一元二次函数、方程和不等式模拟题挑战--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

一元二次函数、方程和不等式模拟题挑战

一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知实数，满足如下两个条件：关于的方程有两个异号的实根；，若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    已知，不等式的解集为若对任意的，恒成立，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知二次函数的值域为，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

4.    下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

5.    已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

6.    设，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    已知，，，则下列不等式恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

9.    已知，则的最大值是          ．
10. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 本小题分
    设．
    解关于的不等式；
    若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
12. 本小题分

某种商品原来每件售价为元，年销售量为万件．

据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了方程根的个数的判断，考查了基本不等式求最值，考查了数学转化思想方法，考查不等式的解法，是中等题．
由题意得到，，结合求得的最小值，代入转化为关于的不等式得答案．

【解答】

解：设方程的两个异号的实根分别为，，
则，．
又，，，
则
当且仅当，时取“”，
由不等式恒成立，得，解得：，
实数的取值范围是．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的恒成立问题，由的解集为，求出，，令，则，求出最小值即可．

【解答】

解：由的解集为，

的两个根为，，

即，令，

则，由可得，
在上恒成立，．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数值域问题的灵活应用，考查由基本不等式求最值问题，属于中档题 
由二次函数的值域为，可推出，，进而根据利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：  因为二次函数的值域为
所以，即，，
则，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
故本题选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算能力，是基础题．
取特殊值判断为假命题，根据不等式性质，作差法比较大小，判断为真命题．

【解答】

解：对于选项，当时，，故为假命题；

对于选项，当时，，故为假命题；

对于选项，当，，时，，故为假命题．

对于选项，由于，所以
，即，故为真命题．

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：，
，
．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式比较大小，利用作差的方法比较代数式的大小，属于中档题．
对于，可以用基本不等式得到；选项BCD均利用作差的方法结合不等式的性质比较大小．

【解答】

解：选项，，，当且仅当时等号成立故A正确．
选项，，不能判断正负，故B错误．
选项，，，
故C正确．
选项，，，
．
若，则，则．
若，则 ，则故D正确．
故选ACD．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式证明不等式．
由题意，根据基本不等式，再逐项判断即可，注意取等条件．

【解答】

解：对于，，由，，利用基本不等式，可得，解得，
又当且仅当时，等号成立．
而，所以，所以，故B正确，A错误
对于，由，，利用基本不等式，变形，
得当且仅当时，等号成立，解得，
即，故C正确
对于，由，，利用基本不等式化简得
当且仅当时，等号成立，
解得，故D错误
故选BC．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的性质与比较大小问题，属于中档题．
运用不等式的性质判断，运用反例判断．

【解答】

解：对于：因为，所以，故A正确；
对于：反例，，，，满足条件，但，故B错误；
对于：反例，，，，满足条件，但，故C错误；
对于：因为，
所以，，
所以，
所以，又
所以，故D正确．
故选AD．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式和对勾函数求函数最值问题，属于较难题．
，再利用基本不等式和对勾函数的单调性求得答案．

【解答】

解：
，
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以原式，
令，
由对勾函数的单调性知函数在上为增函数，
所以，
所以原式的最大值为，
故答案为．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式有解问题，利用基本不等式求最值，属于中档题．
可得：在上有解，令，，利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：关于的不等式在上有解，
可得：在上有解，
令，

所以，当且仅当时取等号，

所以，
故答案为：．

11.【答案】解：，即为，
即有，
当时，即有，解得；
当时，即有，由可得；
当时，，即有，且；
当时，即有，由，可得或；
当时，即有，由，可得或．
综上可得，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为或；
时，解集为或
对任意的，不等式恒成立，
即为，
即，对任意的恒成立．
设，．
则，且，
即，且，
即，且，
解得．
故的取值范围是． 

【解析】本题考查一元二次不等式的解法，当含字母系数时要注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意构造关于的一次函数，运用单调性解决，考查运算能力，属于较难题．
对，化简不等式，变形为，对讨论，分，，，，，结合二次函数的图象和性质即可得到所求解集；
由题意可得，，对任意的恒成立，设，可得，且，由一元二次不等式的解法，即可得到所求的范围．
 

12.【答案】解：设每件定价为元，依题意，有，  
整理得，
解得，
要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元 
依题意，时，
不等式有解，
等价于时有解，
 当且仅当时，等号成立
， 
当该商品明年的销售量至少应达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 

【解析】本题考查了利用一元二次不等式解决实际问题，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
依题意，时，不等式有解，
等价于时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．