人教版数学八年级上册期中复习逐点清练习 第十九讲《等边三角形的性质与判定》(含答案)
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建议用时:45分钟 总分50分
一 选择题(每小题3分,共18分)
1.如图,将边长为5cm的等边三角形ABC沿边BC向右平移3cm,得到△DEF,则四边形ADFB的周长为( )cm.
A.20 B.21 C.22 D.23
2.如图,l∥m,等边△ABC的顶点A在直线m上,则∠α=( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
3.三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠1+∠2=120°,则∠3的度数为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.如图,已知等边△ABC的周长是12,点P是三角形内的任意一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,则PD+PE+PF的值是( )
A.12 B.8 C.4 D.3
5.已知,在△ABC中,AB=AC,如图,
(1)分别以B,C为圆心,BC长为半径作弧,两弧交于点D;
(2)作射线AD,连接BD,CD.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )
A.∠BAD=∠CAD B.△BCD是等边三角形
C.AD垂直平分BC D.S四边形ABDC=AD•BC
6.如图,△ABC中,∠B=∠C,BD=CD,则下列判断不一定正确的是( )
A.AB=AC B.AD⊥BC
C.∠BAD=∠CAD D.△ABC是等边三角形
二、填空题(每小题3分,共9分)
7.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B= °.
8.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.
9.下列三角形中:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个角都相等的三角形;④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有 ____ (填序号).
三、解答题(7+8+8=23分)
10.如图,在△ABC中,∠B=60°,过点C作CD∥AB,若∠ACD=60°,求证:△ABC是等边三角形.
11.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A,B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动.设运动时间为:t(s),当t=2时,判断△BQP的形状,并说明理由.
12.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△DOC是等边三角形;
(2)当AO=5,BO=4,α=150°时,求CO的长;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
19.等边三角形的性质与判定 参考答案
1、【答案】B
【解析】∵△ABC沿边BC向右平移3cm得到△DEF,
∴DF=AC=5cm,AD=CF=3cm,
∴四边形ADFB的周长=AB+BC+CF+DF+AD,
=5+5+3+5+3,
=21(cm),
故选:B.
2、【答案】B
【解析】∵∠GEB=40°,
∴∠CEF=∠GEB=40°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=∠BAC=60°,
∴∠CFE=180°﹣60°﹣40°=80°.
∵l∥m,
∴∠CFE=∠BAC+∠α,即80°=60°+∠α,解得∠α=20°.
故选:B.
3、【答案】B
【解析】如图,
∵∠3+∠6+60°=180°,∠2+∠4+60°=180°,∠1+∠5+60°=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=540°﹣180°,
∴∠3=180°﹣(∠1+∠2)=60°,
故选:B.
4、【答案】C
【解析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H,
则由PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,可得,
四边形PGBD,EPHC是平行四边形,
∴PG=BD,PE=HC,
又△ABC是等边三角形,
又有PF∥AC,PD∥AB可得△PFG,△PDH是等边三角形,
∴PF=PG=BD,PD=DH,
又△ABC的周长为12,
∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC12=4,
故选:C.
5、【答案】D
【解析】根据作图方法可得BC=BD=CD,
∵BD=CD,
∴点D在BC的垂直平分线上,
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上,
∴AD是BC的垂直平分线,故C结论正确;
∴O为BC中点,
∴AO是△BAC的中线,
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,故A结论正确;
∵BC=BD=CD,
∴△BCD是等边三角形,故B结论正确;
∵四边形ABDC的面积=S△BCD+S△ABCBC•DOBC•AOBC•AD,故D选项错误,
故选:D.
6、【答案】D
【解析】∵∠B=∠C,
∴AB=AC,
∴选项A不符合题意;
∵∠B=∠C,
∴AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∴选项B、选项C不符合题意;
当△ABC中有一个角为60°时,△ABC是等边三角形,
∴选项D符合题意;
故选:D.
7、【答案】30
【解析】∵EF垂直平分BC,
∴BF=CF,
∴∠B=∠BCF,
∵△ACF为等边三角形,
∴∠AFC=60°,
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为:30.
8、【答案】15
【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=∠A=60°,
∵CG=CD,
∴∠GDC=30°,
∵DF=DE,
∴∠E=15°.
故答案为:15.
9、【答案】①②③④
【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形.
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形,
故答案为①②③④.
10、证明:
证法一:∵CD∥AB,
∴∠A=∠ACD=60°,
∵∠B=60°,
在△ABC中,
∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=60°,
∴∠A=∠B=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形;
证法二:∵CD∥AB,
∴∠B+∠BCD=180°.
∵∠B=60°,
∴∠BCD=120°.
∴∠ACB=∠BCD﹣∠ACB=60°
在△ABC中,
∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°
∴∠A=∠B=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
11、解:△BPQ是等边三角形,
当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,
∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4,
∴BQ=BP,
又∵∠B=60°,
∴△BPQ是等边三角形.
12、(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,
∴CO=CD.
∴△COD是等边三角形;
(2)∵△ADC≌△BOC,
∴DA=OB=4,
∵△COD是等边三角形,
∴∠CDO=60°,又∠ADC=∠α=150°,
∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°,
∴△AOD为直角三角形.
又AO=5,AD=4,
∴OD=3,
∴CO=OD=3;
(3)若△AOD是等腰三角形,
所以分三种情况:①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO,
∵∠AOB=110°,∠COD=60°,
∴∠BOC=360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD=190°﹣∠AOD,
而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO,
由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°,
求得α=125°;
由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°∠AOD
求得α=110°;
由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°﹣2∠AOD,
求得α=140°;
综上可知α=125°、α=110°或α=140°.
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