270，浙江省宁波市海曙区部分学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份270，浙江省宁波市海曙区部分学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共10题；共30分）
1. 窗花是我国传统的一种剪纸艺术．以下窗花图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】A选项：，故不是最简二次根式；
B选项：，故不是最简二次根式；
C选项：是最简二次根式；
D选项：，故不是最简二次根式．
故选：C．
3. 现有长度分别是30cm和25cm的两根木棒，如果不改变木棒的长度，要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架，那么在下列长度的木棒中不能选取的是（ ）
A. 10cm的木棒B. 30cm的木棒C. 50cm的木棒D. 70cm的木棒
【答案】D
【解析】
【分析】设第三根木棒的长为l，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．
【详解】解：设第三根木棒的长为l，
则30cm﹣25cm＜l＜30cm+25cm，即5cm＜l＜55cm．
故选D．
【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握列出不等式.
4. 关于m的不等式的解为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据不等式基本性质直接解不等式即可．
【详解】解：把m的系数化为1，即不等式的两边同时除以得，．
故选：C．
5. 工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是( )

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得出，即可证明，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6. 已知点和点，且AB平行于x轴，则点B坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据AB平行于x轴，点A（-1，-3）和点B（3，m），可知点A、B的纵坐标相等，从而可以得到点B的坐标．
【详解】∵AB平行于x轴,点A(−1,−3)和点B(3,m)，
∴m=−3.
∴点B的坐标为(3,−3).
故选项A正确，选项B错误，选项C错误，选项D错误.
故选A.
【点睛】此题考查坐标与图形性质，解题关键在于求出m.
7. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【详解】解：①当顶角是时，它的底角；
②底角是．
所以底角是或．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
8. 小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查函数的图象的知识点．首先分析题干条件，小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，据此可以判断A和D错误，然后小明原路返回到离家1千米的学校上课，即学校在家和早餐店之间，依次可以可到答案．
【详解】解：小明从家中出发，到离家1.2千米早餐店吃早餐，距离逐渐增大，当吃早餐时，距离不变，当返回学校时，距离变小，到达学校距离不再变化．
故选：B．
9. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键．将，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围．
【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得；
直线经过点C时，将代入直线中，可得，解得；
故b的取值范围是．

故选：B．
10. 如图，在直角坐标系中,点A的坐标为（1，0）,以线段OA为边在第四象限内作等边△ABC，点C为x轴正半轴上一动点(OC＞10，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E.下列结论正确的有( )个
(1)△OBC≌△ABD；(2)点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是(0,) ；(3)∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变；(4)当点C的坐标为(m，0)(m＞1)时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】(1)根据等边△AOB和等边△CBD易判断△OBC≌△ABD；
(2)根据（1）容易得到∠OAE=60°，根据直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，根据勾股定理可求得点E的坐标；
(3)根据（1）容易得到∠DAC =60°，是一个固定的值；
(4)根据△OBC≌△ABD，可得四边形ABDC的面积S=S△ACD+S△ABD=S△ACD+S△OBC，即可解题．
【详解】（1）∵△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；（1）正确；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，
∵∠OAE=60°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2OA=2，
∴OE=，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）；（2）正确；
（3）∵∠OAE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；（3）错误；
（4）∵△OBC≌△ABD，
∴四边形ABDC的面积
，故（4）正确；
综上：正确的有（1）、（2）、（4）共3个
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△OBC≌△ABD是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共24分）
11. 人字梯中间一般会设计一”拉杆”，这样做的数学道理是____________．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故答案为三角形具有稳定性.
【点睛】此题考查三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
12. 已知y是x的正比例函数，当时，；当时，__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求解析式，已知自变量的值求函数值．设y关于x的正比例函数解析式为，把时，代入，求得k的值，即正比例函数解析式，再把，求解即可．
【详解】设y关于x的正比例函数解析式为，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y关于x的正比例函数解析式为，
∴当时，．
故答案为：6．
13. 命题“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可．
【详解】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”，为真命题，
理由如下：
∵AD=CD，
∴∠A=∠DCA，
同理∠DCB=∠B．
∵∠DCB+∠B+∠A+∠DCA=180°，
即2（∠DCA+∠DCB）=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：真．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，三角形内角和，等腰三角形的性质．解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法．
14. 如图，已知，请你添加一个条件：______，使．（图形中不再增加其他字母）
【答案】∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（ASA）或∠CEB＝∠CDB或AB＝AC或BD＝CE．
【解析】
【分析】△ABE和△ACD中，已知了AE＝AD和公共角∠A，因此只需再添加一组对应角相等或AB＝AC时即可判定两三角形全等．
【详解】解：∵AD＝AE，∠A＝∠A，
∴当①∠B＝∠C（AAS）；②∠AEB＝∠ADC（ASA）；
③∠CEB＝∠CDB（可推出∠AEB＝∠ADC）；④AB＝AC（SAS）；
⑤BD＝CE（可推出AC＝AB）时，可判定△ABE≌△ACD．
故答案为：∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（ASA）或∠CEB＝∠CDB或AB＝AC或BD＝CE．
【点睛】本题考查三角形全等判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15. 如图，在中，，是的中垂线，分别交，于点，．已知，，则的周长是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中垂线的性质，勾股定理，先勾股定理计算，再利用中垂线的性质计算周长即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵是的中垂线，
∴，
∴的周长．
故答案：．
16. 如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式的解集即可．
【详解】解：将点代入得，，
解得，，
所以点A的坐标为，
由图可知，不等式的解集为．
故答案为：．
17. 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两名选手的行程y（千米）随时间t（时）变化的图像（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20km.其中正确的说法有______.
【答案】①②④
【解析】
【详解】试题分析：根据图象得：
起跑后1小时内，甲在乙的前面；故①正确；
在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了10千米，故②正确；
乙比甲先到达终点，故③错误；
设乙跑的直线解析式为：y=kx，
将点（1，10）代入得：k=10，
∴解析式为：y=10x，
∴当x=2时，y=20，
∴两人都跑了20千米，故④正确．
所以①②④三项正确．
考点：函数的图象
18. 已知点，，，，，是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出_________组对称三角形．
【答案】4
【解析】
【分析】主要考查了坐标的对称特点．解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质．利用点的轴对称性找到关于轴对称的三角形是解题的关键．找出纵坐标相等，横坐标相反的三组对称点即可．
【详解】解：因为这六个点中与，与，与，都是关于轴对称，所以对称三角形有，，，，，，，．共4对．
故答案为：4
三．解答题（本大题共计46分）
19. （1）解不等式
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了解不等式和二次根式的加减法，熟知以上知识是解题的关键．
（1）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
（2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：
原式
．
20. 如图，已知点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．求证：BE＝DF．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据AD∥BC可得，由AE＝CF可得，即可证，进而得BE＝DF．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴，
∵AE＝CF，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴BE＝DF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的证明及性质，掌握全等三角形的证明及性质是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作关于轴成轴对称的；
（2）将向右平移个单位，作出平移后的；则此三角形的面积为__________．
（3）在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为__________．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析，；
（3）作图见解析，．
【解析】
【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可；
（）根据平移的性质作图即可，利用割补法即可求出该三角形的面积；
（）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即为所求，由图形即可写出点的坐标；
本题考查了作轴对称图形，作平移后的图形，三角形面积，轴对称最短路线问题，坐标与图形，掌握作轴对称和平移的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
由图可得，的面积，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，点即为所求，由图形可得，点的坐标为．
理由：∵点关于轴对称，
∴，
∴，根据两点之间，线段最短，可知，此时的值最小．
22. 疫情放开之后，商场为刺激消费推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以（元）表示商品价格，（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中关于的函数解析式；
（2）若某人计划在商场购买价格为元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
【答案】（1）方案一：；方案二：
（2）方案二
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的应用，准确列出函数解析式和求出函数值是解题的关键．
（1）根据方案分别写出函数解析式即可；
（2）分别求出两个方案的函数值，比较后即可得到结论．
【小问1详解】
根据题意可得，按方案一购买：；
按方案二购买：；
【小问2详解】
当时，
方案一：（元），
方案二：（元），
∵，
∴选择方案二更省钱．
23. 阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ ，AB＝ ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
【答案】（1）9；12；（2）
【解析】
【分析】（1）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答．
【详解】解：（1）如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
在直角和直角中，
由勾股定理得到：，即，
解得，，
故答案是：9；12；
（2）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是边的垂直平分线，
，．
，，
，
，
，
，
，，即，
，
由题意得，，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，．
【点睛】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
24. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且．
（1）的坐标为_________，线段的长为_________．
（2）求直线的解析式和点的坐标．
（3）如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结．
①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②连结，当面积最大时，求的长度和的面积．
【答案】（1），
（2），
（3）①相等，不变，见解析，②，
【解析】
【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解，
（2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解，
（3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大， 由，得：当时，取最小值，即可求解，
本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换．
【小问1详解】
解：当时，直线，
当时，直线，解得：，
，
，
故答案为：，，
【小问2详解】
解：过点作交于点，交轴于点，且，
，，
，
设过点，，直线的解析式为：，
则：解得：，
直线的解析式为：，
、交于点，
解得：，
，
故答案为：， ，
【小问3详解】
解：
①，
，，
，，
，
，
，
，
，即线段与线段数量关系，保持不变，
②，
，
，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，，，
，，
，
∴为定值，
，
∴要使最大，求最小即可，
，
∴当取最小值时，最小，
，，，
，
当时，取最小值，
，即：，解得：，
面积最小为，
，
故答案为：①相等，不变，见解析；②，．