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2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）
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这是一份2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份），共26页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）
选择题
1．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）2023年春运期间长春站预计发送旅客2520000人次，与2021年同期相比增加127%，数据2520000用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.52×105 B．2.52×106 C．25.2×105 D．25.2×104
3．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
5．（3分）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长度为（ ）
A．2asinθ B．asin2θ C．2atanθ D．atan2θ
7．（3分）已知点P是∠AOB的边OA上一点，根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若BD∥y轴，点C的纵坐标为4，则k1+k2的值为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：a2﹣2ab＝ ．
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（3分）已知，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值 ．
12．（3分）《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为 ．
13．（3分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
14．（3分）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）小吉和小林进行跳绳比赛．已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时间与小林跳120个所用的时间相等．求小林每分钟跳绳的个数．
17．（6分）两位同学去食堂就餐．如图是一张餐桌的示意图，A、B两位同学随机坐在①、②、③、④四个座位中，请用画树状图（或列表）的方法求A、B两位同学坐在正对面的概率．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的AC边上确定一点D，连结BD，使得S△ABC＝3S△ABD；
（2）在图②中的AB边上确定一点E，连结CE，使得S△AEC＝3S△BEC；
（3）在图③中的AB边上确定一点M，AC边上确定一点N，连结MN，使得S四边形MNCB＝3S△AMN．
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝12，BD＝5时，则CF的长为 ．
20．（7分）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有300名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ；
（2）八年级测试成绩的中位数是 ；
（3）若测试成绩不低于85分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
21．（8分）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的函数图象如图所示．
（1）父亲的速度为 米/秒，儿子的速度为 米/秒；
（2）当200≤t≤300时，求儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式；
（3）若不计转向时间，按照这一速度练习10分钟，父子迎面相遇的次数为 ．
22．（9分）【感知】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H．
证明：△ADE≌△CDF．
【探究】证明：点A、C、G、D均在以AC为直径的圆上．
【拓展】在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段BP的中点．点D与点C在PQ的同侧，且∠DPQ＝90°，∠DQP＝∠C．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）线段PQ的长为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点D落在AC边上时，求PD的长；
（3）当△DPQ与△ABC重叠部分是轴对称图形时，求t的值；
（4）当点D到△ABC任意两边距离相等时，直接写出t的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0），顶点为C，与y轴交点为D．点P是抛物线上一个动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点D作DE垂直抛物线的对称轴于点E，求tan∠DCE的值；
（3）设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当2≤d≤4时，求m的取值范围；
（4）已知平面内一点Q的坐标为（m+1，﹣m），点M的坐标为（m，﹣m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）
参考答案
选择题
1．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据俯视图的定义，从上往下看，C符合题意．
故选：C．
2．（3分）2023年春运期间长春站预计发送旅客2520000人次，与2021年同期相比增加127%，数据2520000用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.52×105 B．2.52×106 C．25.2×105 D．25.2×104
【解答】解：2520000＝2.52×106．
故选：B．
3．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
【解答】解：A．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得a﹣b＜0，那么A错误，故A不符合题意．
B．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得a+b＞0，那么B正确，故B符合题意．
C．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得ab＜0，那么C错误，故C不符合题意．
D．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得|a|＜|b|，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故选：C．
5．（3分）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得．
故选：A．
6．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长度为（ ）
A．2asinθ B．asin2θ C．2atanθ D．atan2θ
【解答】解：作OC⊥AB交AB于点C，
∵OA＝OB，
∴OC平分∠AOB，点C平分AB，
∵∠AOB＝2θ，
∴∠AOC＝θ，
∵OA＝OB＝a，
∴AC＝asinθ，
∴AB＝2AC＝2asinθ，
故选：A．
7．（3分）已知点P是∠AOB的边OA上一点，根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可得PQ与OB平行，故不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行，可得PQ与OB平行，故不符合题意；
C、根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行，故符合题意；
D、根据尺规作图痕迹，射线PQ一定与OB平行，故不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若BD∥y轴，点C的纵坐标为4，则k1+k2的值为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE，
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，C（a，4），
∵BD∥y轴，
∴B（a+m，4+m），A（a+2m，4），D（a+m，4﹣m），
∵A，B都在反比例函数的图象上，
∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m），
∵m≠0，
∴m＝4﹣a，
∴B（4，8﹣a），
∵B（4，8﹣a）在反比例函数的图象上，D（4，a）在的图象上，
∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，
∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：a2﹣2ab＝ a（a﹣2b） ．
【解答】解：a2﹣2ab＝a（a﹣2b）．
故答案为：a（a﹣2b）．
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．
【解答】解：要使代数式有意义，必须3﹣x≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
11．（3分）已知，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值 3或4 ．
【解答】解：∵7＜9＜16＜17＜25，
∴．
∴．
∴m是3或4．
故答案为：3或4．
12．（3分）《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为 ．
【解答】解：∵每人出9元，多了5元，
∴9x﹣y＝5；
∵每人出8元，少了2元，
∴y﹣8x＝2．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
13．（3分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 289 ．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE＝OD＝3＝，
∴AC+BC﹣AB＝6，
∴AC+BC＝AB+6，
∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，
∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，
而BC2+AC2＝AB2，
∴2BC×AC＝12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴（BC﹣AC）2＝49，
∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，
把①代入②中得
AB2﹣12AB﹣85＝0，
∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，
∴AB＝17（负值舍去），
∴大正方形的面积为 289．
故答案为：289．
14．（3分）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 y＝x2﹣x+2 ．
【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0，
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
∵A、B、D组成的二次函数的图象的开口小于A、B、C组成的二次函数的开口大小．
∴A、B、D组成的二次函数的图象中，a的值最大，
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数的解析式为y＝x2﹣x+2，
故答案为：y＝x2﹣x+2．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
【解答】解：
＝4+1+2×﹣（﹣1）
＝4+1+﹣+1
＝6．
16．（6分）小吉和小林进行跳绳比赛．已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时间与小林跳120个所用的时间相等．求小林每分钟跳绳的个数．
【解答】解：设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳（x+18）个，
根据题意列方程，得＝，
即135x＝120（x+18），
解得x＝144，
经检验x＝144是原方程的解，
答：小林每分钟跳绳144个．
17．（6分）两位同学去食堂就餐．如图是一张餐桌的示意图，A、B两位同学随机坐在①、②、③、④四个座位中，请用画树状图（或列表）的方法求A、B两位同学坐在正对面的概率．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A、B两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种，
∴A、B两位同学坐在正对面的概率为＝．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的AC边上确定一点D，连结BD，使得S△ABC＝3S△ABD；
（2）在图②中的AB边上确定一点E，连结CE，使得S△AEC＝3S△BEC；
（3）在图③中的AB边上确定一点M，AC边上确定一点N，连结MN，使得S四边形MNCB＝3S△AMN．
【解答】解：（1）如图①，点D即为所求．
（2）如图②，点E即为所求．
（3）如图③，点M，N即为所求．
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝12，BD＝5时，则CF的长为 ．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝DC，
∵点E为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥BF，
∵BD∥EF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝12，BD＝5，
∴AB＝BC＝＝13，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝，
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴BF＝DE＝，
∴CF＝BC+BF＝．
故答案为：．
20．（7分）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有300名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ 20 ，a＝ 4 ；
（2）八年级测试成绩的中位数是 86.5 ；
（3）若测试成绩不低于85分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
【解答】解：（1）由题意得：n＝7÷35%＝20（人），
故2a＝20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8，
解得a＝4，
故答案为：20，4；
（2）把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，
故中位数为＝86.5，
故答案为：86.5；
（3）300×+300×（1﹣5%﹣5%﹣20%）
＝120+210
＝330（人），
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有330人．
21．（8分）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的函数图象如图所示．
（1）父亲的速度为 米/秒，儿子的速度为 2 米/秒；
（2）当200≤t≤300时，求儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式；
（3）若不计转向时间，按照这一速度练习10分钟，父子迎面相遇的次数为 8 ．
【解答】解：（1）由图形可知，父亲的速度为＝（米/秒），
儿子的速度为＝2（米/秒）．
故答案为：，2；
（2）当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y＝kt+b，
把（200，200）和（300，0）代入解析式得：，
解得，
∴当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y＝﹣2t+600；
（3）∵父亲的速度为米/秒，儿子的速度为2米/秒，
∴10分钟父子所走路程和为10×60×（+2）＝3200（米），
父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为600×2+200＝1400（米），
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝3200，
解得n＝8.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为8，
故答案为：8．
22．（9分）【感知】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H．
证明：△ADE≌△CDF．
【探究】证明：点A、C、G、D均在以AC为直径的圆上．
【拓展】在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为 ．
【解答】【感知】：证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
【探究】
证明：∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，且均在以AC为直径的圆上；
【拓展】
∵A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，AB＝AC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC＝，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为＝π．
故答案为：．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段BP的中点．点D与点C在PQ的同侧，且∠DPQ＝90°，∠DQP＝∠C．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）线段PQ的长为 2﹣2t （用含t的代数式表示）；
（2）当点D落在AC边上时，求PD的长；
（3）当△DPQ与△ABC重叠部分是轴对称图形时，求t的值；
（4）当点D到△ABC任意两边距离相等时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）由题意知，AP＝4t，
∴BP＝4﹣4t，
∵点Q为BP的中点，
∴PQ＝BP＝2﹣2t，
故答案为：2﹣2t；
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴sinC＝，
∴AC＝5，
由勾股定理得，BC＝3，
∵∠DQP＝∠C，
∴tan∠DQP＝∠tanC，
∴，
∴DP＝＝，
∴PD＝AP•tanA＝4t×＝3t，
∴3t＝，
解得t＝，
∴PD＝；
（3）设QD与AC交于点E，
当△DPQ与△ABC重叠部分是轴对称图形时，则∠QEA＝90°，QE＝PQ＝2﹣2t，
∴sinA＝，
∴，
解得t＝；
（4）当点D到AB与BC距离相等时，则DP＝PB，
∴＝4﹣4t，
解得t＝1，
∵0＜t＜1，
∴t＝1舍去，
当点D到BC与AC距离相等时，则DG⊥BC于G，DH⊥AC于H，连接DB、DA、DC，
则四边形BGDP是矩形，
∴DG＝PB＝4﹣4t，
∴S△ABD+S△ACD+S△BCD＝S△ABC，
∴×++＝，
解得t＝，
当点D到AB与AC距离相等时，
同理可得++＝，
解得t＝，
综上：t＝或．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0），顶点为C，与y轴交点为D．点P是抛物线上一个动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点D作DE垂直抛物线的对称轴于点E，求tan∠DCE的值；
（3）设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当2≤d≤4时，求m的取值范围；
（4）已知平面内一点Q的坐标为（m+1，﹣m），点M的坐标为（m，﹣m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）设：抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（2，1），D（0，﹣3），
抛物线的对称轴为x＝2，
则DE＝2，CE＝1+3＝4，
则tan∠DCE＝；
（3）点P（m，﹣m2+4m﹣3），
①当m≤1时，
抛物线在点A处取得最大值，在点P处取得最小值，
即d＝0﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣4m+3，
即2≤m2﹣4m+3≤4，
解得：2﹣≤m≤2﹣（不合题意的值已舍去）；
②当1＜m＜3时，
同理可得：d＝﹣m2+4m﹣3，
则2≤﹣m2+4m﹣3≤4，
解得：表达式无解；
③m≥3时，
则抛物线在顶点时取得最大值，在点P处取得最小值，
则2≤1+m2﹣4m+3≤4，
解得：2≤m≤4（不合题意的值已舍去）；
综上，2﹣≤m≤2﹣或2≤m≤4；
（4）当点P、M重合时，则﹣m2+4m﹣3＝﹣m，解得：m＝，
①当点M在点P的下方时，即＜m＜，
由题意得，PN＝1，
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则m＝1.5，这之前矩形内没有函数y的图象；
当m＞1.5时，形区域内的函数y随x的增大而减小（如图），
即＜m＜；
②当点M在点P的上方时，即m或m，
当点Q在对称轴左侧时，即m+1＜2，此时矩形内的抛物线y最x的增大而增大，
当点P离开顶点时，即m＞2，此时矩形内的抛物线y最x的增大而减小，
即m＜或m＞；
综上，m＜或＜m＜．
2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）
选择题
1．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）2023年春运期间长春站预计发送旅客2520000人次，与2021年同期相比增加127%，数据2520000用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.52×105 B．2.52×106 C．25.2×105 D．25.2×104
3．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
5．（3分）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长度为（ ）
A．2asinθ B．asin2θ C．2atanθ D．atan2θ
7．（3分）已知点P是∠AOB的边OA上一点，根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若BD∥y轴，点C的纵坐标为4，则k1+k2的值为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：a2﹣2ab＝ ．
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（3分）已知，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值 ．
12．（3分）《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为 ．
13．（3分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
14．（3分）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）小吉和小林进行跳绳比赛．已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时间与小林跳120个所用的时间相等．求小林每分钟跳绳的个数．
17．（6分）两位同学去食堂就餐．如图是一张餐桌的示意图，A、B两位同学随机坐在①、②、③、④四个座位中，请用画树状图（或列表）的方法求A、B两位同学坐在正对面的概率．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的AC边上确定一点D，连结BD，使得S△ABC＝3S△ABD；
（2）在图②中的AB边上确定一点E，连结CE，使得S△AEC＝3S△BEC；
（3）在图③中的AB边上确定一点M，AC边上确定一点N，连结MN，使得S四边形MNCB＝3S△AMN．
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝12，BD＝5时，则CF的长为 ．
20．（7分）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有300名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ；
（2）八年级测试成绩的中位数是 ；
（3）若测试成绩不低于85分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
21．（8分）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的函数图象如图所示．
（1）父亲的速度为 米/秒，儿子的速度为 米/秒；
（2）当200≤t≤300时，求儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式；
（3）若不计转向时间，按照这一速度练习10分钟，父子迎面相遇的次数为 ．
22．（9分）【感知】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H．
证明：△ADE≌△CDF．
【探究】证明：点A、C、G、D均在以AC为直径的圆上．
【拓展】在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段BP的中点．点D与点C在PQ的同侧，且∠DPQ＝90°，∠DQP＝∠C．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）线段PQ的长为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点D落在AC边上时，求PD的长；
（3）当△DPQ与△ABC重叠部分是轴对称图形时，求t的值；
（4）当点D到△ABC任意两边距离相等时，直接写出t的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0），顶点为C，与y轴交点为D．点P是抛物线上一个动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点D作DE垂直抛物线的对称轴于点E，求tan∠DCE的值；
（3）设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当2≤d≤4时，求m的取值范围；
（4）已知平面内一点Q的坐标为（m+1，﹣m），点M的坐标为（m，﹣m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）
参考答案
选择题
1．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据俯视图的定义，从上往下看，C符合题意．
故选：C．
2．（3分）2023年春运期间长春站预计发送旅客2520000人次，与2021年同期相比增加127%，数据2520000用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.52×105 B．2.52×106 C．25.2×105 D．25.2×104
【解答】解：2520000＝2.52×106．
故选：B．
3．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b|
【解答】解：A．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得a﹣b＜0，那么A错误，故A不符合题意．
B．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得a+b＞0，那么B正确，故B符合题意．
C．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得ab＜0，那么C错误，故C不符合题意．
D．由图可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，得|a|＜|b|，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故选：C．
5．（3分）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得．
故选：A．
6．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长度为（ ）
A．2asinθ B．asin2θ C．2atanθ D．atan2θ
【解答】解：作OC⊥AB交AB于点C，
∵OA＝OB，
∴OC平分∠AOB，点C平分AB，
∵∠AOB＝2θ，
∴∠AOC＝θ，
∵OA＝OB＝a，
∴AC＝asinθ，
∴AB＝2AC＝2asinθ，
故选：A．
7．（3分）已知点P是∠AOB的边OA上一点，根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可得PQ与OB平行，故不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行，可得PQ与OB平行，故不符合题意；
C、根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行，故符合题意；
D、根据尺规作图痕迹，射线PQ一定与OB平行，故不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若BD∥y轴，点C的纵坐标为4，则k1+k2的值为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE，
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，C（a，4），
∵BD∥y轴，
∴B（a+m，4+m），A（a+2m，4），D（a+m，4﹣m），
∵A，B都在反比例函数的图象上，
∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m），
∵m≠0，
∴m＝4﹣a，
∴B（4，8﹣a），
∵B（4，8﹣a）在反比例函数的图象上，D（4，a）在的图象上，
∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，
∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：a2﹣2ab＝ a（a﹣2b） ．
【解答】解：a2﹣2ab＝a（a﹣2b）．
故答案为：a（a﹣2b）．
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．
【解答】解：要使代数式有意义，必须3﹣x≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
11．（3分）已知，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值 3或4 ．
【解答】解：∵7＜9＜16＜17＜25，
∴．
∴．
∴m是3或4．
故答案为：3或4．
12．（3分）《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为 ．
【解答】解：∵每人出9元，多了5元，
∴9x﹣y＝5；
∵每人出8元，少了2元，
∴y﹣8x＝2．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
13．（3分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 289 ．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE＝OD＝3＝，
∴AC+BC﹣AB＝6，
∴AC+BC＝AB+6，
∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，
∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，
而BC2+AC2＝AB2，
∴2BC×AC＝12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴（BC﹣AC）2＝49，
∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，
把①代入②中得
AB2﹣12AB﹣85＝0，
∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，
∴AB＝17（负值舍去），
∴大正方形的面积为 289．
故答案为：289．
14．（3分）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 y＝x2﹣x+2 ．
【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0，
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
∵A、B、D组成的二次函数的图象的开口小于A、B、C组成的二次函数的开口大小．
∴A、B、D组成的二次函数的图象中，a的值最大，
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数的解析式为y＝x2﹣x+2，
故答案为：y＝x2﹣x+2．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
【解答】解：
＝4+1+2×﹣（﹣1）
＝4+1+﹣+1
＝6．
16．（6分）小吉和小林进行跳绳比赛．已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时间与小林跳120个所用的时间相等．求小林每分钟跳绳的个数．
【解答】解：设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳（x+18）个，
根据题意列方程，得＝，
即135x＝120（x+18），
解得x＝144，
经检验x＝144是原方程的解，
答：小林每分钟跳绳144个．
17．（6分）两位同学去食堂就餐．如图是一张餐桌的示意图，A、B两位同学随机坐在①、②、③、④四个座位中，请用画树状图（或列表）的方法求A、B两位同学坐在正对面的概率．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A、B两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种，
∴A、B两位同学坐在正对面的概率为＝．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的AC边上确定一点D，连结BD，使得S△ABC＝3S△ABD；
（2）在图②中的AB边上确定一点E，连结CE，使得S△AEC＝3S△BEC；
（3）在图③中的AB边上确定一点M，AC边上确定一点N，连结MN，使得S四边形MNCB＝3S△AMN．
【解答】解：（1）如图①，点D即为所求．
（2）如图②，点E即为所求．
（3）如图③，点M，N即为所求．
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝12，BD＝5时，则CF的长为 ．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝DC，
∵点E为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥BF，
∵BD∥EF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝12，BD＝5，
∴AB＝BC＝＝13，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝，
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴BF＝DE＝，
∴CF＝BC+BF＝．
故答案为：．
20．（7分）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有300名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ 20 ，a＝ 4 ；
（2）八年级测试成绩的中位数是 86.5 ；
（3）若测试成绩不低于85分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
【解答】解：（1）由题意得：n＝7÷35%＝20（人），
故2a＝20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8，
解得a＝4，
故答案为：20，4；
（2）把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，
故中位数为＝86.5，
故答案为：86.5；
（3）300×+300×（1﹣5%﹣5%﹣20%）
＝120+210
＝330（人），
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有330人．
21．（8分）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的函数图象如图所示．
（1）父亲的速度为 米/秒，儿子的速度为 2 米/秒；
（2）当200≤t≤300时，求儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式；
（3）若不计转向时间，按照这一速度练习10分钟，父子迎面相遇的次数为 8 ．
【解答】解：（1）由图形可知，父亲的速度为＝（米/秒），
儿子的速度为＝2（米/秒）．
故答案为：，2；
（2）当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y＝kt+b，
把（200，200）和（300，0）代入解析式得：，
解得，
∴当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y＝﹣2t+600；
（3）∵父亲的速度为米/秒，儿子的速度为2米/秒，
∴10分钟父子所走路程和为10×60×（+2）＝3200（米），
父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为600×2+200＝1400（米），
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝3200，
解得n＝8.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为8，
故答案为：8．
22．（9分）【感知】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H．
证明：△ADE≌△CDF．
【探究】证明：点A、C、G、D均在以AC为直径的圆上．
【拓展】在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为 ．
【解答】【感知】：证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
【探究】
证明：∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，且均在以AC为直径的圆上；
【拓展】
∵A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，AB＝AC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC＝，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为＝π．
故答案为：．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段BP的中点．点D与点C在PQ的同侧，且∠DPQ＝90°，∠DQP＝∠C．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）线段PQ的长为 2﹣2t （用含t的代数式表示）；
（2）当点D落在AC边上时，求PD的长；
（3）当△DPQ与△ABC重叠部分是轴对称图形时，求t的值；
（4）当点D到△ABC任意两边距离相等时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）由题意知，AP＝4t，
∴BP＝4﹣4t，
∵点Q为BP的中点，
∴PQ＝BP＝2﹣2t，
故答案为：2﹣2t；
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴sinC＝，
∴AC＝5，
由勾股定理得，BC＝3，
∵∠DQP＝∠C，
∴tan∠DQP＝∠tanC，
∴，
∴DP＝＝，
∴PD＝AP•tanA＝4t×＝3t，
∴3t＝，
解得t＝，
∴PD＝；
（3）设QD与AC交于点E，
当△DPQ与△ABC重叠部分是轴对称图形时，则∠QEA＝90°，QE＝PQ＝2﹣2t，
∴sinA＝，
∴，
解得t＝；
（4）当点D到AB与BC距离相等时，则DP＝PB，
∴＝4﹣4t，
解得t＝1，
∵0＜t＜1，
∴t＝1舍去，
当点D到BC与AC距离相等时，则DG⊥BC于G，DH⊥AC于H，连接DB、DA、DC，
则四边形BGDP是矩形，
∴DG＝PB＝4﹣4t，
∴S△ABD+S△ACD+S△BCD＝S△ABC，
∴×++＝，
解得t＝，
当点D到AB与AC距离相等时，
同理可得++＝，
解得t＝，
综上：t＝或．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0），顶点为C，与y轴交点为D．点P是抛物线上一个动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点D作DE垂直抛物线的对称轴于点E，求tan∠DCE的值；
（3）设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当2≤d≤4时，求m的取值范围；
（4）已知平面内一点Q的坐标为（m+1，﹣m），点M的坐标为（m，﹣m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）设：抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（2，1），D（0，﹣3），
抛物线的对称轴为x＝2，
则DE＝2，CE＝1+3＝4，
则tan∠DCE＝；
（3）点P（m，﹣m2+4m﹣3），
①当m≤1时，
抛物线在点A处取得最大值，在点P处取得最小值，
即d＝0﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣4m+3，
即2≤m2﹣4m+3≤4，
解得：2﹣≤m≤2﹣（不合题意的值已舍去）；
②当1＜m＜3时，
同理可得：d＝﹣m2+4m﹣3，
则2≤﹣m2+4m﹣3≤4，
解得：表达式无解；
③m≥3时，
则抛物线在顶点时取得最大值，在点P处取得最小值，
则2≤1+m2﹣4m+3≤4，
解得：2≤m≤4（不合题意的值已舍去）；
综上，2﹣≤m≤2﹣或2≤m≤4；
（4）当点P、M重合时，则﹣m2+4m﹣3＝﹣m，解得：m＝，
①当点M在点P的下方时，即＜m＜，
由题意得，PN＝1，
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则m＝1.5，这之前矩形内没有函数y的图象；
当m＞1.5时，形区域内的函数y随x的增大而减小（如图），
即＜m＜；
②当点M在点P的上方时，即m或m，
当点Q在对称轴左侧时，即m+1＜2，此时矩形内的抛物线y最x的增大而增大，
当点P离开顶点时，即m＞2，此时矩形内的抛物线y最x的增大而减小，
即m＜或m＞；
综上，m＜或＜m＜．
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