【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1第一章 直线与方程（压轴题专练）

第一章 直线与方程（压轴题专练）

题型一　直线的倾斜角与斜率的综合问题

【例1】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

思维升华

解决取值范围问题的策略

斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置．　　

巩固训练

1．若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　 )

A.∪ 

B.

C.∪ 

D.

2．若直线l过点A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围是(　 )

A.  B．∪

C.  D．∪

题型二　直线的点斜式、斜截式方程的应用

【例2】已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程．

思维升华

(1)直线的斜截式方程y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b.

(2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法．　　

巩固训练

1．已知直线l的斜率为－2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程．

2．已知直线l经过点P(－2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程．

3．过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程．

题型三　直线方程的综合问题

【例3】若A是直线l：y＝3x上的第一象限内的一点，B(3,2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标．

思维升华

(1)涉及直线与坐标轴围成的面积问题，一般把直线的方程用截距式表示，利用直线在坐标轴上的截距表示面积．

(2)解答此类问题需注意直线的截距与三角形边长的区别与联系．　　

巩固训练

1．已知直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：

(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

题型四　直线方程的综合应用

【例5】已知直线l：kx－2y－3＋k＝0.

(1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围；

(2)设直线l与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线l的方程．

思维升华　

利用直线的位置或特征确定变量的方法

将直线方程化为恰当的形式(点斜式、斜截式或截距式等)，根据直线的位置或特征构建关于变量的不等关系，通过解不等式(组)求变量的取值，解题中要注意直线方程的形式对变量取值的限制．　　

巩固训练

1．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.

(1)求证：直线l过定点．

(2)若当－3＜x＜3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．

题型六　直线平行、垂直的综合应用

【例6】已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

思维升华　

利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

巩固训练

在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，

R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．

题型七　运用坐标法解决平面几何问题

【例7】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：AB2＝AD2＋BD·DC.

思维升华　

利用坐标法解平面几何问题的4步骤

(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

(2)用坐标表示有关的量；

(3)将几何关系转化为坐标运算；

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．　

巩固训练

已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．

题型八　对称问题

【例8】已知直线l：3x－y＋3＝0，求：

(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；

(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；

(3)直线l关于点(1,2)对称的直线方程．

思维升华　

对称问题主要有以下几种情况

(1)点关于点对称

点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a,2y0－b)．

(2)直线关于点对称

在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行求得斜率，由点斜式得到所求直线方程．

(3)点关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由得出．

(4)直线关于直线对称

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式可求出直线l的方程．

巩固训练

在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．