初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试单元测试同步测试题

人教版数学八年级上册第十三章 13.1轴对称 习题检测

一．选择题（共10小题）

1．以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（　　）

A．中国移动 B．中国电信 

C．中国网通 D．中国联通

2．如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD的度数为（　　）

A．120° B．116° C．106° D．96°

3．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（　　）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋

4．如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论正确的有（　　）

①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，若AB＝3，AC＝4，则△ADE的周长为（　　）

A．12 B．6 C．8 D．7

7．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

8．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

10．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

二．填空题（共6小题）

11．小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 　   　．

12．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD．若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长为 　   　．

13．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域 　   　．（填序号）

14．如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为　   　°．

15．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为　   　

16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD＝BD＝BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是　   　．

三．解答题（共5小题）

17．如图，把直角三角形放置在4×4方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑）

18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．

（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；

②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

19．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．

（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？

（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．

（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝　   　度；

（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝　   　度；

（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝　   　度；

（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．

21．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．

（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；

（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．

答案解析

一．选择题（共10小题）

1．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

2．【解答】解：如图，连接BD．

∵△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠ABC＝∠ADC＝30°，

∵∠BAD＝46°，

∴∠ABD+∠ADB＝134°，

∴∠CDB+∠CBD＝134°﹣30°﹣30°＝74°，

∴∠BCD＝180°﹣74°＝106°，

故选：C．

3．【解答】解：如图所示，

，

球最后落入的球袋是2号袋，

故选：B．

4．【解答】解：因为直线PO与AB交于点O，且PA＝PB，

所以P在线段AB的垂直平分线上，

故选：A．

5．【解答】解：连接AD，

∵点E为边AC的中点，DE⊥AC，

∴AD＝CD，

∴∠DAC＝∠C，

∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，

∵∠B＝2∠C，

∴∠B＝∠ADB，

∴AB＝AD＝5，

∴CD＝AD＝5，

∴BD＝BC﹣CD＝8，

故选：D．

6．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，

由勾股定理得：BC＝＝5，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA＝DC，∠CED＝∠BAC＝90°，CE＝AE＝AC＝2，

∴BD＝CD＝BC＝2.5，

∴AD＝2.5，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝AB＝1.5，

∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝2.5+1.5+2＝6（cm），

故选：B．

7．【解答】解：∵点D​是AC​的中点，

∴AC＝2AD＝4，

由题意得：

ED是AC的垂直平分线，

∴EA＝EC，

∵△ABE​的周长为12，

∴AB+BE+AE＝12，

∴AB+BE+EC＝12，

∴AB+BC＝12，

∴△ABC​的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16，

故选：D．

8．【解答】解：∵∠ABC＝80°，

∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°，

∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，

∴MA＝MP，NC＝NP，

∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，

∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°，

∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，

故选：C．

9．【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，

∴AG＝CG，AE＝BE，

∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，

∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，

∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，

故选：B．

10．【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，

∴EB＝EA，GB＝GC，

∵△BEG周长为16，

∴EB+GB+EG＝16，

∴EA+GC+EG＝16，

∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，

∴AC+2EG＝16，

∵EG＝1，

∴AC＝14，

故选：B．

二．填空题（共6小题）

11．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：05．

故答案为：12：05．

12．【解答】解：∵MN垂直平分BC，CE＝4，

∴BE＝CE＝4，BD＝DC，

∵△BDC的周长为18，

∴BD+DC+BC＝18，

∴2BD+BC＝18，

∴2BD+4+4＝18，

∴BD＝5．

故答案为：5．

13．【解答】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，

使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④．

故答案为：④．

14．【解答】解：连接DA、DC，

∵∠BAC＝80°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，

∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，

∴DA＝DB，DA＝DC，

∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，

∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，

∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，

故答案为：10．

15．【解答】解：∵∠B+∠BMN+∠BNM＝180°，

∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°，

∵M在PA的中垂线上，

∴MA＝MP，

∴∠MAP＝∠MPA，

同理，∠NCP＝∠NPC，

∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP，

∴∠MPA+∠NPC＝×130°＝65°，

∴∠APC＝180°﹣65°＝115°，

故答案为：115°．

16．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°，

∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，

∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，

∴BD＝BC；

（1）BD平分∠ABC正确；

（2）AD＝BD＝BC正确；

（3）△BDC的周长＝BC+CD+BD

＝BC+CD+AD

＝BC+AC

＝AB+BC，正确；

（4）AD＝BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．

故正确的命题是（1）（2）（3）．

三．解答题（共5小题）

17．【解答】解：如图1，2，3所示，即为所求；．

18．【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．

（2）∵DF垂直平分线段AB，

∴DB＝DA，

∴∠DAB＝∠B＝30°，

∵∠C＝40°，

∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，

∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE＝∠DAC＝40°．

19．【解答】解：（1）△CDE的周长为10．

∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，

又∵∠ACB＝125°，

∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，

∴∠ACD+∠BCE＝55°，

∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．

20．【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB＝90°，

∴∠NMB＝20°，

故答案为20．

（2）如图2中，∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB＝90°，

∴∠NMB＝35°，

故答案为35．

（3）如图3中，

如图1中，∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB＝90°，

∴∠NMB＝60°，

故答案为60．

（4）结论：∠NMB＝∠A．

理由：如图1中，∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）

∵MN⊥AB，

∴∠MNB＝90°，

∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．

21．【解答】解：（1）∠BPC＝90°+∠BAC

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣∠BAC）

＝90°+∠BAC；

（2）∠BOC＝2∠BAC

如图，连接AO．

∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，

∴OA＝OB＝OC，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，

∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，

∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）

＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），

＝2∠OAB+2∠OAC

＝2∠BAC；

（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°，

∵点P为三角形三个内角平分线的交点，

∴∠BPC＝90°+∠BAC

由∠BAC＝2∠BPC﹣180°

点O为三角形三边垂直平分线的交点

∠BOC＝2∠BAC，

∴∠BOC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，

即4∠BPC﹣∠BOC＝360°