第一章 集合与常用逻辑用语 压轴题练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一

第一章集合与常用逻辑用语压轴题

一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，，那么；③如果，，那么其中正确结论的个数是.(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2.     用表示非空集合A中元素的个数，定义

已知，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则 (    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3.    已知集合，，，则集合的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    设，，若，求实数a组成的集合的子集个数(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

5.    设a，b，c为非零实数，则的所有值所组成的集合为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6.    已知集合，，，全集，则__________；若，则实数b的取值范围为__________.
7.    用符号语言表示命题：对于所有的实数x，满足：__________；该命题的否定为：__________.
8.    已知条件p：，条件q：，且q是p的充分不必要条件，则m的取值集合是__________.
9.    设为实数，，则的充要条件为__________.
10. 至少有一个负实根的充要条件是__________.

三、解答题（本大题共10小题，共120.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 本小题分

合肥一中高一段考]已知全集R，集合，，满足①，②，其中p，q均为不等于零的实数，求p，q的值．

12. 本小题分

山东省济宁市高一期末]在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，并求解．

已知集合，

当时，求；

若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

13. 本小题分

已知全集为R，集合集合

若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.

若求a的取值范围.

14. 本小题分

已知命题p：方程有两个正根为真命题．

求实数m的取值范围；

命题q：，是否存在实数a使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数a取值范围；若不存在，说明理由．

15. 本小题分

设集合，；
用列举法表示集合A；
若是的必要条件，求实数m的值．

16. 本小题分

判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假.

对所有的实数，方程都有唯一解；

存在实数，使得

17. 本小题分

已知集合

若命题是真命题，求m的取值范围；

命题是真命题，求m的取值范围.

18. 本小题分
    设集合，集合，且
    若，求实数a、b的值；
    若，且，求实数m的值；
19. 本小题分

已知集合A中含有两个元素和

若是集合A中的元素，试求实数a的值；

能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．

20. 本小题分

已知方程

求方程有正根的充要条件；

求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，属于较难题．
①根据，得出，即；
②利用反证法，假设存在x，使得，可得矛盾即可证明；
③设，，化简得出满足的形式即可证明．

【解答】

解：集合，
对于①，，，则恒有，
，则，①正确；
对于②，，，若，则存在x，使得，
，又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，可设，，、；
则
那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

由条件可得，结合，易得或3，当时，若要满足题意，则有两个相等实根，此时没有实根，当时，若要满足题意，则有两个不等实根，且有两个相等实根，即可求出a的值.
本题考查集合的表示方法，关键是依据的意义，考查分类讨论思想与运算求解能力．

【解答】

解：由已知得，因为，所以或
当时，若要满足题意，则有两个相等实根，即，即，此时没有实根，所以符合题意；
当时，若要满足题意，则有两个不等实根，且有两个相等实根，即且，所以
综上，或，故
故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查集合之间关系的判断．
对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系．

【解答】

解：集合，
当时，，
当时，，
又集合，，
集合，集合，
可得，
综上可得
故选：

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查含参数的交集运算问题，属于拔高题.
可以求出，根据即可得出，从而可讨论B是否为空集：时，；时，或，解出a，从而得出实数a组成的集合的元素个数，进而可求出实数a组成的集合的子集个数．

【解答】

解：，
，
，
①当时，；
②当时，或，
或，
实数a组成的集合的元素有3个：0，，，
实数a组成的集合的子集个数有个，
故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查集合的表示方法，含有绝对值的代数式计算问题，关键是去掉绝对值，化简即可，属于拔高题．
分a、b、c是大于0还是小于0进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结果．

【解答】

解：，b，c为非零实数，
当，，时，；
当a，b，c中有一个小于0时，不妨设，，，
；
当a，b，c中有两个小于0时，不妨设，，，
；
当，，时，；
的所有值组成的集合为
故选

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查集合关系中的参数取值问题，属于中档题．

根据集合的交集运算的概念即可求解；由条件可得或，因此只需满足即可求得结果．

【解答】

解：由条件得：；
或，，
若，
则有：，解得：
故答案为：；

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题的表示，以及全称量词命题的否定，属于中档题.
用符号语言表示命题后，改为，=改为即可.

【解答】

解：对所有的实数x，满足用符号语言表示命题为：；
该命题的否定为：
故答案为：

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，集合关系中参数取值问题，属于中档题．
先求出条件p所表示的集合A，条件q所表示的集合B，由题意可得，则，或，或，分别求解m的值即可．

【解答】

解：设条件p：，
条件，
是p的充分不必要条件，，
，或，或
当时，满足题意，
当时，若，则，解得，
若，则，解得，
综上可得：m的取值集合是：，
故答案为

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查充要条件的判定，涉及集合中参数取值问题，其中由已知中，分析出，是解答的关键.
若，则，根据集合，，构造关于a的不等式可得答案.

【解答】

解：，

若，则，
若，则，解得，
综上可知的充要条件为
故答案为

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是充要条件，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.
根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可.

【解答】

解：当时，原方程为一元一次方程，有一个负实根，
符合题设．

当时，原方程为一元二次方程，
它有实根的充要条件是，即

设此时方程的两根分别为，，

则，，

当只有一个负实根时，所以；

当有两个负实根时，所以

综上所述，所求的a的取值范围为
故答案为：

11.【答案】解：因为，所以，设，则，否则，与题设矛盾．
将两边同除以，得，从而
结合题意知，存在，使得，且，得或
由知，或
若，则，得
同理，若，则，得
综上，或 

【解析】本题考查了二次函数的性质及方程的根与系数的关系，考查分类讨论的思想，
条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说但，A、B是两个方程的解集，方程和的根的关系的确定是该题的突破口，求p、q的值．
 

12.【答案】解：当时，集合，，
所以；
选择①、因为，所以
因为，所以
又因为，
所以，解得，
因此实数a的取值范围是
选择②、因为““是“”的充分不必要条件，所以
因为，所以
又因为，
所以，且等号不同时成立，解得，
因此实数a的取值范围是
选择③、因为，
而，不为空集，，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是或 

【解析】本题考查了充分、必要、充要条件与集合的关系，并集及其运算，交集及其运算.
当时，可得集合，从而利用并集运算得结论；
选择①，利用并集的运算得，再利用集合关系中的参数取值问题得，最后计算得结论；
选择②，利用充分不必要条件的判断得，再利用集合关系中的参数取值问题得且等号不同时成立，最后计算得结论；
选择③，利用交集的运算得或，最后计算得结论.
 

13.【答案】解：因为是成立的充分不必要条件，
所以P ⫋Q，

则或或

又因为
所以a的取值范围为

，

或，

或即

故a的取值范围是

【解析】本题考查充分不必要条件以及利用集合关系求参数范围，属于中档题.
因为是成立的充分不必要条件所以P ⫋Q，进而求出结果；
由可得或，解不等式即可求出结果.
 

14.【答案】解：命题p：方程有两个正根为真命题．
由可得或，
所以，
解得
是的充分不必要条件;
是p的充分不必要条件;
设集合，集合，
即，
①当时，，解得，符合题意；
②当时，，无解
综上所述，实数a取值范围为 

【解析】本题考查一元二次方程和必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于中档题.
解方程，再由其两根均为正数列不等式求解即可；
由是的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，分和两种情况即可求解.
 

15.【答案】解：集合，
，
解得：，，
集合
，
因为是的必要条件，
所以
方程，此时判别式，方程有解，

当方程只有一个解，判别式，
得，此时方程的解为，满足题意；
当方程有两个解：，时，
由，解得：，经检验符合条件.
故得实数m的值为或 

【解析】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，是中档题.
化简集合A，列举元素表示集合.
利用是的必要条件得到，建立条件关系，讨论集合 B的元素，即可求实数 m的取值.
 

16.【答案】解：是全称量词命题，用符号表示为“方程都有唯一解”，

因为时，方程是无解的，故该命题是假命题.

是存在量词命题，用符号表示为“”，

因为方程中，，

所以无实数解，也就是无实数解，

故该命题是假命题.

【解析】因为命题的表述中有全称量词“所有”，故可判断为全称量词命题，该命题为假命题.

因为命题的表述中有“存在”这样的量词，故可判断为存在量词命题，该命题为假命题.

本题考查全称量词命题、存在量词命题的辨别与真假判断，两类命题均可以通过量词的类型来判断，本题属于一般题.

17.【答案】解：因为命题是真命题，
所以，

当时，，解得；

当时，，后两项不同时取等号，
解得

综上，m的取值范围为

因为是真命题，
所以，

所以，即，
所以，

所以只需满足即可，即

故m的取值范围为

【解析】本题考查根据命题真假求参数取值范围，解题的关键在于将命题关系转化为集合关系，考查化归转化思想，是中档题.
由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；

由命题是真命题得，故，进而得，再根据集合关系求解即可得答案.

18.【答案】解：集合，
又，
若，
根据韦达定理，则，；
若，则，；
若，
则，；
综上，若，则，；
若，则，；
若，则，；
集合，
若，且，
又，则，则或，
解得或，
经检验，
故或 

【解析】本题考查了集合与集合的关系，属于中档题．
，分类进行讨论；
利用集合之间的关系，求出m，注意检验．
 

19.【答案】解：因为是集合A中的元素，所以或，
若，则，此时集合A含有两个元素，，符合要求；
若，则，此时集合A中含有两个元素，，符合要求，
综上所述，满足题意的实数a的值为0或
若为集合A中的元素，则，或
当时，解得，此时，
显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，
此时显然不满足集合中元素的互异性，
综上，不能为集合A中的元素． 

【解析】本题主要考查元素与集合的关系.掌握概念是解题的关键.
因为是集合A中的元素，所以或，求出a的值，结合集合中元素的互异性检验即可；
若为集合A中的元素，则，或，求出a的值，结合集合中元素的互异性检验即可.
 

20.【答案】解：，，
，当方程有两个正根，设两根为，，
则，
当方程有一个正根和一个负根，则，
故方程有正根的充要条件是；

证明：①充分性.

，

，

一元二次方程有两个不等的实根.

设方程的两根为，，

当时，且，

故方程有两个同号且不相等的实根.

②必要性.

若方程有两个同号且不相等的实根.

则有，

即方程有两个同号且不相等的实根

综上可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是

【解析】本题考查充要条件的应用，属于中档题.
对m是否为0分类讨论，建立不等式组即可；
根据充要条件的定义，分别证明充分性及必要性，要结合一元二次方程的根的特性.