【培优分级练】人教版数学八年级上册 15.3《分式方程》培优三阶练（含解析）

15.3 分式方程

知识点01  分式方程的定义

分母中含未知数的方程叫做分式方程．

【归纳】

（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．

（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．

（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．

知识点02  分式方程的解法

1、解分式方程的基本思想

把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．

2、解分式方程的一般方法和步骤

①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；

②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；

③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．

简称为一化，二解，三检验．

3、解分式方程产生不适合原方程解的原因

在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．

知识点03  分式方程的应用

分式方程的应用基本思路和方法：

一审：审清题意，弄清已知量和未知量；

二找：找出等量关系；

三设：设未知数；

四列：列出分式方程；

五解：解这个方程；

六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；

七答：写出答案．

在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．

培优第一阶——基础过关练

1．方程的解为（　　）

A．x=-1 B．x=5 C．x=7 D．x=9

【答案】B

【详解】解：去分母得：2x=x+5，

解得：x=5，

检验：把x=5代入得：x+5≠0，

∴分式方程的解为x=5．

故选：B．

2．解分式方程时，去分母得（　　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：去分母，得，

故选：B．

3．为贯彻国务院印发的《扎实稳住经济的一揽子政策措施》，某大型5G产品生产厂家更新了技术，现在平均每天比更新技术前多生产40万件产品，现在生产600万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：由题意得：现在每天生产万件产品，

则可列方程为，

故选：C．

4．下面的歌诀是我国明代数学家程大位所著的《直指算法统宗》中的一个问题，大意是：1斤油要和4斤的面，现在9斤6两5钱的面中加了2斤12两的油，问还要再加多少面？如果设再加面x两，那么可列的方程是（　　）（注：旧制1斤＝16两，1两＝10钱）

西江月

白面秤来四斤，使油一斤相和．今来有面九斤多．六两五钱不错．

已用香油和合，二斤十二无讹．再添多少面来和？不会应须问我．

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

【答案】D

【详解】解：设再加面x两，

根据题意得＝，

故选：D．

5．若关于x的方程＋＝3的解是非负数，则m的取值范围为(　　)

A．m≤-7且m≠-3 B．m≥-7且m≠-3

C．m≤-7 D． m≥-7

【答案】B

【详解】解：分式方程去分母得：2x+m-x+1=3x-6，

解得：x=(m+7)，

由分式方程的解是非负数，得到(m+7)≥0，且(m+7)≠2，

解得：m≥-7且m≠-3，故B正确．

故选：B．

6．方程的解为________．

【答案】

【详解】方程两边同乘，得，

解这个整式方程，得，

经检验，是原分式方程的解．

故答案为：．

7．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位．设小红骑自行车的速度为每小时千米，依题意，可列方程为______

【答案】

【详解】解：设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米，

根据题意得：，

故答案是：．

8．解方程：

(1)

(2)．

【答案】(1)x＝5

(2)原方程无解

【详解】（1）解：

方程两边同乘（x－3）（x－2），得2（x－2）＝3（x－3）．

解这个一元一次方程，得x＝5．

检验：当x＝5时，（x－3）（x－2）＝6≠0，

∴x＝5是原方程的解．

（2）解：

方程两边同乘（x－2），得1－x＝－1－2（x－2）．

解这个一元一次方程，得x＝2．

检验：当x＝2时，x－2＝0，x＝2是增根，

∴原方程无解．

9．“带动三亿人参与冰雪运动”是北京携手张家口申办2022年冬奥会时，中国向国际社会许下的郑重承诺．为此某俱乐部开设了滑雪营，准备购买一批运动器材，已知甲类器材比乙类器材单价低120元，用20000元购买甲类器材与用30000元购买乙类器材的数量相同，求甲类器材的单价为多少元？

【答案】甲器材单价为240元

【详解】设甲类器材的单价为x元，则乙类器材的单价为(x + 120)元，

由题意得：

解得：x= 240，

经检验，x = 240是原分式方程的解，且符合题意，

答：甲类的单价为240元．

10．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？

【答案】A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料

【详解】解：设B种机器人每小时搬运xkg原料，A种机器人每小时搬运（x＋30）kg原料．

根据题意，得﹒

解这个方程，得x＝60．

经检验，x＝60是方程的解，且符合题意．

x＋30＝90．

答：A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料．

培优第二阶——拓展培优练

1．若分式方程有增根，则a的值是（　　）

A．1 B．0 C．﹣1 D．3

【答案】D

【详解】去分母得：

由分式方程有增根，得到，即

把代入得：1+6-6=a-2

解得：a=3

故选：D

2．小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（    ）

A．可得，再用代入消元法解

B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组

C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解

D．经检验：是方程组的一组解

【答案】B

【详解】解：，

A．②①，得，

整理得：，再用代入消元法解，故本选项不符合题意；

B．令，，则原方程组化为：

，

不能得出关于、的二元一次方程组，故本选项符合题意；

C．由①得，

把代入②得：

，得出一个关于的分式方程，即可求解，故本选项不符合题意；

D．把代入①，得

左边，右边，左边右边，

把代入②，得

左边，右边，左边右边，

所以是方程组的解，故本选项不符合题意；

故选：B．

3．我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：实际每天接种人数是原计划的倍，且原计划每天接种万人，

实际每天接种万人，

又结果提前天完成了这项工作，

．

故选：．

4．某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天可生产54个螺栓或24个螺母，若分配人生产螺栓，剩余的工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓与螺母配套．下列方程不正确的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：由题意得：有人生产螺母，

则可列方程为或或，

故选：B．

5．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：

如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（　　）小时．

A．20 B．21 C．19 D．19

【答案】D

【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则乙单独完成任务需要小时，

由题意得：，

解得：，

经检验是原方程的根，且符合题意，

丙的工作效率是乙的工作效率的，

丙的工作效率是，

一轮的工作量为：，

轮后剩余的工作量为：，

还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，

乙还需要工作（小时），

（小时）．

故共需小时．

故选：D．

6．如果分式的值为0，那么x的值为______；若关于x的分式方程有增根，则m的值为______．

【答案】     1     6

【详解】解：∵分式的值为0，

∴，

∴，即；

∵关于x的分式方程有增根，

∴x=3．

原分式方程两边同时乘以x-3，得：，

整理，得：，

将x=3代入，得：．

故答案为：1，6．

7．某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出盒，第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，设每盒茶叶的进价为元，则可列方程为______．

【答案】

【详解】解：设每盒茶叶的进价为元．根据题意得

．

故答案为：．

8．解方程

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)原方程无解

【详解】（1），

方程两边都乘2x﹣1，得x﹣2＝3（2x﹣1），

解得：x＝，

检验：当x＝时，2x﹣1≠0，

所以x＝是原方程的解，

即原方程的解是x＝；

（2），

方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣（x+2）2＝8，

解得：x＝﹣2，

检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，

所以x＝﹣2是增根，

即原方程无解．

9．2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．

(1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；

(2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为75元，且全部售完，求两次的利润总和．

【答案】(1)第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元

(2)两次的总利润为2250元

【详解】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为元，

依题意得：，

解得：，

经检验：是方程的解，且符合题意，

答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．

（2）解：由题意可得（元），

答：两次的总利润为2250元．

10．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍．

(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？

(2)若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？

【答案】(1)甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天

(2)10天

【详解】（1）解：设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，

由题意可得： ，

解得：x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解，

∴x+10＝30（天），

答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；

（2）设甲队再单独施工a天，由题意可得：

，

解得：a＝10，

答：甲队再单独施工10天．

培优第三阶——中考沙场点兵

1．分式方程的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：

2-（x-1）=0

2-x+1=0

-x=-3

x=3

检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．

故答案选C．

2．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为，

则可列方程为，

故选：A．

3．将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】设需要加水，

由题意得，

故选：B．

4．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【答案】C

【详解】方程两边同时乘以，得，

解得，

关于x的分式方程的解是正数，

，且，

即且，

且，

故选：C．

5．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得

，

故选：D．

6．代数式与代数式的值相等，则x＝______．

【答案】7

【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，

∴，

去分母

，

去括号号

，

解得，

检验：当时，，

∴分式方程的解为．

故答案为：7．

7．为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．

【答案】

【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，

∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，

根据题意可得，

故答案为：．

8．解方程：．

【答案】

【详解】解：方程两边同乘，得，

解得，

检验：当时，，

所以，原分式方程的解为．

9．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子

【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：

，

解得：，

经检验是原方程的解，

答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：

，

解得：，

∵m为正整数，

∴m的最大值为87；

答：最多购进87个甲种粽子．

10．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．

①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

【答案】(1)元

(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低

【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元，

答：新能源车的每千米行驶费用为元．

（2）解：①由题意得：，

解得，

经检验，是所列分式方程的解，

则，，

答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；

②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，

由题意得：，

解得，

答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．