高教版（中职）基础模块上册附录2 教材使用的部分数学符号综合训练题

专题06 函数的概念及其表示

【考点梳理】

考点一：

1．函数的概念

一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

例1.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（       ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【解析】由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义，故选：C．

变式1.如图，可以表示函数的图象的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求，故选：D．

变式2.设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有（      ）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】由函数的定义知，①不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]；

②不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]；

③不能表示集合到的函数关系，因为对于一个x，可能有两个y值与之对应；

④能表示集合到的函数关系.

故满足题意的有④，共1个，故选：A.

考点二：

2．构成函数的三要素

(1)函数的三要素是：定义域，对应关系，值域.

(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．

例1.函数的定义域为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】要是函数有意义，必须，解之得，则函数的定义域为

故选：D．

变式1.函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，解得且，故选：D．

例2.已知函数的定义域为[1，3]，则函数的定义域为          ．

【答案】

【解析】因为函数的定义域为[1，3]，所以，得，所以函数的定义域为，故答案为：．

变式2.若函数的定义域为，则函数的定义域为         .

【答案】

【解析】因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满足，解得，故答案为：．

例3.下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【解析】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；

B中，，B正确；

C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；

D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误.

故选：B．

变式3.以下各组函数中，表示同一函数的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数；

对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；

对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；

对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.

故选：C．

例4.已知函数f (x)，，则函数的值域是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,对称轴,当,又因为，所以函数的值域为，故选:D．

变式4.的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】开口向上，且对称轴为，所以有最小值，即，所以值域为，故选：B.

考点三：

3．函数的表示方法

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法．

(2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系的方法．

(3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法．

例1.已知函数，那么的表达式是          .

【答案】

【解析】，令，则，故，故，，故答案为：．

变式1.已知，求的解析式．

【答案】

【解析】解：设，则，所以，所以的解析式为．

例2.已知，则的解析式为           .

【答案】

【解析】因为，（1） 所以，

所以，（2）  （2）-（1）可得，，故答案为：．

变式2.已知，则           ．

【答案】

【解析】由①，将用代替得②，

2×①-①得，，故答案为：.

考点四：

4．分段函数

若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．

例1.已知函数，则（       ）

A．5 B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，故选：A．

变式1.已知函数则           .

【答案】

【解析】因为，所以，，所以，故答案为：.

例2.已知函数，求使得的自变量的取值范围．

【答案】

【解析】解：当时，，解得或（舍），所以，

当时，，解得，所以，

综上：自变量的取值范围为.

变式2.已知函数，求不等式的解集.

【答案】

【解析】解：或，解得或，所以，所以不等式的解集是，故得解.

考点五：

5．复合函数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．

例1.已知函数，则           .

【答案】

【解析】因为，所以，所以.

故答案为：．

变式1.已知 求的值．

【答案】0

【解析】解：，，．

例2.已知，，求.

【答案】

【解析】解：由，解得，所以，.

变式2.已知函数

（1）求；  （2）若，求实数的值．

【答案】（1）1 （2）0或2

【解析】解：（1），.

（2）当时，，当时，，实数的值为0或2.