数学第四章 基本平面图形综合与测试一课一练

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单元测评挑战卷(四)(第四章)

(90分钟　100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(2021·重庆期中)已知平面上有三点，经过其中的任意两点画直线，最多能把这个平面分成(　D　)

A．4部分    B．5部分    C．6部分    D．7部分

【解析】同一平面内不在同一直线上的3个点，可画三条直线．

最多能把这个平面分成7部分．

2．把50°40′30″化成度的形式为(　C　)

A．50.43°    B．50.65°    C．50.675°    D．50.765°

【解析】50°40′30″＝50.675°.

3．如图，不是凸多边形的是(　C　)

【解析】图形不是凸多边形的是C.

4．如图，用一副三角板画角，不可能画出的角的度数是(　B　)

A．120°    B．85°    C．135°    D．165°

【解析】A.120°＝90°＋30°，故本选项不符合题意；

B．85°不能写成90°，60°，45°，30°的和或差，故本选项符合题意；

C．135°＝90°＋45°，故本选项不符合题意；

D．165°＝90°＋45°＋30°，故本选项不符合题意．

5．(2021·深圳期末)下列说法正确的有(　A　)

①两点之间，线段最短；②若AB＝BC，则点B是线段AC的中点；③射线AB和射线BA是同一条射线；④直线比线段长．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【解析】①两点之间，线段最短，正确；

②若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，不正确，只有点B在线段AC上时才成立；

③射线AB和射线BA是同一条射线，不正确，端点不同；

④直线比线段长，不正确，直线不能度量．

共1个正确．

6．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是(　A　)

A．30°    B．32°    C．35°    D．40°

【解析】∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，

∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°.

7．如图，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内的一条射线，且∠COD＝∠BOD，则∠AOB等于∠COD的(　A　)

A．6倍    B．4倍    C．2倍    D．3倍

【解析】∵∠COD＝∠BOD，∴∠COB＝3∠COD，

∵OC平分∠AOB，∴∠AOB＝2∠COB，∴∠AOB＝6∠COD.

8．两根木条，一根长20 cm，另一根长24 cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为(　C　)

A．2 cm    B．4 cm    C．2 cm或22 cm    D．4 cm或44 cm

【解析】设较长的木条为AB＝24 cm，较短的木条为BC＝20 cm，

∵M，N分别为AB，BC的中点，

∴BM＝12 cm，BN＝10 cm，

∴①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM＋BN＝12＋10＝22 cm；

②如图2，BC在AB上时，MN＝BM－BN＝12－10＝2 cm.

综上所述，两根木条的中点间的距离是2 cm或22 cm.

9．(2021·西安期末)如图，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为50 km，A，C间的路程为30 km，现要在A，B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？(　A　)

A．点C处       B．线段BC之间

C．线段AB的中点    D．线段AB之间

【解析】设P，C间的路程为x km，由题意，得

如图1，当点P在点C的左侧，

车站到三个村庄的路程之和为：30－x＋x＋20＋x＝x＋50(km)；

如图2，当点P在点C的右侧，

车站到三个村庄的路程之和为：30＋x＋x＋20－x＝x＋50(km).

综上所述：车站到三个村庄的路程之和为(x＋50)km；

因为x为非负数，即x≥0，所以，当x＝0时，x＋50最小．即当车站建在C处时，车站到三个村庄的路程之和最小．

10．如图，在长方形ABCD中，AB∶BC＝2∶1，AB＝12 cm，点P沿AB边从点A开始，向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t s表示移动时间(0＜t＜6).在这运动过程中，下列结论：

①当t＝2 s时，AP＝AQ；②当t＝3 s时，∠BPC＝45°；

③当t＝2 s时，PB∶BC＝4∶3；④四边形QAPC的面积为36 cm2.

其中正确的结论有(　D　)

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【解析】①当t＝2 s时AP＝4 cm，AQ＝AD－DQ＝6－2＝4 cm，故①正确；

②当t＝3 s时，BP＝AB－AP＝12－3×2＝6 cm，∴BC＝BP，

又∵∠B＝90°，∴△BPC是等腰直角三角形，故②正确；

③当t＝2 s时，PB＝AB－2×2＝12－4＝8 cm，

∵AB∶BC＝2∶1，AB＝12 cm，∴BC＝6 cm，

∴PB∶BC＝8∶6＝4∶3，故③正确；

④t s时，PB＝AB－2t＝12－2t，DQ＝t，

∴四边形QAPC的面积＝12×6－(12－2t)×6－×12×t＝72－36＋6t－6t＝36 cm2，故④正确．

所以正确的是①②③④共4个．

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．(2021·宿州期末)时钟的时间是2点30分，时钟盘面上的时针与分针的夹角是__105°__．

【解析】2点30分时，时针指向2与3的正中间，分针指向6，表盘上两个相邻数字间夹角为30°，

故此时二者的夹角是3×30°＋×30°＝105°.

12．数轴上点A表示数a，点B表示数b，若|a|＝7，|b|＝4，则AB＝__3或11__．

【解析】∵|a|＝7，|b|＝4，∴a＝±7，b＝±4，当a＝7，b＝4时，AB＝7－4＝3；

当a＝－7，b＝4时，AB＝|－7－4|＝11；

当a＝7，b＝－4时，AB＝|7＋4|＝11；

当a＝－7，b＝－4时，AB＝|－7＋4|＝3.

故AB的长为3或11.

13．计算：90°－52°22′＝__37°38′__．

【解析】90°－52°22′＝89°60′－52°22′＝37°38′.

14．如图，已知∠AOC＝90°，∠COB＝α°，OD平分∠AOB，则∠COD等于__45°－α°__．(用含α的代数式表示)

【解析】∵∠AOC＝90°，∠COB＝α°，∴∠AOB＝∠AOC＋∠COB＝90°＋α°.

∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝(90°＋α°)＝45°＋α°，∴∠COD＝∠BOD－∠COB＝45°－α°.

15．如图，点C、点D在线段AB上，E，F分别是AC，DB的中点，若AB＝m，CD＝n，则线段EF的长为____(用含m，n的式子表示).

【解析】∵AB＝m，CD＝n.∴AB－CD＝m－n，

∵E，F分别是AC，DB的中点，∴CE＝AC，DF＝DB，∴CE＋DF＝(m－n)，

∴EF＝CE＋DF＋DC＝(m－n)＋n＝.

16．如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦将圆分成7部分．由此推测，圆的四条弦最多可将圆分成__11__部分；圆的十九条弦最多可将圆分成__191__部分．

【解析】一条弦将圆分成1＋1＝2部分，

二条弦将圆分成1＋1＋2＝4部分，

三条弦将圆分成1＋1＋2＋3＝7部分，

四条弦将圆分成1＋1＋2＋3＋4＝11部分，

…

n条弦将圆分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋部分，

当n＝19时，1＋＝191部分．

17．如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠ABE＋∠CBF＝__45°__．

【解析】由折叠得，∠ABE＝∠DBE，∠CBF＝∠DBF，

∵∠ABE＋∠DBE＋∠CBF＋∠DBF＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBF＝∠ABC＝×90°＝45°.

18．一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD.当三角板COD绕O点顺时针旋转(从图1到图2).设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α＋β＝__105__度．

【解析】如题图1，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD.

∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝(45°＋∠BOD)，

∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝(60°＋∠BOD)，

∴∠MON＝α＝∠NOB＋∠MOD－∠BOD＝(45°＋60°)，

如题图2，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD.

∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝(45°－∠BOD)，

∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝(60°－∠BOD)，

∴∠MON＝β＝∠NOB＋∠MOD＋∠BOD＝(45°＋60°)，∴α＋β＝45°＋60°＝105°.

三、解答题(共46分)

19．(6分)如图所示，OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4＝2∶5∶3.求∠2，∠3，∠4的度数．

【解析】设∠2＝2x，∠3＝5x，∠4＝3x，根据OB平分∠AOC，故∠1＝∠2＝2x，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2x＋2x＋5x＋3x＝12x＝360°，解得：x＝30°，

∴∠2＝2x＝60°，∠3＝5x＝150°，∠4＝3x＝90°.

20.(6分)如图，∠1＝∠2＝∠3，若图中所有角的和等于180°，求∠AOB的度数．

【解析】如图，设∠1＝∠2＝∠3＝x，

∵∠AOC＋∠AOD＋∠AOB＋∠COD＋∠COB＋∠DOB＝180°，

∴x＋2x＋3x＋x＋2x＋x＝180°，

∴x＝18°，∴∠AOB＝3x＝54°.

21．(6分)如图，线段AB＝10 cm，C是AB的中点，点D在CB上，DB＝3 cm.求线段CD的长．

【解析】由AB＝10 cm，C是AB的中点，得BC＝AB＝5 cm，

由线段的和差，得CD＝BC－BD＝5－3＝2(cm).

22．(6分)已知A，B，C，D是直线上顺次四点，AB，BC，CD的长度比是1∶2∶3，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝8 cm，求AD的长．

【解析】如图所示：

∵AB，BC，CD的长度比是1∶2∶3，

∴设AB＝x，则BC＝2x，CD＝3x，

∵点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝8 cm，

∴EF＝x＋2x＋x＝8，解得x＝2，

∴AD＝x＋2x＋3x＝6x＝12 cm.

23. (10分)(2021·宁波质检)如图，点A，B和线段CD都在数轴上，点A，C，D，B起始位置所表示的数分别为－2，0，3，12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．

(1)当t＝0秒时，AC的长为________，当t＝2秒时，AC的长为________．

(2)用含有t的代数式表示AC的长为________．

(3)当t＝________秒时AC－BD＝5，当t＝________秒时AC＋BD＝15.

【解析】(1)当t＝0秒时，AC＝|－2－0|＝|－2|＝2；

当t＝2秒时，移动后C表示的数为2，

∴AC＝|－2－2|＝4.

答案：2　4

(2)点A表示的数为－2，点C表示的数为t；

∴AC＝|－2－t|＝t＋2.

答案：t＋2

(3)∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，

∴C表示的数是t，D表示的数是3＋t，

∴AC＝t＋2，BD＝|12－(3＋t)|，

∵AC－BD＝5，

∴t＋2－|12－(t＋3)|＝5.

解得：t＝6.

∴当t＝6秒时AC－BD＝5；

∵AC＋BD＝15，

∴t＋2＋|12－(t＋3)|＝15，

t＝11；

当t＝11秒时AC＋BD＝15.

答案：6　11

24．(12分)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝20°.

(1)如图1所示，分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，求∠MON的度数；

(2)如图2所示，若将(1)中的OC绕O点向下旋转，使∠BOC＝2x°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，试说明理由；

(3)如图3所示，∠AOB＝90°，若将(1)中的OC绕O点向上旋转，使OC在∠AOB的内部，且∠BOC＝2y°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，还能否求出∠MON的度数吗？若能，求出其值；若不能，说明理由．

【解析】(1)∵∠AOB＝90°，∠BOC＝20°，

∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝110°，

∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，

∴∠MOC＝∠AOC＝×110°＝55°，∠NOC＝∠BOC＝×20°＝10°，

∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝55°－10°＝45°.

(2)能求出∠MON的度数，∠MON＝45°.

∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2x°，

∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋2x°，

∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，

∴∠MOC＝∠AOC＝×(90°＋2x°)＝45°＋x°，∠NOC＝∠BOC＝×2x°＝x°，

∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝45°＋x°－x°＝45°；

(3)能求出∠MON的度数，∠MON＝45°.

∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2y°，

∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－2y°，

∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，

∴∠MOC＝∠AOC＝×(90°－2y°)＝45°－y°，∠NOC＝∠BOC＝×2y°＝y°，

∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝45°－y°＋y°＝45°.

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