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2022-2023学年吉林省长春市二道区赫行实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年吉林省长春市二道区赫行实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市二道区赫行实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a有意义，则a的值不可以是( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2022
2. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )
A. x+y=1 B. 3x+y2=2 C. 2x-x2=3 D. x+1x=4
3. 已知ba=32，下列变形正确的是( )
A. ab=6 B. 2a=3b C. a=32b D. 3a=2b
4. 下列事件是必然事件的是( )
A. 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯
B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定下雨
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为( )
A. 40海里
B. 40tan37°海里
C. 40cos37°海里
D. 40sin37°海里
6. 如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米，则下面关系式正确的是( )
A. S=x(40-x)
B. S=x(40-2x)
C. S=x(10-x)
D. S=10(2x-20)
7. 如图，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C'.以下说法中错误的是( )
A. △ABC∽△A'B'C'
B. 点A、O、A'三点在同一条直线上
C. AO：AA'=1：2
D. S△ABC：S△A'B'C'=1：4
8. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)(x-3)+3的图象沿y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9. 计算3×12的结果是______．
10. 若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有实数根，则k的取值范围是______．
11. 某人沿着坡度i=1：3的山坡走到离地面25米高的地方，则他走的路程为______米．
12. 某数学兴趣小组学习“用频率估计概率”知识后，在对某品种蔬菜的发芽情况进行试验后，并将试验结果制成如下的表格：
试验次数
100
200
500
1000
2000
3000
5000
发芽次数
85
186
460
880
1820
2670
4500
发芽频率
0.85
0.93
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
据此估计这批蔬菜种子发芽的概率是______(精确到0.1)．
13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则阴影部分图形的面积为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于点E、F，连结EF.若CE=16，则线段EF的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
小慧用因式分解法解一元二次方程2x(2x-1)=3(2x-1)时，她的做法如下：
方程两边同时除以(2x-1)，得2x=3，(第一步)
系数化为1，得x=32.(第二步)
(1)小慧的解法是不正确的，她从第______步开始出现了错误．
(2)请用小慧的方法完成这个题的解题过程．
16. (本小题6.0分)
北京冬奥会于2022年2月4日至20日在我国首都北京举行，北京也成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小冬是个集邮爱好者，他收集了如图所示的3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽(记为A)、吉祥物冰墩墩(记为B)、吉祥物雪容融(记为C)(3张邮票除正面内容不同外，其余均相同)，现将3张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是______．
(2)小冬从中随机抽取一张邮票记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图(或列表)的方法，求抽到的两张邮票都是吉祥物的概率．
17. (本小题6.0分)
某种品牌手机经过7，8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元.若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
18. (本小题7.0分)
长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点A处测得拉索AB与水平桥面的夹角是39°，点A处距离大桥立柱CD底端D的距离AD为97米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离BC为5米，求大桥立柱CD的高．(结果精确到1米)
[参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81]
19. (本小题7.0分)
某校为了解七、八年级学生对抗美援朝历史知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩(百分制)进行收集、整理和分析．
数据收集
七年级：59 90 92 85 80 67 88 85 97 79
八年级：57 95 80 96 83 69 92 78 66 83
数据整理
年级
成绩x(分)
50
1
1
2
a
2
八年级
1
2
2
2
3
数据分析
平均数
中位数
众数
七年级
82.2
b
85
八年级
79.9
81.5
c
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全表中数据：a=______，b=______，c=______；
(2)小聪同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游略偏上！”，你推测小聪同学可能是______(填“七”或“八”)年级的学生．
(3)假如该校七年级800名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上(不包括80分)的人数．
20. (本小题7.0分)
以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)在图①中，点D为△ABC的边AC的中点，在边AB上找一点E，连结DE，使△ADE的面积为△ABC面积的14．
(2)在图②中，△ABC的面积为______．
(3)在图②中，在△ABC的边AC上找一点F，连结BF，使△ABF的面积为43．
21. (本小题8.0分)
如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x轴，立柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．
22. (本小题9.0分)
【解决问题】如图①，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，点E是边AB的中点，∠DEC=90°，求证：DE平分∠ADC．
(提示：延长DE交射线CB于点F)
【应用】如图②，在矩形ABCD中，点F是边BC上的一点，将△ABF沿直线AF折叠，若点B落在边DC的中点E处，则sin∠BAF=______．
【拓展】在矩形ABCD中，AD>AB，点E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，延长BF交直线CD于点G，直线EF交边BC于点H.若CG=1，DG=2，直接写出HF的长．
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°.sinA=55，AB=10.点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．点N为边AC的中点，连结PN，以PN和PB为边作▱PBMN.设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PB的长；
(2)当点M落在边BC上时，求t的值及此时▱PBMN与△ABC重叠部分图形的面积．
(3)当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，求t的值．
(4)作点A关于直线PN的对称点A'，当点A'落在▱PBMN内部时，直接写出t的取值范围．
24. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C.点P在线段AC上(不与点A、C重合)，PQ//y轴交抛物线于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，矩形的顶点M、N均在此抛物线的对称轴上．设点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)当-2≤x≤2时，y的取值范围是______；
(3)设矩形PQMN的周长为l，求l与m之间的函数关系式并直接写出当l随着m的增大而增大时m的取值范围；
(4)当矩形PQMN被线段AC分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
a≥0，
选项中只有A选项-1不满足a≥0．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件得出a≥0，再逐个判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式和有理数的大小比较，能熟记a中a≥0是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3.【答案】D
【解析】解：∵ba=32，
∴2b=3a．
故选：D．
根据比例的性质进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、经过有信号灯的十字路口，遇见红灯，是随机事件，不符合题意；
B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃，是随机事件，不符合题意；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
D、明天一定下雨，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】D
【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP=37°，
∵AP=40海里，
∴BP=AP⋅sin37°=40sin37°海里；
故选D．
根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．
本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据矩形ABCD的边AB=x米，求出边BC的长度是多少；然后根据长方形的面积=长×宽，判断出关系式正确的是哪个即可．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，以及长方形的面积的求法，要熟练掌握．
【解答】
解：∵AB=x米，
∴BC=(40-2x)米，
∴S=x(40-2x)．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA'=1：2，AB//A'B'，点A、O、A'三点在同一条直线上，S△ABC：S△A'B'C'=(12)2=14．
故选：C．
根据位似的性质对各选项进行判断．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行(或共线)．
8.【答案】D
【解析】解：将y=(x+1)(x-3)+3的图象沿y轴向下平移3个单位后，解析为y=(x+1)(x-3)，
∴抛物线与x轴交点坐标为(-1,0)，(3,0)．
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，
故选：D．
求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象平移的规律及二次函数的交点式．
9.【答案】6
【解析】解：3×12
=36
=6．
故答案为：6．
利用二次根式的乘法的运算法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】k≤2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有实数根，
∴Δ=42-4×1×2k≥0，
∴k≤2．
故答案为：k≤2．
根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
11.【答案】50
【解析】解：设他走的路程为x米，
由勾股定理得：252+(3×25)2=x2，
解得：x=50或x=-50(不合题意舍去)，
即他走的路程为50米，
故答案为：50．
由坡度的定义设坡面的竖直高度为25米，则水平距离为253米，再由勾股定理即可解答本题．
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、勾股定理，掌握坡度的含义，由勾股定理得出方程是解题的关键．
12.【答案】0.9
【解析】解：由题知，试验次数越多，发芽频率在0.9，
∴这批蔬菜种子发芽的概率是0.9，
故答案为：0.9．
应用用频率估计概率的方法得出结果即可．
本题主要考查频率和概率的关系，熟练掌握频率和概率的关系是解题的关键．
13.【答案】43
【解析】解：如图：
由题意得：
AB=1，CD=2，AB//CD，
∴∠BAE=∠ECD，∠ABE=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=BEDE=12，
∴S△CBES△CDE=12，
∴S△CDE=23S△BCD
=23×12⋅CD⋅BC
=13×2×2
=43，
∴阴影部分图形的面积为43，
故答案为：43．
根据题意得：AB=1，CD=2，AB//CD，从而利用平行线的性质可得∠BAE=∠ECD，∠ABE=∠CDE，进而可得△ABE∽△CDE，然后利用相似三角形的性质可得BEDE=12，从而可得S△CDE=23S△BCD，最后进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
14.【答案】22
【解析】解：设E(m,m2)，
由题意可知F(-m,m2,A(3m,9m2)，则C点的纵坐标为9m2，
∴CE=16，
∴9m2-m2=16，
解得m=2，
∴E(2,2)，F(-2,2)，
∴EF=22，
故答案为：22．
设E(m,m2)，根据题意得出F(-m,m2,A(3m,9m2)，即可得出C点的纵坐标为9m2，由CE=16，得到关于m的方程，解方程求得m的值，进而求得E、F的坐标，从而求得EF=22．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出点的坐标是解题的关键．
15.【答案】一
【解析】解：(1)小慧的解法是不正确的，她从第一步开始出现了错误；
故答案为：一；
(2)正确解法为：2x(2x-1)=3(2x-1)，
2x(2x-1)-3(2x-1)=0，
(2x-1)(2x-3)=0，
2x-1=0或2x-3=0，
所以x1=12，x2=32．
(1)2x-1可以为0，所以方程两边除以(2x-1)不符合方程的同解原理；
(2)先移项得到2x(2x-1)+(2x-1)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
16.【答案】23
【解析】解：(1)∵有3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽(记为A)、吉祥物冰墩墩(记为B)、吉祥物雪容融(记为C)，
∴小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是23．
故答案为：23；
(2)画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票都是吉祥物的结果有4种，
则抽到的两张邮票都是吉祥物的概率为49．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)先画出树状图，共有9种等可能的结果，抽到的两张邮票都是吉祥物的的结果有4种，然后由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设每次下降的百分率为x，
依题意，得：2500(1-x)2=1600，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为20%．
【解析】设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】解：在Rt△ABD中，∠BAD=39°，AD=97米，
∴BD=AD⋅tan97°≈97×0.81≈78.57(米)，
∵BC=5米，
∴CD=BC+BD=5+78.57≈84(米)，
∴大桥立柱CD的高约为84米．
【解析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，然后再根据CD=BC+BD，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】4 85 83 八
【解析】解：(1)七年级数据中满足80
因为八年级数据中，数据83出现两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是83，即c的值为83，
故答案为：4，85，83．
(2)推测小聪同学可能是八年级的学生．
因为小聪的分数在年级属于中游略偏上，而82>81.5，即小宇的分数大于八年级的中位数，所以成绩在中游略偏上，
故答案为：八．
(3)由原数据可得七年级80(分)以上的同学有4+2=6(人)，
全校学生本次测试成绩在80(分)以上的人数有800×610=480(人，
∴估计该校七年级学生本次测试成绩在80(分)以上的人数约为480人．
(1)根据中位数、众数的定义直接求解即可；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)先求出七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数，再用800乘以七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数所占的比例即可．
本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体等知识是解答此题的关键．
20.【答案】4
【解析】解：(1)如图1中，点E即为所求；
(2)△ABC的面积=3×3-12×1×3-12×2×2-12×1×3=4．
故答案为：4．
(3)如图3中，点F即为所求．
(1)作出AB的中点E，连接DE即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(3)取格点P，Q，连接PQ交AC于点F，连接BF即可．
本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0)，
将(8,0)代入y=a(x-3)2+5，得：25a+5=0，
解得：a=-15，
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0
当y=1.8时，有-15(x-3)2+5=1.8，
解得：x1=-1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【解析】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点(8,0)，求出a值，此题得解；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；(3)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
22.【答案】12
【解析】【解决问题】证明：如图①，延长DE交射线CB于点F，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
在△DAE和△FBE中，
∠A=∠EBF=90°AE=BE∠AED=∠BEF，
∴△DAE≌△FBE(ASA)，
∴DE=FE，∠ADE=∠F，
∵∠DEC=90°，
∴CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴∠CDE=∠F，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
【应用】解：方法一：如图②，延长FE交AD延长线于点Q，
∵点E是边CD的中点，
∴CE=DE，
在△CEF和△DEQ中，
∠C=∠EDQ=90°CE=DE∠CEF=∠DEQ，
∴△CEF≌△DEQ(ASA)，
∴FE=QE，
由翻折可知：∠AEF=∠B=90°，
∴∠AEF=∠AEQ=90°，
在△AEF和△AEQ中，
FE=QE∠AEF=∠AEQ=90°AE=AE，
∴△AEF≌△AEQ(SAS)，
∴∠FAE=∠QAE，
由翻折可知：∠FAE=∠FAB，
∴∠FAB=∠FAE=∠QAE=30°，
∴sin∠BAF=sin30°=12；
故答案为：12；
方法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，
∵将△ABF沿直线AF折叠，
∴AE=AB，
∵E是DC的中点，
∴DE=EC，
∴AE=2DE，
∴sin∠DAE=DEAE=12，
∴∠DAE=30°，
∴∠BAE=60°，
由翻折可知：∠BAF=∠EAF=12∠BAE=30°，
∴sin∠BAF=sin30°=12．
故答案为：12；
【拓展】解：①如图，在矩形ABCD中，AD>AB，当点G在DC边上时，
延长AE交CD延长线于点Q，
∵点E为边AD的中点，
∴AE=DE，
在△BAE和△QDE中，
∠A=∠QDE=90°AE=DE∠AEB=∠DEQ，
∴△BAE≌△QDE(ASA)，
∴∠ABE=∠Q，AB=DQ，
∵将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，
∴∠ABE=∠FBE，∠A=∠EFB=90°，FB=AB，
∴∠Q=∠FBE，
∴GB=BQ，
∵CG=1，DG=2，
∴AB=CD=DQ=CG+DG=3，
∴GQ=GD+DQ=5，
∴GB=5，
∴BC=BG2-CG2=52-12=26，
∵∠BFH=∠C=90°，∠FBH=∠CBG，
∴△FBH∽△CBG，
∴FHCG=BFBC，
∴FH1=326，
∴FH=64；
②如图，在矩形ABCD中，AD>AB，当点G在DC延长线上时，
延长BE交CD延长线于点Q，
同①得△BAE≌△QDE(ASA)，
∴∠ABE=∠Q，AB=DQ，
∵将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，
∴∠ABE=∠FBE，
∴∠Q=∠FBE，
∴GB=BQ，
∵CG=1，DG=2，
∴AB=CD=DQ=DG-CG=1，
∴GQ=GD+DQ=3，
∴GB=3，
∴BC=BG2-CG2=22，
同①△FBH∽△CBG，
∴FHCG=BFBC，
∴FH1=122，
∴FH=24．
综上所述：HF的长为64或24．
【解决问题】如图①，延长DE交射线CB于点F，证明△DAE≌△FBE(ASA)，可得DE=FE，∠ADE=∠F，进而可以解决问题；
【应用】如图②，方法一：延长FE交AD延长线于点Q，证明△CEF≌△DEQ(ASA)，可得FE=QE，再△AEF≌△AEQ(SAS)，可得∠FAE=∠QAE，所以∠FAB=∠FAE=∠QAE=30°，进而可得sin∠BAF的值；方法二：根据sin∠DAE=DEAE=12，可得∠DAE=30°，所以∠BAE=60°，由翻折可得∠BAF=∠EAF=12∠BAE=30°，进而可以解决问题；
【拓展】分两种情况画图讨论：①当点G在DC边上时，②当点G在DC延长线上时，然后证明△BAE≌△QDE(ASA)，可得∠ABE=∠Q，AB=DQ，证明△FBH∽△CBG，可得FHCG=BFBC，进而可以求出FH的长．
本题属于四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，相似三角形是判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，锐角三角函数，解决本题的关键是得到△BFH∽△BCG．
23.【答案】解：(1)∵点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．
∴AP=5t，
∵AB=10，
∴PB=AB-AP=10-5t(0≤t≤2)；
(2)当点M落在边BC上时，如图：作△ABC的高CH交MN于点D，
∵四边形PBMN是平行四边形，
∴PB//MN，PB=MN，
∵点N为边AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴PB=MN=12AB=5，
∵sinA=BCAB=55，AB=10．
∴BC=25，
∴AC=AB2-BC2=100-20=45，
∴CH=AC⋅BCAB=45×2510=4，
∴DH=12CH=2，
∴▱PBMN与△ABC重叠部分图形的面积为PB⋅DH=5×2=10；
(3)当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，重叠部分为等腰梯形，如图，作△ABC的高CH交MN于点D，
过点N作NE⊥AB于E，
∴∠NPB=∠CBA，PN=BQ=12BC=5，
由(2)知CH=4，NE=DH=2，
∴PE=PN2-NE2=5-4=1，
∵CH⊥AB，NE⊥AB，
∴NE//CH，
∵点N为边AC的中点，
∴AN=12AC=25，
∴AE=AN2-NE2=20-4=4，
∴AP=AE-PE=3=5t，
∴t=35；
(4)设MN交BC于Q，
当点A'落在线段AB上时，如图：
∵点A、点A'关于直线PN对称，
∴NP⊥AB，
由(3)知AP=4，
∴5t=4，
∴t=45；
点A'落在线段NQ上时，连接AA'，
∵点A、点A'关于直线PN对称，
∴∠ANP=∠A'NP，
∵MN//AB，
∴∠A'NP=∠APN，
∴AP=AN=25，
∴5t=25，
∴t=255；
∴t的取值范围为45
(2)作△ABC的高CH交MN于点D，当点M落在边BC上时，根据平行四边形的性质得PB//MN，PB=MN，则MN为△ABC的中位线，MN=12AB=5，利用面积法求出CH=4，则DH=2，即可求解；
(3)当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，重叠部分为等腰梯形，画出图形，过点N作NE⊥AB于E，解直角三角形即可得出答案求t的值；
(4)设MN交BC于Q，分别求出当点A'落在线段AB上时，点A'落在线段NQ上时，t的值，即可得t的取值范围．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
24.【答案】-4≤y≤5
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0)，
∴9a-3b-3=0 a+b-3=0，解得a=1b=2，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=x2+2x-3；
(2)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴为x=-1，顶点为(-1,-4)，
当x=-2时，y=x2+2x-3=-3，
当x=2时，y=x2+2x-3=5，
∴当-2≤x≤2时，y的取值范围是-4≤y≤5，
故答案为：-4≤y≤5；
(3)∵y=x2+2x-3，
∴C(0,-3)，
设直线AC的解析式为y=kx+c，将A(-3,0)，C(0,-3)代入得，
-3k+c=0c=-3，解得k=-1c=-3，
∴AC的解析式为y=-x-3，
∵点P的横坐标为m，
∴P(m,-m-3)，
∵PQ//y轴，
∴Q(m,m2+2m-3)，
∵以PQ为边作矩形PQMN，矩形的顶点M、N均在此抛物线的对称轴上．
∴M(-1,m2+2m-3)，N(-1,-m-3)，
∴PN=|-1-m|，PQ=|-m-3-m2-2m+3|=|-m2-3m|，
①当-3
∵l=-2m2-8m-2=-2(m+2)2+6，
∴当l随着m的增大而增大时m的取值范围为-3
∵l=-2m2-4m+2=-2(m+1)2+4，
∴当l随着m的增大而增大时m的取值范围为m<-1(舍去)；
综上所述，l与m之间的函数关系式为l=-2m2-8m-2(-3
当x=-1时，y=-x-3=-2，
∴H的坐标为(-1,-2)，
当点M与点H重合时，
∵M(-1,m2+2m-3)，
∴m2+2m-3=-2，解得m=-1±2，
∵-3
①当-3
∵Q(m,m2+2m-3)，M(-1,m2+2m-3)，AC的解析式为y=-x-3，
∴-x-3=m2+2m-3，解得x=-m2-2m，
∴D(-m2-2m,m2+2m-3)，
∵矩形PQMN被线段AC分成的两部分图形的面积比为1：3，
∴S△PDQ=14S矩形PQMN，
∴12PQ⋅DQ=14PQ⋅PN，
∴2DQ=PN，
∴2(-m2-2m-m)=-1-m，解得m=-5±334(舍去正数值)，
∴m=-5-334；
②当-1-2
∵矩形PQMN被线段AC分成的两部分图形的面积比为1：3，
∴S△PNH=14S矩形PQMN，
∴12PN⋅NH=14PQ⋅PN，
∴2NH=PQ，
∴2(-m-3+2)=-m2-3m，解得m=-2或1(舍去正数值)，
∴m=-2；
综上所述：m的值为-5-334或-2．
(1)根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)求出抛物线的顶点为(-1,-4)，当x=-2时，y=-3，当x=2时，y=5，即可得当-2≤x≤2时y的取值范围；
(3)求出AC的解析式为y=-x-3，则P(m,-m-3)，Q(m,m2+2m-3)，M(-1,m2+2m-3)，N(-1,-m-3)，可得PN=|-1-m|，PQ=|-m-3-m2-2m+3|=|-m2-3m|，分两种情况：①当-3
2022-2023学年吉林省长春市二道区赫行实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a有意义，则a的值不可以是( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2022
2. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )
A. x+y=1 B. 3x+y2=2 C. 2x-x2=3 D. x+1x=4
3. 已知ba=32，下列变形正确的是( )
A. ab=6 B. 2a=3b C. a=32b D. 3a=2b
4. 下列事件是必然事件的是( )
A. 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯
B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定下雨
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为( )
A. 40海里
B. 40tan37°海里
C. 40cos37°海里
D. 40sin37°海里
6. 如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米，则下面关系式正确的是( )
A. S=x(40-x)
B. S=x(40-2x)
C. S=x(10-x)
D. S=10(2x-20)
7. 如图，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C'.以下说法中错误的是( )
A. △ABC∽△A'B'C'
B. 点A、O、A'三点在同一条直线上
C. AO：AA'=1：2
D. S△ABC：S△A'B'C'=1：4
8. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)(x-3)+3的图象沿y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9. 计算3×12的结果是______．
10. 若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有实数根，则k的取值范围是______．
11. 某人沿着坡度i=1：3的山坡走到离地面25米高的地方，则他走的路程为______米．
12. 某数学兴趣小组学习“用频率估计概率”知识后，在对某品种蔬菜的发芽情况进行试验后，并将试验结果制成如下的表格：
试验次数
100
200
500
1000
2000
3000
5000
发芽次数
85
186
460
880
1820
2670
4500
发芽频率
0.85
0.93
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
据此估计这批蔬菜种子发芽的概率是______(精确到0.1)．
13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则阴影部分图形的面积为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于点E、F，连结EF.若CE=16，则线段EF的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
小慧用因式分解法解一元二次方程2x(2x-1)=3(2x-1)时，她的做法如下：
方程两边同时除以(2x-1)，得2x=3，(第一步)
系数化为1，得x=32.(第二步)
(1)小慧的解法是不正确的，她从第______步开始出现了错误．
(2)请用小慧的方法完成这个题的解题过程．
16. (本小题6.0分)
北京冬奥会于2022年2月4日至20日在我国首都北京举行，北京也成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小冬是个集邮爱好者，他收集了如图所示的3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽(记为A)、吉祥物冰墩墩(记为B)、吉祥物雪容融(记为C)(3张邮票除正面内容不同外，其余均相同)，现将3张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是______．
(2)小冬从中随机抽取一张邮票记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图(或列表)的方法，求抽到的两张邮票都是吉祥物的概率．
17. (本小题6.0分)
某种品牌手机经过7，8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元.若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
18. (本小题7.0分)
长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点A处测得拉索AB与水平桥面的夹角是39°，点A处距离大桥立柱CD底端D的距离AD为97米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离BC为5米，求大桥立柱CD的高．(结果精确到1米)
[参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81]
19. (本小题7.0分)
某校为了解七、八年级学生对抗美援朝历史知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩(百分制)进行收集、整理和分析．
数据收集
七年级：59 90 92 85 80 67 88 85 97 79
八年级：57 95 80 96 83 69 92 78 66 83
数据整理
年级
成绩x(分)
50
1
1
2
a
2
八年级
1
2
2
2
3
数据分析
平均数
中位数
众数
七年级
82.2
b
85
八年级
79.9
81.5
c
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全表中数据：a=______，b=______，c=______；
(2)小聪同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游略偏上！”，你推测小聪同学可能是______(填“七”或“八”)年级的学生．
(3)假如该校七年级800名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上(不包括80分)的人数．
20. (本小题7.0分)
以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)在图①中，点D为△ABC的边AC的中点，在边AB上找一点E，连结DE，使△ADE的面积为△ABC面积的14．
(2)在图②中，△ABC的面积为______．
(3)在图②中，在△ABC的边AC上找一点F，连结BF，使△ABF的面积为43．
21. (本小题8.0分)
如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x轴，立柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．
22. (本小题9.0分)
【解决问题】如图①，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，点E是边AB的中点，∠DEC=90°，求证：DE平分∠ADC．
(提示：延长DE交射线CB于点F)
【应用】如图②，在矩形ABCD中，点F是边BC上的一点，将△ABF沿直线AF折叠，若点B落在边DC的中点E处，则sin∠BAF=______．
【拓展】在矩形ABCD中，AD>AB，点E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，延长BF交直线CD于点G，直线EF交边BC于点H.若CG=1，DG=2，直接写出HF的长．
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°.sinA=55，AB=10.点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．点N为边AC的中点，连结PN，以PN和PB为边作▱PBMN.设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PB的长；
(2)当点M落在边BC上时，求t的值及此时▱PBMN与△ABC重叠部分图形的面积．
(3)当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，求t的值．
(4)作点A关于直线PN的对称点A'，当点A'落在▱PBMN内部时，直接写出t的取值范围．
24. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C.点P在线段AC上(不与点A、C重合)，PQ//y轴交抛物线于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，矩形的顶点M、N均在此抛物线的对称轴上．设点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)当-2≤x≤2时，y的取值范围是______；
(3)设矩形PQMN的周长为l，求l与m之间的函数关系式并直接写出当l随着m的增大而增大时m的取值范围；
(4)当矩形PQMN被线段AC分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
a≥0，
选项中只有A选项-1不满足a≥0．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件得出a≥0，再逐个判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式和有理数的大小比较，能熟记a中a≥0是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3.【答案】D
【解析】解：∵ba=32，
∴2b=3a．
故选：D．
根据比例的性质进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、经过有信号灯的十字路口，遇见红灯，是随机事件，不符合题意；
B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃，是随机事件，不符合题意；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
D、明天一定下雨，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】D
【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP=37°，
∵AP=40海里，
∴BP=AP⋅sin37°=40sin37°海里；
故选D．
根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．
本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据矩形ABCD的边AB=x米，求出边BC的长度是多少；然后根据长方形的面积=长×宽，判断出关系式正确的是哪个即可．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，以及长方形的面积的求法，要熟练掌握．
【解答】
解：∵AB=x米，
∴BC=(40-2x)米，
∴S=x(40-2x)．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA'=1：2，AB//A'B'，点A、O、A'三点在同一条直线上，S△ABC：S△A'B'C'=(12)2=14．
故选：C．
根据位似的性质对各选项进行判断．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行(或共线)．
8.【答案】D
【解析】解：将y=(x+1)(x-3)+3的图象沿y轴向下平移3个单位后，解析为y=(x+1)(x-3)，
∴抛物线与x轴交点坐标为(-1,0)，(3,0)．
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，
故选：D．
求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象平移的规律及二次函数的交点式．
9.【答案】6
【解析】解：3×12
=36
=6．
故答案为：6．
利用二次根式的乘法的运算法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】k≤2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有实数根，
∴Δ=42-4×1×2k≥0，
∴k≤2．
故答案为：k≤2．
根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
11.【答案】50
【解析】解：设他走的路程为x米，
由勾股定理得：252+(3×25)2=x2，
解得：x=50或x=-50(不合题意舍去)，
即他走的路程为50米，
故答案为：50．
由坡度的定义设坡面的竖直高度为25米，则水平距离为253米，再由勾股定理即可解答本题．
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、勾股定理，掌握坡度的含义，由勾股定理得出方程是解题的关键．
12.【答案】0.9
【解析】解：由题知，试验次数越多，发芽频率在0.9，
∴这批蔬菜种子发芽的概率是0.9，
故答案为：0.9．
应用用频率估计概率的方法得出结果即可．
本题主要考查频率和概率的关系，熟练掌握频率和概率的关系是解题的关键．
13.【答案】43
【解析】解：如图：
由题意得：
AB=1，CD=2，AB//CD，
∴∠BAE=∠ECD，∠ABE=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=BEDE=12，
∴S△CBES△CDE=12，
∴S△CDE=23S△BCD
=23×12⋅CD⋅BC
=13×2×2
=43，
∴阴影部分图形的面积为43，
故答案为：43．
根据题意得：AB=1，CD=2，AB//CD，从而利用平行线的性质可得∠BAE=∠ECD，∠ABE=∠CDE，进而可得△ABE∽△CDE，然后利用相似三角形的性质可得BEDE=12，从而可得S△CDE=23S△BCD，最后进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
14.【答案】22
【解析】解：设E(m,m2)，
由题意可知F(-m,m2,A(3m,9m2)，则C点的纵坐标为9m2，
∴CE=16，
∴9m2-m2=16，
解得m=2，
∴E(2,2)，F(-2,2)，
∴EF=22，
故答案为：22．
设E(m,m2)，根据题意得出F(-m,m2,A(3m,9m2)，即可得出C点的纵坐标为9m2，由CE=16，得到关于m的方程，解方程求得m的值，进而求得E、F的坐标，从而求得EF=22．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出点的坐标是解题的关键．
15.【答案】一
【解析】解：(1)小慧的解法是不正确的，她从第一步开始出现了错误；
故答案为：一；
(2)正确解法为：2x(2x-1)=3(2x-1)，
2x(2x-1)-3(2x-1)=0，
(2x-1)(2x-3)=0，
2x-1=0或2x-3=0，
所以x1=12，x2=32．
(1)2x-1可以为0，所以方程两边除以(2x-1)不符合方程的同解原理；
(2)先移项得到2x(2x-1)+(2x-1)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
16.【答案】23
【解析】解：(1)∵有3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽(记为A)、吉祥物冰墩墩(记为B)、吉祥物雪容融(记为C)，
∴小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是23．
故答案为：23；
(2)画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票都是吉祥物的结果有4种，
则抽到的两张邮票都是吉祥物的概率为49．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)先画出树状图，共有9种等可能的结果，抽到的两张邮票都是吉祥物的的结果有4种，然后由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设每次下降的百分率为x，
依题意，得：2500(1-x)2=1600，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为20%．
【解析】设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】解：在Rt△ABD中，∠BAD=39°，AD=97米，
∴BD=AD⋅tan97°≈97×0.81≈78.57(米)，
∵BC=5米，
∴CD=BC+BD=5+78.57≈84(米)，
∴大桥立柱CD的高约为84米．
【解析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，然后再根据CD=BC+BD，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】4 85 83 八
【解析】解：(1)七年级数据中满足80
因为八年级数据中，数据83出现两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是83，即c的值为83，
故答案为：4，85，83．
(2)推测小聪同学可能是八年级的学生．
因为小聪的分数在年级属于中游略偏上，而82>81.5，即小宇的分数大于八年级的中位数，所以成绩在中游略偏上，
故答案为：八．
(3)由原数据可得七年级80(分)以上的同学有4+2=6(人)，
全校学生本次测试成绩在80(分)以上的人数有800×610=480(人，
∴估计该校七年级学生本次测试成绩在80(分)以上的人数约为480人．
(1)根据中位数、众数的定义直接求解即可；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)先求出七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数，再用800乘以七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数所占的比例即可．
本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体等知识是解答此题的关键．
20.【答案】4
【解析】解：(1)如图1中，点E即为所求；
(2)△ABC的面积=3×3-12×1×3-12×2×2-12×1×3=4．
故答案为：4．
(3)如图3中，点F即为所求．
(1)作出AB的中点E，连接DE即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(3)取格点P，Q，连接PQ交AC于点F，连接BF即可．
本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0)，
将(8,0)代入y=a(x-3)2+5，得：25a+5=0，
解得：a=-15，
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0
当y=1.8时，有-15(x-3)2+5=1.8，
解得：x1=-1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【解析】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点(8,0)，求出a值，此题得解；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；(3)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
22.【答案】12
【解析】【解决问题】证明：如图①，延长DE交射线CB于点F，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
在△DAE和△FBE中，
∠A=∠EBF=90°AE=BE∠AED=∠BEF，
∴△DAE≌△FBE(ASA)，
∴DE=FE，∠ADE=∠F，
∵∠DEC=90°，
∴CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴∠CDE=∠F，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
【应用】解：方法一：如图②，延长FE交AD延长线于点Q，
∵点E是边CD的中点，
∴CE=DE，
在△CEF和△DEQ中，
∠C=∠EDQ=90°CE=DE∠CEF=∠DEQ，
∴△CEF≌△DEQ(ASA)，
∴FE=QE，
由翻折可知：∠AEF=∠B=90°，
∴∠AEF=∠AEQ=90°，
在△AEF和△AEQ中，
FE=QE∠AEF=∠AEQ=90°AE=AE，
∴△AEF≌△AEQ(SAS)，
∴∠FAE=∠QAE，
由翻折可知：∠FAE=∠FAB，
∴∠FAB=∠FAE=∠QAE=30°，
∴sin∠BAF=sin30°=12；
故答案为：12；
方法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，
∵将△ABF沿直线AF折叠，
∴AE=AB，
∵E是DC的中点，
∴DE=EC，
∴AE=2DE，
∴sin∠DAE=DEAE=12，
∴∠DAE=30°，
∴∠BAE=60°，
由翻折可知：∠BAF=∠EAF=12∠BAE=30°，
∴sin∠BAF=sin30°=12．
故答案为：12；
【拓展】解：①如图，在矩形ABCD中，AD>AB，当点G在DC边上时，
延长AE交CD延长线于点Q，
∵点E为边AD的中点，
∴AE=DE，
在△BAE和△QDE中，
∠A=∠QDE=90°AE=DE∠AEB=∠DEQ，
∴△BAE≌△QDE(ASA)，
∴∠ABE=∠Q，AB=DQ，
∵将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，
∴∠ABE=∠FBE，∠A=∠EFB=90°，FB=AB，
∴∠Q=∠FBE，
∴GB=BQ，
∵CG=1，DG=2，
∴AB=CD=DQ=CG+DG=3，
∴GQ=GD+DQ=5，
∴GB=5，
∴BC=BG2-CG2=52-12=26，
∵∠BFH=∠C=90°，∠FBH=∠CBG，
∴△FBH∽△CBG，
∴FHCG=BFBC，
∴FH1=326，
∴FH=64；
②如图，在矩形ABCD中，AD>AB，当点G在DC延长线上时，
延长BE交CD延长线于点Q，
同①得△BAE≌△QDE(ASA)，
∴∠ABE=∠Q，AB=DQ，
∵将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，
∴∠ABE=∠FBE，
∴∠Q=∠FBE，
∴GB=BQ，
∵CG=1，DG=2，
∴AB=CD=DQ=DG-CG=1，
∴GQ=GD+DQ=3，
∴GB=3，
∴BC=BG2-CG2=22，
同①△FBH∽△CBG，
∴FHCG=BFBC，
∴FH1=122，
∴FH=24．
综上所述：HF的长为64或24．
【解决问题】如图①，延长DE交射线CB于点F，证明△DAE≌△FBE(ASA)，可得DE=FE，∠ADE=∠F，进而可以解决问题；
【应用】如图②，方法一：延长FE交AD延长线于点Q，证明△CEF≌△DEQ(ASA)，可得FE=QE，再△AEF≌△AEQ(SAS)，可得∠FAE=∠QAE，所以∠FAB=∠FAE=∠QAE=30°，进而可得sin∠BAF的值；方法二：根据sin∠DAE=DEAE=12，可得∠DAE=30°，所以∠BAE=60°，由翻折可得∠BAF=∠EAF=12∠BAE=30°，进而可以解决问题；
【拓展】分两种情况画图讨论：①当点G在DC边上时，②当点G在DC延长线上时，然后证明△BAE≌△QDE(ASA)，可得∠ABE=∠Q，AB=DQ，证明△FBH∽△CBG，可得FHCG=BFBC，进而可以求出FH的长．
本题属于四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，相似三角形是判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，锐角三角函数，解决本题的关键是得到△BFH∽△BCG．
23.【答案】解：(1)∵点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．
∴AP=5t，
∵AB=10，
∴PB=AB-AP=10-5t(0≤t≤2)；
(2)当点M落在边BC上时，如图：作△ABC的高CH交MN于点D，
∵四边形PBMN是平行四边形，
∴PB//MN，PB=MN，
∵点N为边AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴PB=MN=12AB=5，
∵sinA=BCAB=55，AB=10．
∴BC=25，
∴AC=AB2-BC2=100-20=45，
∴CH=AC⋅BCAB=45×2510=4，
∴DH=12CH=2，
∴▱PBMN与△ABC重叠部分图形的面积为PB⋅DH=5×2=10；
(3)当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，重叠部分为等腰梯形，如图，作△ABC的高CH交MN于点D，
过点N作NE⊥AB于E，
∴∠NPB=∠CBA，PN=BQ=12BC=5，
由(2)知CH=4，NE=DH=2，
∴PE=PN2-NE2=5-4=1，
∵CH⊥AB，NE⊥AB，
∴NE//CH，
∵点N为边AC的中点，
∴AN=12AC=25，
∴AE=AN2-NE2=20-4=4，
∴AP=AE-PE=3=5t，
∴t=35；
(4)设MN交BC于Q，
当点A'落在线段AB上时，如图：
∵点A、点A'关于直线PN对称，
∴NP⊥AB，
由(3)知AP=4，
∴5t=4，
∴t=45；
点A'落在线段NQ上时，连接AA'，
∵点A、点A'关于直线PN对称，
∴∠ANP=∠A'NP，
∵MN//AB，
∴∠A'NP=∠APN，
∴AP=AN=25，
∴5t=25，
∴t=255；
∴t的取值范围为45
(2)作△ABC的高CH交MN于点D，当点M落在边BC上时，根据平行四边形的性质得PB//MN，PB=MN，则MN为△ABC的中位线，MN=12AB=5，利用面积法求出CH=4，则DH=2，即可求解；
(3)当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，重叠部分为等腰梯形，画出图形，过点N作NE⊥AB于E，解直角三角形即可得出答案求t的值；
(4)设MN交BC于Q，分别求出当点A'落在线段AB上时，点A'落在线段NQ上时，t的值，即可得t的取值范围．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
24.【答案】-4≤y≤5
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0)，
∴9a-3b-3=0 a+b-3=0，解得a=1b=2，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=x2+2x-3；
(2)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴为x=-1，顶点为(-1,-4)，
当x=-2时，y=x2+2x-3=-3，
当x=2时，y=x2+2x-3=5，
∴当-2≤x≤2时，y的取值范围是-4≤y≤5，
故答案为：-4≤y≤5；
(3)∵y=x2+2x-3，
∴C(0,-3)，
设直线AC的解析式为y=kx+c，将A(-3,0)，C(0,-3)代入得，
-3k+c=0c=-3，解得k=-1c=-3，
∴AC的解析式为y=-x-3，
∵点P的横坐标为m，
∴P(m,-m-3)，
∵PQ//y轴，
∴Q(m,m2+2m-3)，
∵以PQ为边作矩形PQMN，矩形的顶点M、N均在此抛物线的对称轴上．
∴M(-1,m2+2m-3)，N(-1,-m-3)，
∴PN=|-1-m|，PQ=|-m-3-m2-2m+3|=|-m2-3m|，
①当-3
∵l=-2m2-8m-2=-2(m+2)2+6，
∴当l随着m的增大而增大时m的取值范围为-3
∵l=-2m2-4m+2=-2(m+1)2+4，
∴当l随着m的增大而增大时m的取值范围为m<-1(舍去)；
综上所述，l与m之间的函数关系式为l=-2m2-8m-2(-3
当x=-1时，y=-x-3=-2，
∴H的坐标为(-1,-2)，
当点M与点H重合时，
∵M(-1,m2+2m-3)，
∴m2+2m-3=-2，解得m=-1±2，
∵-3
①当-3
∵Q(m,m2+2m-3)，M(-1,m2+2m-3)，AC的解析式为y=-x-3，
∴-x-3=m2+2m-3，解得x=-m2-2m，
∴D(-m2-2m,m2+2m-3)，
∵矩形PQMN被线段AC分成的两部分图形的面积比为1：3，
∴S△PDQ=14S矩形PQMN，
∴12PQ⋅DQ=14PQ⋅PN，
∴2DQ=PN，
∴2(-m2-2m-m)=-1-m，解得m=-5±334(舍去正数值)，
∴m=-5-334；
②当-1-2
∵矩形PQMN被线段AC分成的两部分图形的面积比为1：3，
∴S△PNH=14S矩形PQMN，
∴12PN⋅NH=14PQ⋅PN，
∴2NH=PQ，
∴2(-m-3+2)=-m2-3m，解得m=-2或1(舍去正数值)，
∴m=-2；
综上所述：m的值为-5-334或-2．
(1)根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)求出抛物线的顶点为(-1,-4)，当x=-2时，y=-3，当x=2时，y=5，即可得当-2≤x≤2时y的取值范围；
(3)求出AC的解析式为y=-x-3，则P(m,-m-3)，Q(m,m2+2m-3)，M(-1,m2+2m-3)，N(-1,-m-3)，可得PN=|-1-m|，PQ=|-m-3-m2-2m+3|=|-m2-3m|，分两种情况：①当-3
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