2020-2021学年17.1 等腰三角形多媒体教学课件ppt

这是一份2020-2021学年17.1 等腰三角形多媒体教学课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了ABAC，等腰三角形，AB与AC，BD与CD，AD与AD，∠B与∠C，∠BAD与∠CAD，∠ADB与∠ADC，求证∠BC，还有其他的证法吗等内容，欢迎下载使用。
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
生活中的“等腰三角形”
定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
已知：△ABC中，AB=AC,
思考：如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
方法二：作顶角的平分线
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
【分析】（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠C=∠BDC=∠ABC；
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
【点睛】在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°
【解析】当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
【点睛】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
【点睛】在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）A．40° B．30° C．70° D．50°
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_________；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.
72°,72°或36°,108°
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
【点睛】当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴ ∠C= ∠ B=30°，∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，∴