【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一1.2.1 直线的点斜式方程【讲义+习题】

1.2.1　直线的点斜式方程学习目标　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗？一、直线的点斜式方程问题1　给定一个点P1(x1，y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x，y)满足的关系表达出来？提示　k＝eq \f(y－y1,x－x1).知识梳理我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.例1　写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．解　(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.所以直线的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外．跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角的2倍；(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解　(1)∵直线y＝eq \f(\r(3),3)x的斜率为eq \f(\r(3),3)，∴直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为eq \r(3).∴所求直线方程为y＋3＝eq \r(3)(x－2)，即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－3＝0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率kPQ＝eq \f(－4－3,5－－2)＝eq \f(－7,7)＝－1.∵直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.二、直线的斜截式方程问题2　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．提示　y＝kx＋b.知识梳理1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．2．把方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)．解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3.(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，由斜截式可得方程为y＝eq \r(3)x＋5.(3)斜率为k＝eq \f(3＋2,－2＋1)＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式为y＝－5x－7.反思感悟　求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．跟踪训练2　(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．解　(1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2.(2)由于直线的斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化成斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4.(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．三、点斜式直线方程的应用例3　(1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)A．(1,3) B．(－1，－3)C．(3,1) D．(－3，－1)答案　C解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．(2)直线y＝eq \f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析　令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k.所以eq \f(1,2)|k|·|－2k|≥1，即k2≥1.所以k≤－1或k≥1.反思感悟　(1)注意对参数的分类讨论，在同一坐标系中作两条曲线，确定一条，判断另一条．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．跟踪训练3　(1)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　)A．a>1 B．00，b>0 B．k>0，b