第一章 集合与常用逻辑用语核心素养练---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一

第一章集合与常用逻辑用语核心素养练

一、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

1.     下列各组中的两个集合相等的是 (    )

A. ，
B. Z，Z
C. ，
D. ，

2.     下列命题中是假命题的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

3.     江苏省镇江市诊断考试]设条件p：，q：，若p是q的充分条件，则m的最大值为__________，若p是q的必要条件，则m的最小值为__________.
4.     已知点H是正三角形ABC内部一点，，，的面积值构成一个集合M，若M的子集有且只有4个，则点H需满足的条件为__________.
5.     上海市实验学校高一期中]已知集合，R，若满足的所有实数a构成集合A，则__________，A的子集有__________个．
6.     已知集合，，，全集，则__________；若，则实数b的取值范围为__________.
7.     已知集合，，若，，则__________，__________.
8.     观察下面几个算式，
   ；
   ；   
   ；
   ；
   ；
   …
   得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为__________
9.     根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为__________.

，，，，……

三、解答题（本大题共9小题，共108.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

10. 本小题分

已知两个关于x的一元二次方程和，求两方程的根都是整数的充要条件．

11. 本小题分
    已知集合P中的元素有个且均为正整数，将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即，，，，其中，，若集合A，B，C中元素满足，，，2，，n，则称集合P为“完美集合”．
    若集合，，，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”并说明理由．
    若集合，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值．
12. 本小题分

对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合A，A，记集合的元素个数为定义变换T，变换T将集合A变换为集合

若，求，；

若集合…，，…，N，证明：“”的充要条件是“…”；

13. 本小题分
    设a，b，c分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长a，b，c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
14. 本小题分

已知集合.问是否存在a，使

A中只有一个元素；

A中至多有一个元素；

A中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．

15. 本小题分

已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则

若，求出A中其他所有元素；

是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；

根据，你能得出什么结论？

16. 本小题分

设集合或，

若，求实数a的取值范围；

若，求实数a的取值范围.

17. 本小题分

已知集合，，若，求实数m的取值范围

18. 本小题分
    已知集合A为非空数集，定义，
    若集合，直接写出集合及；
    若集合，，且，求证；
    若集，且，求集合A中元素的个数的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查相等集合的判断.
根据集合相等的概念对选项逐个判断即可.

【解答】

解：对于选项A，P表示大于或等于1的奇数，Q表示大于或等于3的奇数，所以两个集合不相等;
对于选项B，Z，从而可得
对于选项C，Z，Z，Z，Z，所以
对于选项D，易知，所以两个集合相等.
故选

2.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，存在量词命题与全称量词命题真假的判断，属于中档题．
举反例可判断AC；根据方程的根可判断

【解答】

解：当时，，所以，不正确，所以A是假命题；
当时，，所以，，正确；所以B是真命题；
当时，，所以，不正确，所以C是假命题；
当且仅当时，，又，所以，不正确，所以D是假命题．
故选

3.【答案】1

4

【解析】

【分析】

 由解得，根据p是q的充分条件，结合集合的包含关系，列出不等关系式，求得，从而得到m的最大值；根据p是q的必要条件，结合集合的包含关系，列出不等关系式，求得，从而得到m的最小值．

【解答】

解：由得，p是q的充分条件，
的最大值为是q的必要条件，的最小值为
故答案为：1；

4.【答案】H在的三条高上且H不为重心注等边三角形三线合一，四心合一，其它合理的答法也可以 

【解析】

【分析】

若M的子集有且只有4个，则M的元素有且只有2个，进而得到答案．
本题考查的知识点是子集的个数与元素个数的关系，根据已知得到M的元素有且只有2个，是解答的关键．

【解答】

解：若M的子集有且只有4个，则M的元素有且只有2个，
点H是正三角形ABC内部一点，，，的面积值构成一个集合M，
故，，的面积有且只有两个相等，
故：H在的三条高上且H不为重心
故答案为：H在的三条高上且H不为重心注等边三角形三线合一，四心合一，其它合理的答法也给分

5.【答案】

8

【解析】

【分析】

本题考查了集合的表示，子集的含义，分类讨论的思想方法，考查了计算能力．
可以求出，根据，然后讨论a是否为0：显然满足题意；时，可得出或2，然后解出a即可．继而求出A的子集个数。

【解答】

解：由得，而，当时，符合题意；
当时，或，或，
，的子集有个
故答案为：；

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查集合关系中的参数取值问题，属于中档题．

根据集合的交集运算的概念即可求解；由条件可得或，因此只需满足即可求得结果．

【解答】

解：由条件得：；
或，，
若，
则有：，解得：
故答案为：；

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题重点考查集合的运算，属于基础题.
通过判断，，可得
结合求出a，b，得M，N，再由并集运算即可求解.

【解答】

解：因为，所以方程与有公共解，
又同时满足方程与，
所以，，所以
由上可知，，由得，，
联立方程组解得，，
所以，，
故
故答案为：

8.【答案】，…… 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题，根据已知中的等式找到规律即可求解.

【解答】

解：由已知中：
；
；   
；   
；
；
…
可得：……，
得到全称量词命题为，……；
故答案为：，……；

9.【答案】，… 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题的表述.
根据规律即可知这一关系对都成立，进而求出结果.

【解答】

解：因为，，
，

根据所给四个式子可以得到规律，
所以，…
故答案为，…

10.【答案】解：是一元二次方程，

另一方程为，且两方程都要有实根，

解得

两方程的根都是整数，

其根的和与积也为整数，

即

为4的约数，

又，

或

当时，第一个方程可化为，其根不是整数；

当时，两方程的根均为整数，
两方程的根均为整数的充要条件是

【解析】本题考查充要条件的应用，涉及二次函数的性质.
由两方程都要有实根可得，所以又可得两方程的根的和与积也为整数，所有，可得或1，再进行验证即可.
 

11.【答案】解：集合为“完美集合”，
令，，
则集合A、B、C中的元素满足，
集合不是"完美集合"，
对于集合Q：
设A中元素之和为M，B中元素之和为N，C中元素之和为L，
所以，
由题意：，
所以，，不是整数，
所以集合不是“完美集合”;
由可知：，且，
由题意可得：为P中最大元素，则，
C中元素之和为，
所以A，B中元素之和为，必是1，3，4，5，6中去掉某个元素后余下4个元素的和，
共有五种情况：13、14、15、16、18，
对应的x值为：7、9、11、13、17，
当时，，，集合，
当时，，，集合，
当时，，，集合，
或17时，不符合题意，
所以正整数x的值为7或9或 

【解析】本题考查集合的新概念型的问题，关键是读懂题意，考查分析推理与计算能力，属于较难题.
讨论集合A和集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据，可依次判断集合P和集合Q是否为“完美集合”；
根据完美集合的概念求出x的可能取值，然后逐一验证从而得到x的值;
 

12.【答案】解：，；

充分性：若，
设，

则，，，
，

，，
而的取值有2、3、4、共个值，

有个元素

必要性：若，

由题意知，

个值，

又，
且集合中元素与之间只有一个元素，
，，

【解析】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．
根据定义直接进行计算即可;
先证充分性再证必要性，结合集合中元素的性质可得.
 

13.【答案】解：设a，b，c分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是

证明如下：必要性：在中，是锐角，作，D为垂足，如图

显然
 

，即

充分性：在中，，不是直角.

假设为钝角，如图作，交BC延长线于点

则
 

即，与“”矛盾.

故为锐角，即为锐角三角形.

设a，b，c分别是的三条边，且，为钝角三角形的充要条件是

证明如下：必要性：在中，为钝角，如图，显然：

即

充分性：在中，，

不是直角，假设为锐角，如图，

则

即，这与“”矛盾，从而必为钝角，即为钝角三角形.

【解析】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明，证明时注意用反证法，属于拔高题.
根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是为钝角三角形的充要条件是再分别证明充分与必要性即可.
 

14.【答案】当时，方程只有一解，即，此时A中只有一个元素；

当，且，即时，方程有两个相等的根，A中只有一个元素.

综上所述：当或时，A中只有一个元素.

中至多有一个元素，即或A中只有一个元素.

由可知或时A中只有一个元素，

而，即时方程无解，A为空集，

综上所述：当或时，A中至多有一个元素.

中至少有一个元素，即方程有解，

时，，即，
其中时，方程有两个相等的根，，

若，方程有两个不相等的根，，，此时

时，方程有根，

综上所述：时，A中至少有一个元素.

【解析】本题考查了根据集合中元素的个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.
考虑和两种情况，分情况讨论即可得到答案.

考虑或A中只有一个元素，计算得到答案.

中至少有一个元素，即方程有解，考虑方程有一个解或者方程有两个解的情况，分情况讨论计算即可得到答案.

15.【答案】解：由题意可知：，
，，
故A中其他所有元素为
不是A的元素.若，则，
而当时，不存在，
故0不是A的元素.取，同理的求法，可得
可得
猜想①A中没有元素；
②A中有4个元素，且每两个互为负倒数.由上题知：
若，
则无解.故
设
，
又由集合元素互异性知，A中最多只有4个元素且，
显然若则，得无实数解.故
同理，，故A中有4个元素.
故：①A中没有元素；
②A中有4个元素，且每两个互为负倒数. 

【解析】本题主要考查集合的应用以及阅读题意的能力，题目比较新颖．
根据若，则，可知，依据定义可知，依此类推可知，，即可求出集合A的元素； 
假设，根据“若，则”得，而当时，不存在，故0不是A的元素，取，根据定义可知集合
分析中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”证明．
 

16.【答案】解：或，
，
或
或，
综上所述，实数a的取值范围为或
，
，
有三种情况：①，解得
② ，解得
③，满足，则，解得，
综上，a的取值范围为或 

【解析】本题考查含参数的交集运算问题，考查集合之间的包含关系.
若，说明B不为空集，且B与A有公共元素，由此我们可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围；
先求得集合A，由，可得，分情况列不等式组解得实数m的取值范围.
 

17.【答案】解：，

因为，所以

对于方程，

因为，故，

当时，可得，

当时，，此时m不存在，

当时，可得解得，满足，

综上所述，或

【解析】本题考查集合的运算，集合的包含关系，分类讨论，注意空集的特殊情况考虑，属于中档题.
解方程求出集合A，根据可得，根据判断可得，讨论B中只有1元素和B中只有2个元素列方程即可求解.
 

18.【答案】解：根据题意，由，则，；
由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，即，
剩下的，所以；
设…，满足题意，其中…，用表示集合A中元素个数，
则……，
，…，，
，可得，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当…，时满足题意，证明如下：
设…，，，
则…，，…，，
依题意有，即，
故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多，
即…，时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是 

【解析】本题考查新定义集合问题，属于拔高题.
根据新定义，直接写出集合及；
根据题意得到，剩下的，由此即可证得结论；
设…，满足题意，其中…，先根据题意得到，得到，再证明集合A中元素的个数的最大值是