【期中复习提升】沪教版 2023-2024学年高一上学期 必修1 第二章 等式与不等式（3大易错与3大拓展）测试卷

第2章    等式与不等式单元复习提升

（易错与拓展）

易错点1：应用不等式乘法性质未注意符号出错

【例1】对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（    ）

A．若，，则； B．若，则；

C．若，则； D．若，，则.

针对训练1.1 （2021·上海市张堰中学高一期中）若，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

针对训练1.2 （2021·上海市桃浦中学高一期中）下列四个命题中，为真命题的是（　　）

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

C．若a＞|b|，则a2＞b2

D．若a＞b，则

易错点2：多次运用不等式性质而致错

【例2】已知，，求的取值范围.

针对训练2.1已知实数､满足，，则的取值范围为___________.

针对训练2.2 已知，，则的取值范围是          ．

易错点3：忽视分式不等式中的分母不能为零致错

【例3】不等式≤1的解集是________．

针对训练3.1 不等式的解集是___________.

针对训练3.2 不等式的解集为          ．

易错点4：解含参不等式未分类讨论而致错

【例4】已知集合，集合，命题：，

命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.

针对训练4.1解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

针对训练4.2 解关于的不等式．

针对训练4.3 已知关于的不等式．

若不等式的解集为，求实数的值；

若，求不等式的解集．

易错点5：未分类讨论一元二次不等式中的二次项系数致错

【例3】若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 )

A．(－2,2)   B．(2，＋∞)   C．(－2,2]   D．

针对训练5.1已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是          ．

针对训练5.2 不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是          ．

针对训练5.3  已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是          ．

易错点6：应用基本不等式求最值时，未满足不等式成立的三个条件

【例6】当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　)

A.        B.       C.            D.

针对训练6.1  已知，则的最小值为          ．

针对训练6.2  若正数满足，则的最小值是          

针对训练6.3  函数的最小值等于          ．

拓展1 一元二次方程根的分布

（1）方程在上有实数解，首先要讨论最高次项系数是否为0，其次，若，则一定有．

（2）方程在上有两根充要条件是；在上有两根的充要条件是；在和上各有一根的充要条件分别是： .

若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．当然也可以利用参变分离结合函数图像来做.

【例1】 已知关于的方程，求：
方程有两个不同正根的充要条件；
方程至少有一正根的充要条件．

针对训练1.1  若方程在上仅有一个实根，则的取值范围是          ．

针对训练1.2  如果关于的方程至少有一个正根，那么实数的取值范围是(    )

A. -2a2  B. < a2  C. -< a2  D. -a2

针对训练1.3方程在区间上有一根，求实数的取值范围．

针对训练1.3  关于的方程的两根为，，且满足，则的取值范围是          ．

拓展2 一元高次不等式

一元高次不等式的解法——序轴标根法，其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集.

若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）：

【例2】  不等式的解集为_________ ．

针对训练2.1  解下列关于的不等式．
；
．

针对训练2.2 定义区间，，，的长度均为，若满足的构成的区间的长度之和为，则实数的不可能取值是(    )

A.   B.   C.   D.

拓展3 二次不等式的恒成立、能成立问题

（1）恒成立问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上；

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上.

补充：不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法.

（2）能成立问题

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上.

（3）恰成立问题

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.

【例3.1】如果恒成立，则实数的取值范围是            ．

【例3.2】已知关于不等式.若存在，该不等式能成立，求实数的取值范围.

针对训练3.1  对一切实数，不等式 恒成立，则的取值范围为          

针对训练3.2 若不等式的解集为空集，则的取值范围是(    )

A.    B. ，或
C.    D. ，或

针对训练3.3 已知
在上恒成立，求的范围．
在上恒成立，求的范围．
解关于的不等式：．

针对训练3.4  设函数．

若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；

若对于，恒成立，求实数的取值范围．

拓展4 平均值不等式的拓展

（1）三元算术-几何平均值不等式

对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立；

（2）平均值不等式

平均值不等式：对于任意的正数，有，

且等号当且仅当时成立；

其中，分别叫做这两个数的平方平均值和调和平均值.

【例4.1】设，求证：.

【例4.2】设，已知，则的最小值为__________.

针对训练4.1 设，且，则的最小值是__________.