高中数学4.4.2 对数函数应用举例达标测试

专题09 对数及对数函数

【考点梳理】

考点一：

1．对数

(1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)两类重要的对数

①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN；

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN．

注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1.

(3)对数与指数之间的关系   当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN.

(4)对数运算的性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(MN)＝logaM＋logaN；     ②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM；

(5)换底公式及对数恒等式  ①对数恒等式：＝N；

②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝.

例1. （       ）

A．4           B．           C．          D．

【答案】B

【解析】令，则，∴，故选：B.

变式1.已知，则a的值为（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【解析】∵，，∴，解得，故选：D.

例2.在中，实数a的取值范围是

A．     B． C． D．

【答案】C

【解析】由对数的定义知，解得 或 ，故选C．

变式2.使有意义的实数a的取值范围是（       ）

A．          B．        C．       D．

【答案】C

【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是，故选：C.

例3.求值：（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故选：C．

变式3.下列各等式正确的为（       ）

A．         B．

C．           D．（，，）

【答案】D

【解析】A：，错误；B：，错误；

C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；D：且，，，正确，故选：D．

例4.已知，那么=（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】因为，所以，则x=2，故选：B.

变式4.已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，∴，∴，故选C．

例5.已知函数则（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】由已知，故选：D.

变式5.已知函数，则           .

【答案】1

【解析】，，故答案为：.

例6.若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得，，故选：C．

变式6.若，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故选：C．

考点一：

2．对数函数的图象及性质

例1. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（       ）

A．       B．        C．    D．

【答案】B

【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足，故选：B.

变式1.在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（       ）

A．        B．        C．      D．

【答案】C

【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，故选：．

例2.函数 为对数函数，则等于（      ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以，故选B．

变式2.已知函数(且)，若，则实数＝           .

【答案】3

【解析】∵(且)，，∴，故答案为：3．

例3.函数（且）恒过定点（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当，即时，，所以定点为，故选：C．

变式3.函数（且）恒过定点，则b＝           .

【答案】2

【解析】由题意知：恒成立，解得，故答案为：2.

例4.已知实数，，，则（       ）

A． B．  C． D．

【答案】A

【解析】因为，，，所以，故选：A．

变式4.设，，，则（       ）

A．        B．          C．          D．

【答案】D

【解析】由以及，可得，故选：D.

例5.函数，则的最大值为（       ） 

A．4 B．8 C．－4 D．－8

【答案】A

【解析】可知在单调递减，，故选：A.

变式5.函数在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【解析】因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数，因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，所以，解得，故选：C．

例6.函数的定义域为            .

【答案】

【解析】由题意可知：，故答案为：.

变式6.函数的定义域是            .

【答案】

【解析】由题意得：，解得：，故答案为：．