶的路程y(千米)与时间x(小时)的不完整函数图象，那么点A的坐标为______，点B的坐标为______，4小时后的y与x 的函数关系式为______(不要求写定义域)．
25.(本小题8分)
如图，E、F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE=DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)联结AC，若∠BAF=90°，AB=8，AF=AE=6，求AC的长．
26.(本小题10分)
如图，一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象相交于点A(2,a)，与x轴交于C点，与y轴交于B点．
(1)求出a，k的值；
(2)若M(m,0)为x轴上的一动点，当△AMB的面积为72时，求m的值．
(3)在x轴上是否存在点D，使得∠BOA=∠OAD，若存在请直接写出点D坐标，若不存在请说明理．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、x2−12+x3=1为一元二次方程，所以A选项的说法错误；
B、x2+3y=1为二元二次方程，所以B选项的说法正确；
C、x2+ 2x−1=0是一元二次方程，所以C选项的说法错误；
D、x2+x=0是一元二次方程，所以D选项的说法错误．
故选：B．
根据一元二次方程的定义对A、B、C进行判断；根据二元二次方程的定义对B进行判断，
本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．也考查了一元二次方程的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵ x−2≥0，
∴ x−2+3≥3，
∴方程无解；
B、xx−2=2x−2，
方程有意义，则x−2≠0，x≠2，
解得，x=2；
∴方程无解；
C、2x2+3x+1=0，
∵△=9−4×2×1=1>0，
∴方程有实数根；
D、2x4+3=0，
∵2x4≥0，
∴2x4+3≥3，
∴方程无解；
故选：C．
分别根据分式方程、无理方程的解法，判断、解答即可．
本题考查了无理方程、分式方程及一元二次方程以及高次方程的解法，在解答无理、分式方程时，x的取值必须使方程有意义，注意验根．
3.【答案】C
【解析】解：设x2−1x=y，
方程x2−1x+xx2−1=3化为y+1y=3，
整理得：y2−3y+1=0．
故选：C．
由设出的y，将方程左边两项代换，得到关于y的方程，整理后即可得到结果．
此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
4.【答案】B
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，(n−2)⋅180°=1440°，
解得n=10．
故选B．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式并列出方程是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵k=−3<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=−3x+1图象上的不同的两点，
∴x1−x2与y1−y2异号，
∴(x1−x2)(y1−y2)<0．
故选：A．
由k=−3<0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=−3x+1图象上的不同的两点，可得出x1−x2与y1−y2异号，进而可得出(x1−x2)(y1−y2)<0．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】−3
【解析】解：∵在一次函数y=2x−3中，
b=−3，
∴一次函数y=2x−3在y轴上的截距b=−3．
故答案是：−3．
一次函数y=kx+b在y轴上的截距是b．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的关系式．
8.【答案】2a−4
【解析】解：ax−4x−2=0(a≠4)
移项及合并同类项，得
(a−4)x=2，
系数化为1，得
x=2a−4，
故答案为：2a−4．
根据解一元一次方程的方法可以求得方程ax−4x−2=0(a≠4)的解，本题得以解决．
本题考查一元一次方程的解，解题的关键是明确解一元一次方程的方法．
9.【答案】三
【解析】解：∵函数y=kx+3中的y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴函数y=kx+3的图象经过第二、三、四象限或一、二、四象限；
又∵函数y=kx+3与y轴相交于：0×x+3=3，
∴不经过第三象限，
故答案为：三．
根据函数y=kx+3中的y随x的增大而减小，可以判断k为负；然后根据一次函数的性质，即可得到函数y=kx+3经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
10.【答案】20(1−x)2=14.45
【解析】解：设每年的年折旧率为x，
20(1−x)2=14.45．
故答案为：20(1−x)2=14.45．
设每年的年折旧率为x，根据新车购买价20万元，该车购买之后的第二年年末折旧后价值14.25万元，可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】x<2
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(2,0)，且y随x的增大而增大，
∴当y<0时，x<2．
故答案为：x<2．
观察函数图象可知y随x的增大而增大，结合一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可求出当y<0时x的取值范围．
本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出y随x的增大而增大是解题的关键．
12.【答案】108
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，∠A=∠C，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A：∠D=3：2，
设∠A=3x°，∠D=2x°，
∴3x+2x=180，
∴x=36，
∴∠A=108°，
∴∠C=108°，
故答案为：108．
根据平行四边形对边平行对角相等即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD//BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
在△AEO和△CFO中，∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12，
故答案为12．
先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=1.5，即可求出四边形的周长．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
14.【答案】x+2y=0x−y+1=0，x+2y=0x−y−6=0，x−2y=0x−y+1=0，x−2y=0x−y−6=0．
【解析】解：将原二元二次方程组各方程分解因式，得(x+2y)(x−2y)=0(x−y+1)(x−y−6)=0，
∴原方程可化为四个二元一次方程组，即x+2y=0x−y+1=0，x+2y=0x−y−6=0，x−2y=0x−y+1=0，x−2y=0x−y−6=0．
故答案为：x+2y=0x−y+1=0，x+2y=0x−y−6=0，x−2y=0x−y+1=0，x−2y=0x−y−6=0．
将原二元二次方程组各方程分解因式并组合即可．
本题考查解二元一次方程组，掌握分解因式的方法是解题的关键．
15.【答案】y=2.5x+6.5(3【解析】解：∵3∴y=14+2.5(x−3)=2.5x+6.5，
∴y与x的函数解析式为y=2.5x+6.5(3故答案为：y=2.5x+6.5(3当3本题考查函数关系式，理解题意并得到“乘车费用=起步价+超过3千米部分的付费”是解题的关键．
16.【答案】8x+8x+12=1
【解析】解：设甲单独工作x天可以完成，则乙单独工作(x+12)天才能完成，
由题意，得8x+8x+12=1．
故答案为8x+8x+12=1．
设甲单独工作x天可以完成，由“若单独工作，则乙要比甲多用12天才能完成”可知乙单独工作(x+12)天才能完成，根据“若两人合作，则8天可以完成”得到等量关系：甲8天完成的工作量+乙8天完成的工作量=1，据此列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．工程问题中常用的关系式有：工作时间=工作总量÷工作效率．
17.【答案】y=−13x+1
【解析】【分析】
本题主要考查待定系数法及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求得C点坐标是解题的关键．
过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，可求得CD和OD的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式．
【解答】
解：如图，过C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CAB=90°，
∴∠DAC+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAC=∠ABO，
在△AOB和△CDA中，
∠ABO=∠CAD∠AOB=∠CDAAB=AC，
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
∵A(−2,0)，B(0,1)，
∴AD=BO=1，CD=AO=2，
∴C(−3,2)，
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴−3k+b=2b=1，解得k=−13b=1，
∴直线BC解析式为y=−13x+1，
故答案为：y=−13x+1．
18.【答案】(0, 33)或(0,− 33)
【解析】解：对于直线y=− 33x+ 3，
当y=0时，即− 33x+ 3=0，
解得，x=3，
当x=0时，y= 3，
∴OA=3，OB= 3，
∴∠OAB=30°，
设运动的速度为1，时间为t，
则点P的坐标为：(3− 32t,12t)，点Q的坐标为：(0, 3−t)，
则BQ=t，PB=2 3−t，PQ= (3− 32t)2+(32t− 3)2，
当∠BPQ=90°时，(2 3−t)2+(3− 32t)2+(32t− 3)2=t2，
解得，t1=2 3，t2=4 33，
点Q的坐标为(0,− 33).，
当∠BQP=90°时，t2+(3− 32t)2+(32t− 3)2=(2 3−t)2，
解得，t1=0，t2=2 33，
则点Q的坐标为(0, 33)，
当∠PBQ=90°时，t2+(2 3−t)2=(3− 32t)2+(32t− 3)2，
解得，t1=0，t2=2 3，
点Q与B重合，
故答案为：(0, 33)或(0,− 33).
根据题意表示出△BPQ的三边长，分∠BQP=90°、∠QBP=90°、∠BPQ=90°三种情况，根据勾股定理计算．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用分情况讨论思想、掌握两点间的距离公式是解题的关键．
19.【答案】解：两边都乘以(x−2)(x−1)得，
(x+2)(x−1)+x2−8=x2−3x+2，
即x2+x−2+x2−8=x2−3x+2，
解得x=−6或x=2，
经检验x=2是原方程的增根，x=−6是原方程的根，
所以原方程的根为x=−6．
【解析】根据分式方程的解法，去分母化成整式方程，求出x的值，再检验即可．
本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答关键．
20.【答案】解：整理得：3−x= 2x−3，
两边平方得：9−6x+x2=2x−3，
(x−2)(x−6)=0，
解得x=2或x=6．
经检验x=2是原方程的解．
【解析】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
整理后变形为3−x= 2x−3，两边平方，把无理方程转换为平时常见的方程的形式．
21.【答案】解：x+2y=5①x2−y2=2(x+y)②，
由①，得：x=5−2y③，
将③代入②，得：(5−2y)2−y2=2(5−2y+y)，
整理得，y2−6y+5=0，
即(y−1)(y−5)=0，
∴y−1=0或y−5=0，
解得y1=1，y2=5，
将y1=1代入③得，x1=5−2y=3；
将y2=5代入③得，x2=5−2y=−5；
∴方程组的解为x1=3y1=1或x2=−5y2=5．
【解析】方程组利用代入消元法得到y2−6y+5=0，然后解一元二次方程求出y1=1，y2=5，然后代入求解即可．
本题考查解二元二次方程组，能够熟练掌握代入消元法和解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
22.【答案】解：设1x+y=a，1x−y=b，
∴原方程化为：5a+b=73a−b=1，
解得：a=1b=2，
∴1x+y=1，1x−y=2，
∴x+y=1x−y=12，
解得：x=34y=14，
经检验：x=34y=14是原方程组的解．
【解析】设1x+y=a，1x−y=b，于是得到原方程化为：5a+b=73a−b=1，解方程组即可得到结论．
本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y=−12x，
∴k=−12，
∵一次函数的图象经过点A(−2,3)，
∴3=−12×(−2)+b，
∴b=2，
∴一次函数的解析式为y=−12x+2，
画出图象如图，
；
(2)由y=−12x+2，令y=0，得−12x+2=0，
∴x=4，
∴一次函数的图形与x轴的交点为B(4,0)，
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为(0,y)，
∵AC=BC，
∴ (−2−0)2+(3−y)2= (4−0)2+(0,−y)2，
∴y=−12，
经检验：y=−12是原方程的根，
∴点C的坐标是(0,−12).
【解析】(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，解方程即可得到结论；
(2)求得一次函数的图形与x轴的解得为B(4,0)，根据两点间的距离公式即可得到结论．
本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】(1)设甲车原计划的速度为x千米/小时
由题意得600x−10−600x=2，
解得x1=−50x2=60
经检验，x1=−50x2=60都是原方程的解，但x1=−50不符合题意，舍去
∴x=60，
答：甲车原计划的速度为60千米/小时；
(2)(4,240)；(12,600)；y=45x+60
【解析】解：(1)见答案
(2)4×60=240，
所以点A的坐标为(4,240)；
点B的坐标为(12,600)；
4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60；
故答案为：(4,240)；(12,600)；y=45x+60
【分析】
(1)设甲车原计划的速度为x千米/小时，根据图象列出方程解答即可；
(2)根据图象得出坐标和关系式即可．
本题考查了一次函数的应用及函数的图象，解答本题的关键是仔细观察所给图象，理解每个拐点的实际意义，注意数形结合思想的运用．
25.【答案】(1)证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，即OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)解：∵∠BAF=90°，AB=8，AF=6，
∴BF= AB2+AF2=10，
∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，OE=OF，OA=OC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴OA2=AB2−OB2=AE2−OE2，
∴82−(10−OF)2=62−OF2，
解得：OF=3.6，
∴OA= 62−3．62=4.8，
∴AC=2OA=9.6．
【解析】(1)连接AC，交BD于点O，由平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，证得OE=OF，则即可得出结论；
(2)由勾股定理求出BF=5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2=AB2−OB2=AE2−OE2，解得OF=1.8，则OA=2.4，得AC=2OA=4.8．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由题意可知点A(2,a)在一次函数y=12x+2的图象上，
∴a=12×2+2=3，
∴A(2,3)．
∵一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象相交于点A，
∴3=k2，
∴k=6；
(2)对于y=12x+2，令y=0，则0=12x+2，
解得：x=−4，
∴C(−4,0)．
令x=0，则y=2，
∴B(0,2)．
∵M(m,0)为x轴正半轴的一动点，
∴CM=m−(−4)=m+4，
∴S△ACM=12CM⋅yA=12(m+4)×3=32(m+4)，
S△BCM=12CM⋅yB=12(m+4)×2=(m+4)，
∵S△AMB=S△ACM−S△BCM，S△AMB=72，
∴32(m+4)−(m+4)=72，
解得：m=3．
(3)过A作AD⊥x轴于D，
∴AD/​/y轴，
∴∠AOB=∠OAD，
∵A(2,a)，k=6，
∴y=6x，
把x=2，代入a=62=3，
∴D(2,0)，
作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D′，
∴△EOA是等腰三角形，
∴∠AOB=∠OAD′，
∵A(2,3)，
∴OA= 22+32= 13，
∵tan∠AOB=23=EFOF=EF 132，
∴EF= 133，
∴OE= EF2+OF2= ( 133)2+( 132)2=136，
设直线AE的解析式为：y=mx+n，
把A(2,3)，E(0,136)代入解析式可得：2m+n=3n=136，
解得：m=512n=136，
∴直线AE的解析式为：y=512x+136，
把y=0代入y=512x+136，
解得：x=−265，
∴D′(−265,0)，
综上所述，D的坐标为(2,0)或(−265,0)．
【解析】(1)将点A(2,a)代入y=12x+2，即可求出a的值，从而得到A(2,3).再将A(2,3)代入y=kx，即可求出k的值；
(2)根据一次函数解析式可求出C(−4,0)，B(0,2).结合M(m,0)为x正轴上的一动点，可求出CM=m+4.最后根据S△AMB=S△ACM−S△BCM，结合三角形面积公式，即可列出关于m的等式，解出m的值即可．
(3)过A作AD⊥x轴于D，作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D′，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．