初中数学北师大版八年级上册第二章 实数综合与测试练习题

专题2.9  《实数》挑战综合（压轴）题分类专题

（专项练习）

【类型一】二次根式的运算➼➻加减运算★✭加减乘除乘方混合运算

【类型①】二次根式的运算➼➻加减运算

1．（2021·广西河池·中考真题）计算：．

2．（2021·福建·中考真题）计算：．

【类型②】二次根式的运算➼➻加减乘除乘方混合运算

3．（2021·青海西宁·中考真题）计算：．

4．（2019·上海·中考真题）计算：

【类型二】二次根式的运算➼➻化简求值

【类型①】二次根式的运算➼➻直接化简求值

5．（2022·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值．

6．（2019·青海·中考真题）先化简，再求值（+m﹣2）÷；其中m＝+1.

【类型②】二次根式的运算➼➻条件式化简求值

7．（2022·广东·模拟预测）小红在作业本上书写了一个多项式运算的正确计算过程，他不小心将一点墨水滴到了本子上，恰好覆盖了算式的一部分，形式如图所示：

(1)    通过计算，求出所覆盖的多项式；

(2)    若x＝＋1，求所覆盖的多项式的值．

8．（2022·江苏盐城·一模）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题：

(1) 求的整数部分和小数部分；

(2) 若m是的小数部分，n是的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．

【类型三】实数➼➻格点问题

9．（2021·吉林长春·一模）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．ABC的顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

（1）在图①中画ABC的中线BD．

（2）在图②中画ABC的高线BE，并直接写出BE的长．（保留确定点E的画图痕迹）

10．（2021·吉林长春·一模）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点P为内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．

（1）在图①中的边上确定一点O，使的长最短．

（2）在②中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结、，使的周长最短，最短周长为_______．

【类型四】实数➼➻比较大小

11．（2022·河南商丘·一模）已知，当时，请比较M与N的大小．

12．（2020·浙江杭州·模拟预测）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）

（1）①________；

②__________；

③_________．

（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．

【类型五】实数➼➻几何图形

【类型①】实数➼➻数轴

13．（2021·河北邯郸·一模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．

(1)请直接写出原点在第几部分；

(2)若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；

(3)若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．

14．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学一模）如图，点是数轴上表示实数的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．

【类型②】实数➼➻图形★✭最值

15．（2022·山东济宁·二模）阅读理解：对于任意正实数a，b，

∵，

∴，

∴，

∴当时，有最小值．

根据上述内容，回答下列问题

(1)若，只有当_______时，有最小值_______；若，只有当_______时，有最小值_________；

(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？

16．（2020·河北唐山·一模）完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，在学习中芳芳同学发现也可以用完全平方公式进行分解因式，；根据以上发现解决问题

（1）写出一个上面相同的式子，并进行分解因式；

（2）若，请用，表示，

（3）如图在中，，，，延长至点，使，求的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）

【类型六】实数➼➻规律问题

17．（2021·安徽黄山·一模）观察下列各式：

①；②；③；④．

根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：

（1）写出第⑤个式子：____________；

（2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明．

18．（2020·河北唐山·二模）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：

；

；

以上这种化简的过程叫做分母有理化．

（1）化简：；

（2）化简：；

（3）化简：．

【类型七】实数➼➻阅读材料

19．（2021·山东青岛·二模）阅读理解题：

通过我们所学的知识，可以对一些复杂的数或特殊的数进行计算或化简

（1）循环小数可以化为分数：

例：将循环小数分为分数形式

解：设①，则②

②﹣①，得9x＝3．即，所以＝

（2）特殊的无穷循环根式可以化简．

例：将无穷根式化简

解：设x＝，①则x2＝2②

②÷①，得x＝2所以＝2

请你根据以上提供的两种方法，解下列问题：

（1）将下列循环小数化为分数形式

①；

②

（2）将下列无穷根式进行化简

①；②．

20．（2021·贵州黔东南·二模）阅读材料：

材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：

材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．

如：

∵，∴，即

∴的最小值为

阅读上述材料解决下面问题：

（1）            ，            ；

（2）求的最值；

（3）已知，求的最值．

【类型八】实数➼➻拓展探究

21．（2021·湖北荆州·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．

解：设﹣＝m，与原方程相乘得：

（＋）×（）＝5m，

x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，

∴﹣＝1，与原方程相加得：

（＋）+（）＝5＋1，

2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．

学习借鉴解法，解方程﹣＝1．

22．（2022·福建省福州第一中学七年级期中）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：

面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5

(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．

参考答案

1．【分析】根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则求解即可得到答案.

解：

【点拨】本题主要考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

2．

【分析】先化简二次根式，绝对值，负整式指数幂，然后计算即可得答案．

解：

．

【点拨】本小题考查二次根式的化简、绝对值的意义、负指数幂等基础知识，熟练掌握运算法则是解题关键．

3．

【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．

解：原式

．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．

4．-3．

【分析】首先进行二次根式的化简、去绝对值符号以及二次根式的乘法，然后再合并同类二次根式即可．

解：

=

=-3．

【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．

5．－4

【分析】先将代数式因式分解，再代入求值．

解：

故代数式的值为．

【点拨】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．

6．,原式＝.

【分析】先把括号里通分化简，再把除法转化为乘法约分化简，然后把m＝+1代入化简的结果中计算即可.

解：原式＝（）÷

＝

＝，

当m＝+1时，

原式＝＝．

【点拨】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

7．(1)x2﹣2x+1(2)6

【分析】（1）根据题意可得到所覆盖的多项式为计算即可；

（2）根据完全平方公式计算即可；

解：(1)由题意得：

，

∴所覆盖的多项式为：x2﹣2x+1；

(2)当时，

x2﹣2x+1＝（x﹣1）2

＝

＝

＝6，

∴所覆盖的多项式的值为6．

【点拨】本题主要考查了整式加减，二次根式化简，完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键．

8．(1)3；(2)x＝0或x＝﹣2

【分析】（1）用夹逼法根据无理数的估算即可得出答案；

（2）根据无理数的估算求出m，n的值，根据平方根的定义即可得出答案．

(1)解：∵，即，

∴的整数部分为3，小数部分为；

(2)解：∵m是的小数部分，n是的小数部分，，

∴m＝，n＝，

∴，

∴，

解得：x＝0或x＝﹣2．

【点拨】本题考查了无理数的估算、平方根，明确无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．

9．（1）见分析；（2）见分析，

【分析】（1）AC与网格线的交点为D，线段BD即为所求作．

（2）取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求作，利用面积法求出BE即可．

解：（1）如图，线段BD即为所求作．

（2）如图，线段BE即为所求作．

由题意可得：，

∴，解得BE=．

【点拨】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

10．（1）见分析；（2）．

【分析】（1）如图，连接PE与AC交于点Q，由网格性质易得PE⊥AC，则PQ最短；

（2）如图，分别连接PF，PG，由网格性质易得P、F关于AB对称，P、G关于BC对称，连接这两个对称点，与AB、BC的交点即为所求的点M、点N，然后根据勾股定理即可求得此时的周长．

解：（1）∵AC为1×2的矩形对角线，

∴以点P为顶点作2×1的矩形，便可找到格点E，连接PE，交AC于点Q，

∴如图所示，点Q即为所求．

（2）如图，分别连接PF，PG，由网格性质易得P、F关于AB对称，连接FG，交AB、BC于点M、N，连接PM、PN，

∵点P、点F关于AB对称，点M在AB上，

∴PM＝FM，

同理可得：PN＝GN，

∴的周长＝PM＋MN＋PN＝FM＋MN＋GN＝FG，

∵两点之间线段最短，

∴此时的周长是最短的，

∵在Rt中，，

∴的周长最小值为，

故答案为：．

【点拨】本题考查了格点正方形中的作图以及轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．

11．

【分析】先计算出，再把代入，求得，最后求出可得结果．

解：∵，

∴

=

=，

当时，，

∵，

∴，

∴，

∴，

即．

【点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则及作差法是解本题的关键．

12．（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．

【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；

（2）根据题意找到规律，并用式子表示．

解：（1），，

∴＞，

，，

∴＞，

，，

∴=，

故答案为：＞，＞，=；

（2）由题意可得：

设两个实数a、b，则．

通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．

【点拨】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．

13．(1)第③部分(2)﹣3(3)6或﹣3或

【分析】（1））因为bc＜0，所以b，c异号，所以原点在第③部分；

（2）求出AB的值，然后根据点A在点B左边2个单位求出a的值；

（3）由于不知道点D的位置，所以分三种情况分别计算即可．

(1)解：∵bc＜0，

∴b，c异号，

∴原点在第③部分；

(2)∵AC＝5，BC＝3，

∴AB＝AC﹣BC＝5﹣3＝2，

∵b＝﹣1，

∴a＝﹣1﹣2＝﹣3；

(3)当点C是OD的中点时，OD＝2OC＝2×3＝6，此时d＝6；

当O是CD的中点时，OD＝OC＝3，此时d＝﹣3；

当D是OC的中点时，OD＝OC＝×3＝，此时d＝．

∴d＝6或﹣3或．

【点拨】本题考查数轴上两点之间的距离问题，两点之间的距离为右边的点表示的数减去左边的点表示的数．

14．（1）见分析；（2），见分析【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．

（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．

解：（1）如图所示，点即为所求．

（2）如图所示，点在点的右侧，所以

【点拨】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．

15．(1)1，2，2，8

(2)每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为米

【分析】（1）根据（均为正实数），分别对和进行化简，求最小值即可；

（2）设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，根据题意得出，然后根据题干提供的方法求的最大值即可．

(1)解：∵，

又∵

∴，

∴当，即时，有最小值，最小值为；

∵，

又∵，

∴，

∴当，即时，有最小值，最小值为8．

故答案为：1，2，2，8．

(2)解：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，

依题意得：，

即，

∴，

即，

∴，

即，

当时， ，

此时，，

即每间隔离房长为 米，宽为米时，S的最大值为米 ．

【点拨】本题考查了完全平方式和二次根式的运用，解题的关键是能灵活运用题中的结论，求出最小值．

16．（1）；（2），；（3）

【分析】（1）利用计算得到的结果，反过来可得到答案，

（2）计算，观察结果利用无理数与有理数的对应关系可得答案，

（3）先利用勾股定理得到：，利用完全平方式的特点求的算术平方根即可．

解：（1）

（2），

所以，

（3）由勾股定理得，

，

，又，

所以，．

；

所以，

所以，

因为为三角形的一边，

所以不合题意舍去，

所以

【点拨】本题考查的是利用完全平方式的特点对二次根式进行变形，勾股定理的应用，掌握公式特点，有理数与无理数的对应关系是解题的关键．

17．（1）；（2），见分析

【分析】（1）从两个角度去思考：一是序号与右边根式前面的整数的关系，二是这个整数与分数的分母之间的关系，确定好规律好，问题自然得解；

（2）利用特殊与一般的关系推广即可

解：（1）∵右边根式前面的整数等于序号+1，分数的分母等于这个整数的平方减去1，

∴第⑤个式子：，

故答案为：；

（2）第个式子：.

证明如下：

=

=

=.

【点拨】本题考查了二次根式背景下的规律探索问题，准确找出序号与右边根式前面的整数的关系，这个整数与分数的分母之间的关系是解题的关键．

18．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）二次根式的乘法，将二次根式分母化简后进行二次根式分母有理化的计算；

（2）将二次根式分母有理化进行计算；

（3）利用平方差公式的结构特点对二次根式的进行分母有理化的计算，然后探索规律求解．

解：（1）

（2）

（3）

=

=

．

【点拨】本题考查二次根式的分母有理化的计算，掌握利用平方差公式的结构进行分母有理化的计算方法，正确计算是解题关键．

19．（1）①；②＝；（2）①＝3；②

【分析】（1）①设，则，根据题意求解即可得到答案；

②设，则，根据题意求解即可得到答案；

（2）①设，则根据题意求解即可得到答案；

②设，则根据题意求解即可得到答案.

解：（1）①设，则，

∴，

∴，

∴

∴；

②设，则，

∴，

∴，

∴

∴；

（2）①设，则

∴，

∴，

∴；

②设，则，

∴，

∴，

∴，

∴.

【点拨】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够准确读懂题意，举一反三进行求解.

20．（1）；（2）-；（3）-4.

【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；

（2）利用完全平方公式配方即可求解；

（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.

解：（1），；

故答案为：；

（2）∵==≥-1

∴的最小值为-；

（3）∵=

∴

=

=

=≤-4

故的最大值为-4.

【点拨】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用.

21．x＝7

【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．

解：设+＝m，与原方程相乘得：

（﹣）×（+）＝m，

x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，

∴+＝3，与原方程相加得：

（﹣）+（+）＝3＋1，

2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根．

【点拨】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题．

22．(1)2.65(2)2.646(3)

【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；

（2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；

（3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案．

(1)解：∵，

∴＞2.6，设＝2.6＋r，

如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，

∴，

∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7，

∴r≈0.05，即≈2.65；

(2)∵，

∴＞2.64，设＝2.64＋r，

如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，

∴，

∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7，

∴r≈0.006，即≈2.646；

(3)∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m

∴设，

如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，

∴，

∵r2较小故略去，得，

∴，

∵b＝n2＋m，

∴，

∴．

【点拨】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式．