【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1第二章 常用逻辑用语 压轴题专练 试卷

第二章 常用逻辑用语（压轴题专练）

题型一　充分条件、必要条件的探求

【例1】下列各项中是－＜x＜3的一个充分条件，但不是必要条件的是(　　)

A．－＜x＜3     B．－＜x＜0

C．－1＜x＜6     D．－3＜x＜

思维升华

探求充分条件、必要条件的方法

(1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p；

(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的结论p．

巩固训练

1．设a∈R，则a＞4的一个必要条件但不是充分条件是(　　)

A．a＞1     B．a＜1

C．a＞5     D．a＜5

2．(1)0＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件是(　　)

A．0＜x＜2     B．x≥－1

C．0＜x＜1     D．1＜x＜3

(2)函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

题型二　充要条件的证明

【例2】已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．

思维升华

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q．

巩固训练

1．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．

2．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0．

题型三　充要条件的应用

【例3】已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的取值范围．

思维升华

应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)的一般步骤．

(1)根据条件转化为集合间的关系．

(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．

巩固训练

1．已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围．

2．已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

题型四　充分条件与必要条件的应用

【例4】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

思维升华

充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤

(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

巩固训练

1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

2．已知p：2≤x≤10，q：a－1＜x＜a＋1，a∈R，且p是q成立的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

题型五　利用命题的真假求参数的取值

【例5】已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－1,3)

C．(－3，＋∞)   D．(－3,1)

思维升华　

含量词的命题中求参数范围的讨论步骤

1先根据条件推出每一个命题的真假．

2求出每个命题为真命题时参数的取值范围．

3最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

巩固训练

1．已知p：∃x0∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为(　　)

A．m≥2   B．m≤－2

C．m≤－2或m≥2   D．－2≤m≤2

2．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．