第一章集合与常用逻辑用语期末练习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语 期末练习题

一、单选题（12题）

1．下列说法中，正确的个数是（  ）

①的近似值的全体构成一个集合

②自然数集N中最小的元素是0

③在整数集Z中，若，则

④一个集合中不可以有两个相同的元素

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知集合，则中元素的个数为（  ）

A．4 B．5 C．8 D．9

3．已知集合，则M=（  ）

A． B． C．（1，0） D．

4．已知集合，若，则（  ）

A．1 B．0 C． D．无法确定

5．已知集合，集合，则C的子集的个数为（  ）

A．3 B．8 C．7 D．16

6．已知集合，，则有（  ）个真子集.

A．3 B．16 C．15 D．4

7．若集合，则下列选项正确的是（  ）

A． B．

C． D．

8．已知，则 （  ）

A． B．

C． D．

9．下列说法正确的是（  ）

A．“”是“”的充要条件；

B．“”是“”的充分但不必要条件；

C．“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的必要但不充分条件；

D．“方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分但不必要条件是“”．

10．“”是“”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11．命题“对任意的，有”的否定是（  ）

A．不存在，使 B．存在， 使

C．存在，使 D．对任意的，

12．已知命题；命题，则下列说法正确的是（  ）

A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题

B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题

C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题

D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题

二、填空题（4题）

13．集合，且，则______.

14．已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有______个．

15．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是______．

16．若，，则“”是“”______的条件.

三、解答题（6题）

17．已知集合，a为实数.

(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；

(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；

(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.

18．求实数a的值.

(1)已知,,求实数a的值;

(2)已知集合,若集合A有两个子集,求实数a的值.

19．已知全集，集合，，

(1)求，

(2)若，则实数的所有值构成的集合．

20．已知集合．

(1)当时求

(2)若，求实数的取值范围．

21．已知集合或，集合，．

(1)若，且C⊆(A∩B)，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数m，使x∈(A∩B)是x∈D的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

22．已知命题p：不等式，在时恒成立，命题q：，使得

(1)写出命题q的否定.

(2)若命题p和命题q均为真命题，求a的范围.

参考答案：

1．C

【分析】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.

【详解】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；

②自然数集N中最小的元素是0，正确；

③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确，

④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，

故选：C．

2．B

【分析】由已知可得，可取-1，0，1.分别令、、，求解出即可.

【详解】因为，，，所以，可取-1，0，1.

当时，原式为，又，所以；

当时，原式为，又，所以或或；

当时，原式为，又，所以.

所以，，共有5个元素.

故选：B．

3．B

【分析】根据该集合元素的意义是二元一次方程组的解，解方程即可．

【详解】解：由，

解得，

故．

故选：B．

4．B

【分析】分两种情况讨论：①，②，结合集合中元素的互异性以及集合相等的定义可求出结果.

【详解】由可知，，

因为，所以或，

①当时，得或（舍），则，解得或（舍），

此时，符合题意，

此时；

②当时，得或（舍），则，解得或（舍），

此时，符合题意，

此时.

综上所述：.

故选：B

5．B

【分析】根据题意得到集合，然后求子集个数即可.

【详解】由题意得，所以集合的子集的个数为.

故选：B.

6．A

【分析】计算，得到真子集个数.

【详解】，，则，

真子集个数为.

故选：A

7．B

【分析】根据交集和并集的定义即可求解.

【详解】因为集合，

所以，

故选：.

8．B

【分析】求出集合A，根据集合的并集运算，即可得答案.

【详解】由题意解，可得 ，

所以，

则，

故选：B.

9．B

【分析】由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围逐个分析每个选项.

【详解】对于A项，∵，，

∴“”是“”的必要不充分条件，故A项错误；

对于B项，∵N是Z的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件，故B项正确；

对于C项，∵两个三角形全等一定相似，但相似不一定全等，∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故C项错误；

对于D项，∵方程的根为或，

又∵方程有一正一负根，

∴，解得：，

∴“方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件是“”，故D项错误；

故选：B.

10．A

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．

【详解】解：因为，所以，

，，

或，

当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；

当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A

11．C

【分析】解不等式，改命题的量词再否定结论可得命题的否定.

【详解】“对任意的，有”，

即“对任意的，有”，

其否定为“存在，使”，

故选：C.

12．C

【分析】含有存在量词的命题是存在量词命题，其真假性为“有真即真，全假为假”；含有全称量词的命题是全称量词命题，其真假性为“有假即假，全真为真”；据此解答即可.

【详解】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题；

对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题；

所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题.

故选：C．

13．

【分析】分类讨论，，求出的值，再代入集合检验是否满足互异性即可.

【详解】因为，，

所以当时，解得，此时，集合不满足互异性，舍去；

当时，解得或（舍去），此时，满足题意；

综上：.

故答案为：.

14．5.

【分析】列举出满足条件的集合即可得答案.

【详解】若A中没有奇数，则，共1个；

若A中有一个奇数，A可能为：，共4种可能性.

则满足条件的集合有5个.

故答案为：5.

15．或

【分析】解一元二次不等式得到解集，根据充分不必要条件可知是的真子集，列不等式组求k的范围．

【详解】由，则，

16．充分不必要

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：因为，，，

所以，故充分；

当时，，若，则，故不必要，

所以“”是“”充分不必要条件，

故答案为：充分不必要

17．(1)

(2)或.

(3)且

【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解；

（2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程；

（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解.

【详解】（1）若集合是空集，则，

解得.故实数的取值范围为.

（2）若集合是单元素集，则

①当时，即时，，满足题意；

②当，即时，，解得，

此时.

综上所述，或.

（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.

当中有0个元素时，由(1)知；

当中有2个元素时，解得且.

综上所述，实数的取值范围为且.

18．(1)

(2)或

【分析】(1)根据分情况讨论,或,分别求出a的值,代入集合中检验即可;

(2) 集合A有两个子集,说明集合A中有一个元素,分两种情况讨论即可.

【详解】（1）解:由题知因为,故,

又因为,

则或,

①当时,即,

此时,

集合A中的元素不满足互异性,

故舍;

②当时,即,

解得或（舍）,

此时,,

集合A中的元素满足互异性,

综上所述,;

（2）由题因为集合有两个子集,

所以集合A中有一个元素,

①当时,,集合A有两个子集,符合题意;

②当时,,

即,

此时,集合A有两个子集,符合题意;

综上所述,或.

19．(1)，

(2)

【分析】（1）求出，，从而求出补集，交集；

（2）根据可得，分与，求出实数的所有值的集合.

【详解】（1）因为，，

，

所以，；

（2）因为，由可得，

当时，，合乎题意；

当时，，则或，解得：或．

因此，实数的取值集合为．

20．(1)；或

(2)

【分析】（1）把集合化简再求解.

（2）根据题意得到，然后根据和两种情况讨论.

【详解】（1）

，当时，

所以

或，

所以或

或

（2）

当时满足满足；

当时满足

综上：

21．(1)；

(2)存在，．

【分析】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围；（2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围．

【详解】（1）由题设，又，

①当时，，即 ，满足

②当时，，

可得，

综上，a的范围是.

（2）由（1）得，

又x∈(A∩B)是x∈D的必要不充分条件，

所以是真子集，

因为，

所以集合，

所以，有   

解得．

故存在实数m满足条件，且 m的范围是： .

22．(1)，使 ；

(2).

【分析】（1）根据特称命题“存在”，符号，其否定为全称命题，符号为，“”的否定为“”， 即可得出答案.

（2）命题p为真命题，解得，命题q为真命题，解得或，若命题p和命题q均为真命题，两个结果取交集即可得出答案.

【详解】（1）解：特称命题的否定是全称命题，

命题q：“，使”的否定是：，使 ，

故答案为：，使 .

（2）解：命题p：“不等式，在时恒成立”，

即对恒成立，；

命题q：，使得，

，解得或，

若命题p和命题q均为真命题，则或，

所以实数的取值范围为，

故答案为：.