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初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理习题
3.1 勾股定理 知识清单1.勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理；2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误。2勾股定理的验证在《九章算术》一书中(约在公元50至100年间) ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦图”），用数形结合得到方法证明勾股定理。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想2．（2022·陕西安康·八年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（ ）A．24 B．18 C．12 D．93．（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为（ ）A． B． C． D．以上都不对4．（2022·河北邢台·八年级期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行5．（2022·福建·武平县实验中学八年级期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则的值为（ ）．A．37 B．47 C．68 D．796．（2022·陕西·西安电子科技大学附中八年级阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．A． B． C． D．7.（2022•青羊区八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（ ）A．3 B．10 C．12 D．158．（2022·福建·长汀县第四中学八年级阶段练习）如图，已知长方体的长，宽，高分别为3cm，4cm，12cm，在其中放入一根细棒，则细棒的最大长度可以是_______cm．9．（2022·广东·八年级期末）如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______．10．（2022·山东·惠民县石庙镇第一中学八年级期中）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图①所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图②所示，其中，，，求该岛的周长和面积．（结果保留整数，参考数据：，，）11．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在中，，，交边于点，．求边的长．12.（2022·河南平舆初二期中）如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.(1)在图(3)处画出拼成的这个图形的示意图；(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.培优第二阶——拓展培优练1．（2022·安徽·潜山市八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处2．（2022·河北·石家庄八年级期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（ ）A． B．6 C．5 D．3．（2022·湖北·随州市八年级期末）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（ ）A． B． C． D．4．（2022·福建福州·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·陕西咸阳·八年级期中）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接、与相交于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③是的垂直平分线；④．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.（2022•新吴区八年级期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）A．21 B．15 C．6 D．21或97．（2022·山东潍坊·八年级期末）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角三角形的两直角边，则下列结论不正确的是（ ）A． B． C． D．8.（2022·贵州遵义·八年级期末）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）9．（2022·湖北·恩施市八年级阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．10．（2022·山西运城八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CEAB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为____．11．（2022·安徽·蚌埠第一实验学校八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若，，求BN的长．12．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）如图1，在中，，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且．(1)如果，连接CD．①求证：；②求证：；(2)如图2，如果，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·广西玉林·中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )A．4 B． C．2 D．02．（2022·黑龙江·中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）A．2.5 B．2 C．3.5 D．33．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）A． B． C． D．4．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．6．（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，BC＝8，将Rt△ABC沿射线AB的方向平移5个单位后，得到Rt△A1B1C1，连接BC1，则△A1BC1的周长为_______7．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．8．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE，则线段 CE 的长等于_____9．（2022·河北初三期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？10．（2022·河北邢台·九年级月考）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a
3.1 勾股定理 知识清单1.勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理；2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误。2勾股定理的验证在《九章算术》一书中(约在公元50至100年间) ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦图”），用数形结合得到方法证明勾股定理。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想2．（2022·陕西安康·八年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（ ）A．24 B．18 C．12 D．93．（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为（ ）A． B． C． D．以上都不对4．（2022·河北邢台·八年级期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行5．（2022·福建·武平县实验中学八年级期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则的值为（ ）．A．37 B．47 C．68 D．796．（2022·陕西·西安电子科技大学附中八年级阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．A． B． C． D．7.（2022•青羊区八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（ ）A．3 B．10 C．12 D．158．（2022·福建·长汀县第四中学八年级阶段练习）如图，已知长方体的长，宽，高分别为3cm，4cm，12cm，在其中放入一根细棒，则细棒的最大长度可以是_______cm．9．（2022·广东·八年级期末）如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______．10．（2022·山东·惠民县石庙镇第一中学八年级期中）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图①所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图②所示，其中，，，求该岛的周长和面积．（结果保留整数，参考数据：，，）11．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在中，，，交边于点，．求边的长．12.（2022·河南平舆初二期中）如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.(1)在图(3)处画出拼成的这个图形的示意图；(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.培优第二阶——拓展培优练1．（2022·安徽·潜山市八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处2．（2022·河北·石家庄八年级期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（ ）A． B．6 C．5 D．3．（2022·湖北·随州市八年级期末）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（ ）A． B． C． D．4．（2022·福建福州·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·陕西咸阳·八年级期中）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接、与相交于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③是的垂直平分线；④．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.（2022•新吴区八年级期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）A．21 B．15 C．6 D．21或97．（2022·山东潍坊·八年级期末）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角三角形的两直角边，则下列结论不正确的是（ ）A． B． C． D．8.（2022·贵州遵义·八年级期末）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）9．（2022·湖北·恩施市八年级阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．10．（2022·山西运城八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CEAB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为____．11．（2022·安徽·蚌埠第一实验学校八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若，，求BN的长．12．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）如图1，在中，，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且．(1)如果，连接CD．①求证：；②求证：；(2)如图2，如果，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·广西玉林·中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )A．4 B． C．2 D．02．（2022·黑龙江·中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）A．2.5 B．2 C．3.5 D．33．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）A． B． C． D．4．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．6．（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，BC＝8，将Rt△ABC沿射线AB的方向平移5个单位后，得到Rt△A1B1C1，连接BC1，则△A1BC1的周长为_______7．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．8．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE，则线段 CE 的长等于_____9．（2022·河北初三期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？10．（2022·河北邢台·九年级月考）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a
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