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    【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1第一章 直线与方程(压轴题专练)
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    【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1第一章 直线与方程(压轴题专练)

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    第一章 直线与方程(压轴题专练)

    题型 直线的倾斜角与斜率的综合问题

    【例1已知两点A(3,4)B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.

    (1)求直线l的斜率k的取值范围

    (2)求直线l的倾斜角α的取值范围.

     

     

     

    思维升华

    解决取值范围问题的策略

    斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的,因此,可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.如图所示,过点P的直线l与线段AB相交时,因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在,而直线PC与线段AB不相交,所以直线l的斜率k的取值范围是kPAkkPB.解决这类问题时,可利用数形结合思想直观地判断直线的位置.  

    巩固训练

    1.若点A(2,-3)B(3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(  )

    A. 

    B.

    C. 

    D.

     

     

    2.若直线l过点A(4,1)B(3a2)(aR),则直线l的倾斜角的取值范围是(  )

    A.  B

    C.  D

     

     

     

    题型 直线的点斜式、斜截式方程的应用

    【例2已知直线l经过点P(2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的斜截式方程.

     

    思维升华

    (1)直线的斜截式方程ykxb清晰地指出了该直线的两个几何要素:斜率k和截距b.

    (2)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,通常选用点斜式,再由其他条件确定斜率;已知直线的斜率,常用斜截式,再由其他条件确定该直线在y轴上的截距,无论采用哪种方式,在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法.  

     

    巩固训练

    1.已知直线l的斜率为-2,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的斜截式方程.

     

    2.已知直线l经过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的斜截式方程.

     

    3.过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于AB两点,求AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程.

     

    题型 直线方程的综合问题

    【例3A是直线ly3x上的第一象限内的一点,B(3,2)为定点,直线ABx轴正半轴于点C,求使AOC面积最小的点A的坐标.

     

    思维升华

    (1)涉及直线与坐标轴围成的面积问题,一般把直线的方程用截距式表示,利用直线在坐标轴上的截距表示面积.

    (2)解答此类问题需注意直线的截距与三角形边长的区别与联系.  

     

    巩固训练

    1已知直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于AB两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:

    (1)AOB的周长为12(2)AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

     

     

    题型 直线方程的综合应用

    【例5已知直线lkx2y3k0.

    (1)若直线l经过第二象限,求k的取值范围;

    (2)设直线lx轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,若AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程.

     

     

    思维升华 

    利用直线的位置或特征确定变量的方法

    将直线方程化为恰当的形式(点斜式、斜截式或截距式等),根据直线的位置或特征构建关于变量的不等关系,通过解不等式()求变量的取值,解题中要注意直线方程的形式对变量取值的限制.  

    巩固训练

    1已知直线lykx2k1.

    (1)求证:直线l过定点.

    (2)若当-3x3时,直线l上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围.

     

     

    题型 直线平行、垂直的综合应用

    【例6已知四边形ABCD的顶点A(mn)B(5,-1)C(4,2)D(2,2),求mn的值,使四边形ABCD为直角梯形.

     

    思维升华 

    利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

     

     

     

    巩固训练

    在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)P(1t)Q(12t,2t)

    R(2t,2),其中t0.试判断四边形OPQR的形状.

     

     

     

    题型 运用坐标法解决平面几何问题

    【例7如图,在ABC中,ABACDBC边上异于BC的任意一点,求证:AB2AD2BD·DC.

     

    思维升华 

    利用坐标法解平面几何问题的4步骤

    (1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;

    (2)用坐标表示有关的量;

    (3)将几何关系转化为坐标运算;

    (4)把代数运算结果翻译成几何关系. 

     

    巩固训练

    已知RtABCB为直角,ABaBCb,建立适当的坐标系,写出顶点ABC的坐标,并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.

     

     

    题型 对称问题

    【例8已知直线l3xy30,求:

    (1)P(4,5)关于l的对称点坐标;

    (2)直线xy20关于直线l对称的直线方程;

    (3)直线l关于点(1,2)对称的直线方程.

     

    思维升华 

    对称问题主要有以下几种情况

    (1)点关于点对称

    点关于点的对称问题是最基本的对称问题,用中点坐标公式求解.点M(ab)关于点(x0y0)的对称点为M(2x0a,2y0b)

    (2)直线关于点对称

    在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行求得斜率,由点斜式得到所求直线方程.

    (3)点关于直线lAxByC0对称的对称点(x2y2)可由得出.

    (4)直线关于直线对称

    直线l1A1xB1yC10关于直线lAxByC0对称的直线l2的方程的求法:转化为点关于直线对称,在直线l1上任取两点P1P2,求出P1P2关于l的对称点,再用两点式可求出直线l的方程.

    巩固训练

    在直线l3xy10上求一点P,使得:

    (1)PA(4,1)B(0,4)的距离之差最大;

    (2)PA(4,1)C(3,4)的距离之和最小.

     


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