一元二次函数、方程和不等式易错挑战--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

一元二次函数、方程和不等式易错挑战

一、单选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

2.    已知，是正数，且，下列叙述正确的是(    )

A. 最大值为 B. 的最小值为
C. 最大值为 D. 最小值为

3.    下列说法正确的有(    )

A. 若那么 B. 若，则
C. 若，则有最小值 D. 若，则有最大值

4.    设，，称为，的调和平均数，称为，的平方平均数如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则下列结论正确的有．(    )

A. 的长度是，的几何平均数 B. 的长度是，的调和平均数
C. 的长度是，的算术平均数 D. 的长度是，的平方平均数

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

5.    若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是          ．
6.    已知，则的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

7.    本小题分

设函数．

若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；

解关于的不等式：．

8.    本小题分

设，命题：，命题：．

若命题是真命题，求的取值范围；

若命题与至少有一个为假命题，求的取值范围．

9.    本小题分

已知关于的不等式的解集为．

当时，求；

当时，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查根式不等式，一元二次不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

易知，是的根，且，于是有，代入所求不等式，并化简，转化为一元二次不等式，解之即可．

【解答】

解：由题意知，是的根，且，

所以，即，

故所求不等式可化为，整理得，

因为，所以，即，

解得，

所以不等式的解集为．

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属中档题．
根据已知条件，直接利用基本不等式可得的最大值从而判定，利用可求得的最小值，即可判定，利用基本不等式，并注意等号是否能够取到，从而判定，展开之后，利用基本不等式求最值，从而判定

【解答】

解：对于，，
当且仅当，即时等号成立， 
故A正确；

对于，，
由选项A得，则，。。
当且仅当，即时等号成立，
故B正确；

对于，，
当且仅当，即时等号成立，又，是正数，
故等号不成立，
故C错误；

对于，，
当且仅当，即时等号成立，
故D错误．

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的简单性质的应用，基本不等式求最值，属于基础题．
利用不等式的基本性质，及基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”原则判断选项的正误，即可推出结果．

【解答】

解：对于，举反例：，，不正确；
对于，由，由不等式的性质，有，B正确；
对于，，
当且仅当即时取等号，但是取不到，故等号不成立，不正确；
对于，若，则，
若，由，当且仅当时取得等号，
则，则有最大值，D正确．
故选BD．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的性质和相似三角形，属于中档题．
根据几何平均数、调和平均数、算术平均数、平方平均数的定义逐一判断即可．

【解答】

解：对，，为，的算术平均数，故A错误；

对，由已知易得与相似，所以，

所以，即的长度是，的调和平均数，故B正确；

对，由已知易得与相似，所以，即，得，所以的长度是，的几何平均数，故C错误；

对，连接，易知，在直角三角形中，由勾股定理得，

即的长度是，的平方平均数，故D正确．

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的恒成立问题，其中解答时易忽略时的情况．
当时直接检验，当时，结合二次函数的性质，由此构造不等式组，最后综合讨论结果，可得答案．

【解答】

解：当，即时，
原不等式可化为恒成立，
满足不等式解集为，
当，即时，
若不等式的解集是，
则
解得：；
综上所述，的取值范围为．
故答案为．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用不等式的性质求取值范围，属于中档题．

将所求式子变形为，结合不等式的基本性质即可求出的取值范围 

【解答】

解：，因为，

所以，所以，

故答案为：．

7.【答案】解：不等式对于实数时恒成立，即，

显然，函数在上递增，从而得，即，解得，

所以实数的取值范围是；

不等式，

当时，，

当时，不等式可化为，而，解得，

当时，不等式可化为，

当，即时，，

当，即时，或，

当，即时，或，

所以，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为．

【解析】本题考查的是一元二次不等式的恒成立问题，含参的一元二次不等式的解法，属于中档题．
原不等式等价于，变换主元为关于的一次函数，判断单调性求出最小值大于等于，求解即可；

当时，求解集，时，因为分解为，分情况讨论的正负以及根的大小分别求出解集．

8.【答案】解：若命题是真命题时，，

即，

所以，

若命题：为真时，

则，

解得，

若命题与至少有一个为假命题，

即命题与不能同时为真，

若命题与同时为真时，

则，解得，

所以命题与不能同时为真时，或，

【解析】本题主要考查了含量词命题的真假判定，考查了命题的否定，属于中档题．

根据命题为真转化为，即可求解；

由题意转化为命题与不能同时为真，先求命题与同时为真时的范围，再求其补集即可．

9.【答案】解：当时，不等式为，整理得，

等价于，所以解集．

当时，整理得，
等价于，

当时，，解集为，

当时，解集为，

当时，解集为．

【解析】本题考查一元二次不等式的应用，属于中档题．
将代入，直接解一元二次不等式得；

对分类讨论解一元二次不等式．