【培优分级练】人教版数学八年级上册 11.1.2《三角形的高线、中线、角平分线》培优三阶练（含解析）

11.1.2 三角形的高线、中线、角平分线
课内知识点回顾

知识点01 三角形的高线
1、三角形的高线定义：
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线；

文字叙述
线段AD是△ABC的边BC上的高
AD⊥BC,垂足为D
点D在BC上,且∠ADB=∠ADC=90°
2、三角形高的画法：
过顶点向对边或对边的延长线作垂线段即可.
三角形
作高图形
高线位置
高线（高线延长线）交点O的位置
锐角三角形

三条高线在三角形内部
在三角形内部
直角三角形

有两条高线与直角边重合，有一条高线在三角形内部
在三角形直角顶点
钝角三角形

由两条高线在三角形外部，有一条高线在三角形内部
在三角形外部
【注意】
（1）三角形的高线是线段；
（2）作钝角三角形中钝角所在两边上的高,要先把这两条边延长再作高,如图所示.

（3）直角三角形的两直角边为a和b，斜边为c，则斜边上的高为；
知识点02 三角形的中线
1、三角形的中线定义：
三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线；
2、三角形中线的描述：
图形
文字叙述

线段AD是BC边上的中线
D是BC边的中点
BD=CD=BC
3、三角形的重心
（1）三角形的三条中线交于三角形内部一点,这个点叫做三角形的重心.
（2）三角形具有稳定性.
4、三角形中线的性质：
三角形的一条中线，平分三角形的面积；
如图，AF⊥BC于点F，

所以




知识点03 三角形的角平分线
1、定义：
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
图形
文字叙述

线段AD是△ABC的角平分线

∠1=∠2=∠BAC,且点D在BC上

AD平分∠BAC,交BC于点D
【注意】
三角形的角平分线的特征：
（1）三角形的角平分线把三角形的一个内角分成两个相等的角，一般和三角形角的计算相关联;
（2）任何三角形都有三条角平分线,这三条角平分线相交于一点,这个点在三角形内部.
知识点04 三角形的稳定性
三角形的稳定性
四边形的不稳定性

将3根木条用钉子钉成三角形后，三角形木架的形状不会改变,说明三角形具有稳定性
用4根木条用钉子钉成四边形后,四边形木架的形状会改变,说明四边形具有不稳定性


三角形稳定性的应用
四边形不稳定性的应用



课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．下列四个图形中，线段是中边的高的是（       ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】
解：线段是中边的高的图是选项A．

故选：A．
2．已知，AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（       ）

A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
【答案】D
【解析】
解：∵AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，
∴，
即 cm．
故选D．
3．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（　　）
A．角平分线 B．中线 C．高 D．A、B、C都可以
【答案】B
【解析】
解：三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形，面积相等，
所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．
故选：B．
4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线、则下列各式中错误的是(               )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，无法确定AEBE．
故选：B．
5．如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（　　）

A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【解析】
由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，
还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.
故选A.
6．如图，CM 是的中线，的周长比的周长大，，则 AC 的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM=BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm，
∴BC-AC=3cm，
∵BC=8cm，
∴AC=5cm，
故选：C．
7．如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是(       )

A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大
C．BC边上的高随之增大 D．边AB的长度随之增大
【答案】C
【解析】
解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；
B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；
C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．
D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；
故选C．
8．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为．则等腰三角形的腰长为（       ）
A． B．
C．或 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】
解：设腰长为，
如图，在中，，D为边的中点．
则或，
解得：，，
或2，
①三角形三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形三边是2、2、5，，不符合三角形三边关系定理；

故选：．
9．如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为(　   　)

A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm
【答案】C
【解析】
∵AD是△ABC的中线，∴BD=BC.
∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．
故选C．
10．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【解析】
解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
11．下列叙述正确的是（　　）
①三角形的中线、角平分线都是射线　　
②三角形的三条高线交于一点
③三角形的中线就是经过一边中点的线段　
④三角形的三条角平分线交于一点
⑤三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形．
A．④⑤ B．①②④ C．②④ D．④
【答案】A
【解析】
①三角形的角平分线和中线都是线段，故①错误；
②三角形的三条高线所在的直线交于一点，故②错误；
③三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，过三角形一边的中点的线段不一定是三角形的中线，故③错误；
④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确；
⑤三角形的中线是三角形一顶点和对边中点的连线，根据等底同高的两个三角形面积相等，故⑤正确；
综上所述，正确的结论是④⑤，
故选A．
12．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于

A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】
∵DF是△CDE的中线，
∴S△CDE=2S△DEF，
∵CE是△ACD的中线，
∴S△ACD=2S△CDE=4S△DEF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ACD=8S△DEF，
∵△DEF的面积是2，
∴S△ABC=2×8=16．
故选A
13．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 三角形三边的长为cm、cm、cm;(2) 能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm
【解析】
（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，,
依题意，得，
解得，
∴，
∴三角形三边的长为cm、cm、cm；
（2）若腰长为4cm，则底边长为18-4-4=10cm，
而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形，
若底边长为4cm，则腰长为=7cm，
此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．
培优第二阶——拓展培优练
14．如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（       ）

A．10 B． C． D．7
【答案】A
【解析】
解：△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，
∴S△ABC=AB•CE=AC•BD，
∴AC==10，
故选：A．
15．如图，中，，，，，为直线上一点，连接，则线段的值不可能是（       ）

A．4.8 B．6 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
Rt△ABC中，由等面积法可得：AC×BC=AB×PC，
代入数据：6×8=10×PC，
∴ PC=4.8，
∵C选项中，
∴ 线段的值不可能是4．
故选C．
16．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（　     　）

A．8 B．9 C． D．10
【答案】C
【解析】
∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式可知，S△ABC＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝.故选C.
17．如图，中，点、、分别在三边上，、、交于一点，，，，则（       ）

A． B．
C．40 D．41
【答案】B
【解析】
解：设，，
∵，
∴，
∴，即，整理得①，
∵，
∴，整理得②，
根据①②算出，，
∴．
故选：B．
18．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m，

BD= 2AB，
S△BCD=2S△ABC =2m，
S△ACD= S△BCD + S△ABC =3m，
AC= AF，
S△ADF= S△ACD=3m，
EC=3BC，
S△ECA==3S△ABC =3m，
S△EDC= 3S△BCD =6m，
AC= AF，
S△AEF= S△EAC= 3m，
S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF
=m + 2m +6m+3m+3m+3m
= 18m = 36，
m= 2，
△ABC的面积为2，
故选：A．
19．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（　　）

A．8.5 B．8 C．9.5 D．9
【答案】B
【解析】
解：连接CE．

∵△ABC的面积为30，AE=ED，BD=2DC
∴S△ABD=20，S△ADC=10，S△ABE=S△BDE=10
∴S△EDC=5
∴S△BEC=15
∴S△ABE:S△BEC=2:3
∴△ABE与△BEC边上高之比为2:3
∴S△AEF: S△EFC=2:3
∵S△AEC= S△ADC- S△EDC=5
∴S△AEF=
∴四边形EDCF的面积为S△ADC- S△AEF=8．
故选：B．
20．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________.

【答案】4
【解析】
解：是中线，
同理可得：
，
由中线性质，可得AG=2GD，则
，
∴阴影部分的面积为4；
故答案为：4.
21．一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是______三角形．
【答案】直角
【解析】
解：∵三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故答案为：直角．
22．如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x= _________时，△APE的面积等于．

【答案】或6
【解析】
【详解】
分析：分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可．
详解：①如图1，

当P在AB上时，
∵△APE的面积等于4，
∴x•3=4，
x=；
②当P在BC上时，

∵△APE的面积等于4，
∴S长方形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=4，
∴3×4-（3+4-x）×2-×2×3-×4×（x-4）=4，
x=6；
③当P在CE上时，

∴（4+3+2-x）×3=4，
x=＜3+4，此时不符合；
故答案为或6．
23．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．

【答案】2.4
【解析】
解：∵，，
∴
∵，，，
∴
故答案諀：2.4
24．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为________．
【答案】8cm
【解析】
设腰长为2x，一腰的中线为y，
则（2x+x）-（5+x）=3或（5+x）-（2x+x）=3，
解得：x=4，x=1，
∴2x=8或2，
①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；
故答案为：8cm．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，难度不大，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证．
25．如图，在ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求ABC各边的长．

【答案】AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【解析】
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时，，解得 ,即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，，解得 ，即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．

培优第三阶——中考沙场点兵
1．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，则S5的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图1，连接OC,由、分别将边BC、AC2等份，,所以,即,根据等底同高的两个三角形的面积相等可得
所以，即可求得，所以；
如图2，连接OC,OD1，OE2,由图（1）的方法可得
,
所以
,
同样的方法可求得,以此类推可得.故选D.

2．如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于2，则的面积为_________．（用含正整数的式子表示）

【答案】
【解析】
解：∵，
∴面积是矩形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为，
∵点是的中点，∴
∴，
，
∴，
∵点是的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，
∴，
且，
∴
∴，
同理可以计算出：
，
且，
∴，
∴，
故、、的面积分别为：，
观察规律，其分母分别为2,4,8，符合，分子规律为，
∴的面积为．
故答案为：．
28．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为__.

【答案】
【解析】
解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC．
∴S△ABD=S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5．
∴•AB•ED=•AC•DF，
∴×6×ED=×2.5×DF，
∴．
故答案为：．
4．如图，P是等腰三角形ABC底边 BC上的任一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？

【答案】PE+PF=BH，理由见解析．
【解析】
解：PE+PF=BH．理由如下：
连接AP．

∵AB=AC，
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB×PE+AC×PF=AC×（PE+PF），
∵S△ABC=AC×BH，
∴PE+PF=BH．
5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒.
（1）当t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC=______
（3）当t=______时，△BPC的面积为18.

【答案】(1)6.5；(2)1：4；(3)或.
【解析】
【分析】
（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（2）求出当时，与的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可；
（3）分两种情况：①当P在AC上时；②当P在AB上时．
【详解】
（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时
∵点P在AB中点
∴
∴CA+AP=12+7.5=19.5（cm），
∴3t=19.5，
解得t=6.5．
故当t=6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（2）5×3=15，
AP=15-12=3，
BP=15-3=12，
则S△APC：S△BPC=3：12=1：4；
（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=18，
∴×9×CP=18，
∴CP=4，
∴3t=4，
∴t=；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=18，△ABC面积=，
∴
∴3t=12+15×=22，
解得t=．
故t=或秒时，△BCP的面积为18．
故答案为： 或．