浙江省宁波市海曙区部分学校2022-2023学年八年级上学期期中检测数学试题(含答案)

这是一份浙江省宁波市海曙区部分学校2022-2023学年八年级上学期期中检测数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了下列各命题中，是假命题的是等内容，欢迎下载使用。

1．剪纸是我国传统的民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士喜爱．下列剪纸作品中，为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．以下列各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．3，3，3C．3，6，9D．0.6，0.8，1
3．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个三角形的周长为（ ）
A．26B．26 或 34C．34D．26 或 30
4．下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应边相等
C．若a2＝b2，则a＝b
D．若a2＞b2，则|a|＞|b|
5．在△ABC和△A′B′C中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C，这个补充条件是（ ）
A．BC＝B′C'B．∠A＝∠A′C．AC＝A′C'D．∠C＝∠C'
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，BD为中线，则△ABD与△BCD的周长之差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
8．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴撔部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正三角形纸片的面积
C．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和
D．䢂小两个正三角形纸片重叠部分的面积
10．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，下列结论：①AE＝BD；②AE与AB的所夹锐角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BED﹣∠AED＝2∠BDC；④∠BCD＝90°时，CE2+AD2＝AC2+DE2，正确的结论序号有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分？
11．“对顶角相等”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
12．如图，△ABC中∠ABC＝∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点D，若AB+BC＝10cm，则△DBC的周长为 cm．
13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 m．
14．关于x的不等式组无解，则常数b的取值范围是 ．
15．等腰三角形一腰的中垂线与另一腰所在直线夹角为40°，该等嫼三角形的底角的度数是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
17．在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝BF，则∠BAF的度数为 ．
18．如图，∠BOC＝θ（0°＜θ＜90°），现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB、OC上，其中AA1为第1根小棒，且OA＝AA1.若恰好能摆放4根小棒，则θ的取值范围是 ．
三.解答题（共6小题，满分46分）
19．解下列不等式（组）：
（1）；
（2）．
20．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
21．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．
（1）求证：△ADC≌△APB．
（2）若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．
22．哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？
23．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点 E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠A的度数．
24．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
参考答案
一.选择题（共10小题，满分30分，每小題3分）
1．剪纸是我国传统的民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士喜爱．下列剪纸作品中，为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项B、C、D不均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．以下列各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．3，3，3C．3，6，9D．0.6，0.8，1
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
解：A、1+1＝2，不能构成三角形；
B、32+32≠32，不能构成直角三角形；
C、3+6＝9，不能构成三角形；
D、0.62+0.82＝12，能构成直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个三角形的周长为（ ）
A．26B．26 或 34C．34D．26 或 30
【分析】分腰长为6和14两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．
解：当腰长为8时，则三角形的三边长分别为6、6、14，6+6＜14，不满足三角形的三边关系，够不成三角形；
当腰长为14时，则三角形的三边长分别为14、14、6，满足三角形的三边关系，此时周长为34；
综上可知，三角形的周长为34．
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证．
4．下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应边相等
C．若a2＝b2，则a＝b
D．若a2＞b2，则|a|＞|b|
【分析】根据等腰三角形的性质、全等三角形的性质、有理数的乘方法则、绝对值的性质判断即可．
解：A、等腰三角形的两底角相等，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，是真命题，不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故本选项命题是假命题，符合题意；
D、a2＞b2，则|a|＞|b|，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．在△ABC和△A′B′C中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C，这个补充条件是（ ）
A．BC＝B′C'B．∠A＝∠A′C．AC＝A′C'D．∠C＝∠C'
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵AB＝A'B'，∠B＝∠B'，
∴当BC＝B′C′时，根据“SAS”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以A选项不符合题意；
当∠A＝∠A′时，根据“ASA”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以B选项不符合题意；
当AC＝A′C′时，不一定能保证△ABC≌△A'B'C'．所以C选项符合题意；
当∠C＝∠C′时，根据“AAS”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，BD为中线，则△ABD与△BCD的周长之差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用中线的定义可知AD＝CD，可知△ABD和△BCD的周长之差即为AB和BC的差，可求得答案．
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD周长＝AB+AD+BD，△BCD周长＝BC+CD+BD，
∴△ABD周长﹣△BCD周长＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）＝AB﹣BC＝5﹣3＝2，
即△ABD和△BCD的周长之差是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为AC和BC的差是解题的关键．
7．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【分析】结合题意，根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△POM≌△PON．
解：∵OM＝ON，OP＝OP，∠OMP＝∠ONP＝90°
∴△OPM≌△OPN
所用的判定定理是HL．
故选：D．
【点评】本题考查了判定直角三角形全等的HL定理，是一道操作题，要会转化为数学问题来解决．
8．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组．
解：根据小朋友的人数为x，根据题意可得：
0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键．
9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴撔部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正三角形纸片的面积
C．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和
D．䢂小两个正三角形纸片重叠部分的面积
【分析】设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），由勾股定理和三角形面积可得S1＝S2+S3，再由面积和差关系即可求解．
解：如图，设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），两个小正三角形的重叠部分的面积为S4，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∴S2+S3＝AC2+BC2＝（AC2+BC2）＝AB2，
∴S1＝S2+S3，
∴S阴影＝S1﹣（S2+S3﹣S4）＝S1﹣S2﹣S3+S4＝S4，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理以及等边三角形的性质等知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
10．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，下列结论：①AE＝BD；②AE与AB的所夹锐角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BED﹣∠AED＝2∠BDC；④∠BCD＝90°时，CE2+AD2＝AC2+DE2，正确的结论序号有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】利用△BCD≌△ACE（SAS），可以证明①②正确，③错误，当∠BCD＝90°时，易知AC＝AD，根据EC＝DE即可判断④正确．
解：如图，设CD交AE于O．
∵△ABC，△CED都是等边三角形，
∴CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，∠BDC＝∠AEC，故①正确，
∵∠EOC＝∠DOA，
∴∠OAD＝∠OCE＝60°，
∴AE与AB的夹角为60°，故②正确，
∵∠BED﹣∠AED＝∠AEB＜∠AEC，∠AEC＝∠BDC，
∴∠BED﹣∠AED＜∠BDC，故③错误，
当∠BCD＝90°时，易证AC＝AD，
∵CE＝DE，
∴CE2+AD2＝AC2+DE2故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分？
11．“对顶角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点评】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．如图，△ABC中∠ABC＝∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点D，若AB+BC＝10cm，则△DBC的周长为 10 cm．
【分析】由条件可得到AD＝BD，可得到BD+DC+BC＝AB+BC，可得出答案．
解：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
又∵点D为线段AB的垂直平分线上的点，
∴BD＝AD，
∴BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝10cm，
即△BDC的周长为10cm．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 （﹣） m．
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
解：如图1所示：
过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等边三角形，
故BC＝AB＝AC＝2m，
则AD＝2sin60°＝m，
如图2所示：
过点A作AE⊥BC于点E，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB，
则AE＝BC＝m，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了（﹣）m．
故答案为：（﹣）．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键．
14．关于x的不等式组无解，则常数b的取值范围是 b＞﹣3 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知不等式组无解得出关于b的不等式，求出不等式的解集即可．
解：
∵解不等式①得：x≥2+2b，
解不等式②得：x≤，
又∵关于x的不等式组无解，
∴2+2b＞，
解得：b＞﹣3，
故答案为：b＞﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能得出关于b的不等式是解此题的关键．
15．等腰三角形一腰的中垂线与另一腰所在直线夹角为40°，该等嫼三角形的底角的度数是 65°或25 ．
【分析】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
解：①如图1，三角形是锐角三角形时，∠A＝90°﹣40°＝50°，
底角为：×（180°﹣50°）＝65°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，∠BAC＝90°+40°＝130°，
底角为：×（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故答案为：65°或25．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．
CH＝，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题
17．在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝BF，则∠BAF的度数为 75°或15° ．
【分析】分两种情况：①当点F在点C的左边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H；②当点F在点C的右边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H；由等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
解：分两种情况：
①当点F在点C的左边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，如图1所示：
∵l∥AB，
∴FH＝CG，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CG⊥AB，
∴AG＝BG，CG＝AB，
∵AB＝BF，
∴FH＝CG＝AB＝BF，∠BAF＝∠BFA，
∴∠ABF＝30°，
∴∠BAF＝×（180°﹣30°）＝75°；
②当点F在点C的右边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，如图2所示：
同①得：∠FBH＝30°，
∵AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠FBH＝∠BAF+∠BFA，
∴∠BAF＝∠FBH＝15°；
综上所述，∠BAF的度数为75°或15°，
故答案为：75°或15°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18．如图，∠BOC＝θ（0°＜θ＜90°），现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB、OC上，其中AA1为第1根小棒，且OA＝AA1.若恰好能摆放4根小棒，则θ的取值范围是 18°≤θ＜22.5° ．
【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．
解：∵OA＝AA1，∠BOC＝θ，
∴∠OA1A＝∠BOC＝θ，
∴∠A1AA2＝∠OA1A+∠BOC＝2θ，
∵A1A2＝AA1，
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝2θ，
∴∠A2A1A3＝θ1＝2θ+θ＝3θ，
∵A1A2＝A2A3，
∴∠A1A3A2＝∠A2A1A3＝3θ，
同理可得：∠A3A4A2＝∠A3A2A4＝4θ，
∵恰好能摆放4根小木棒，
∴，
∴18°≤θ＜22.5°，
故答案为：18°≤θ＜22.5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
三.解答题（共6小题，满分46分）
19．解下列不等式（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）不等式去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）去分母得：3x﹣2＜4，
移项得：3x＜4+2，
合并得：3x＜6，
系数化为1得：x＜2；
（2），
由①得：x＞2，
由②得：x≤6，
∴不等式组的解集为2＜x≤6．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式及不等式组的解法是解本题的关键．
20．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
【分析】（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个以BC为公共边的三角形与△ABC全等．
解：（1）如图甲中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图乙中，△CBE即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和三角形的面积，解决本题的关键是借助网格解决问题．
21．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．
（1）求证：△ADC≌△APB．
（2）若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝AB，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CD＝PB＝5，∠APB＝∠ADC，推出△ADP是等边三角形，得到∠ADP＝60°，PD＝PA＝12，根据勾股定理的逆定理得到∠PDC＝90°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∵∠DAP＝60°，DC，AD＝DP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠PAB＝60°﹣∠PAC，
在△ADC与△APB中
，
∴△ADC≌△APB（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△APB，
∴CD＝PB＝5，∠APB＝∠ADC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠PAD＝60°，
∵AD＝AP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝12，
∵PC＝13，
∴CD2+PD2＝PC2，
∴∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？
【分析】（1）首先设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意可得：①20个甲种笔记本的价格+10个乙种笔记本的价格＝110元；②甲种笔记本30个的价格+10＝乙种笔记本20个的价格，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）设乙种笔记本购买a个，由题意得不等关系：3×甲种笔记本的数量+5×乙种笔记本的数量≤320元，根据不等关系列出不等式，再解即可．
解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，由题意得：
，
解得．
答：甲种笔记本的单价是3元；乙种笔记本的单价是5元；
（2）设乙种笔记本购买a个，由题意得：
3（2a﹣10）+5a≤320，
解得：，
∵a为整数，
∴a取31．
答：本次乙种笔记本最多购买31个．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，列出不等式或方程．
23．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点 E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠A的度数．
【分析】（1）证明∠B＝∠AEB＝2∠C，∠C＝∠CAE，从而得出结论；
（2）AC是腰时，AD＝AC，AD＝BD；AC是底时，AE＝CE，AB＝BE，可画出图形；
（3）分为AD＝AC，AD＝CD及AC＝CD三种情形，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠CAE，△ACE是等腰三角形，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，
（3）解：如图2，
当AD＝CD，AB＝AD时，∠BAC＝90°，
如图3，
当AD＝AC，AD＝BD时，∠BAC＝135°，
如图4，
当AC＝CD，AD＝BD时，∠BAC＝112.5°，
综上所述：∠BAC＝90°或135°或112.5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
24．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2＜AD＜11 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
【分析】（1）先判断出△ADC≌△EDB（SAS），得出BE＝AC＝9，最后用三角形的三边关系计算；
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
（3）延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF、EF，先证明△CDG≌△BDE，得CG＝BE，根据三角形的三边关系得CG+CF＞GF，则BE+CF＞GF，由DF垂直平分EG得GF＝EF，所以BE+CF＞EF．
【解答】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝9，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴4＜AE＜22
∴2＜AD＜11，
故答案为：2＜AD＜11．
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝EF＝4，
∴AC＝AE+CE＝7，
∴BM＝AC＝7，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF＝7；
（3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF，
∵D是BC边上的中点，
∴CD＝BD，
在△CDG和△BDE中，
，
∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG＝BE，
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞GF，
∵DE⊥DF，GD＝ED，
∴DF垂直平分EG，
∴GF＝EF，
∴BE+CF＞EF．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．