数学八年级上册第二章 实数综合与测试习题

专题2.8  《实数》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）

一、单选题

1．下列各式中，不正确的是（   ）

A．     B． 

C．     D．

2．化简的结果为（　　）

A． B．30 C． D．30

3．下列计算不正确的是 （       ）

A． B．

C． D．

4．已知a满足＋＝a，则a－2 0182＝(　   　)

A．0 B．1 C．2 018 D．2 019

5．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（       ）.

A．4 B．5 C．6 D．7

6．化简x，正确的是（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

7．与最接近的整数是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．若整数x满足5+≤x≤，则x的值是（   ）

A．8 B．9 C．10 D．11

9． 的立方根是  （    ）

A．2 B．2 C．8 D．-8

10．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（   ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

11．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（       ）

A． B．

C． D．

12．无理数在两个相邻的整数之间的是 ( )

A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3

二、填空题

13．化简___________．

14．若，把化成最简二次根式为________．

15．已知，a是x的整数部分，b是x的小数部分，则a-b=_______

16．把根号外的因式移入根号内，得________

17．已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为_____．

18．化简的结果为____．

19．化简： ___________

20．对于正数x规定，例如：，则f (2020)＋f (2019)＋……＋f (2)＋f (1)＋＝___________

21．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．

22．若是一个完全平方数，则比大的最小完全平方数是______________．

23．归纳并猜想:

(1)的整数部分为____; 

(2)的整数部分为____; 

(3)的整数部分为____; 

(4)猜想:当n为正整数时,的整数部分为____,并把小数部分表示出来为____.

三、解答题

24．计算：

（1）    （2）

25．（1）若实数m、n满足等式，求2m+3n的平方根；

（2）已知，求的值．

26．计算：

27．已知，，求的值．

28．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.

比如：.善于动脑的小明继续探究：

当为正整数时，若，则有，所以，.

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得：       ，      ；

（2）填空：=        -        ；

（3）若，且为正整数，求的值.

参考答案

1．B

解：根据二次根式的性质和立方根的性质，逐一判断为：=3，=-3，故A正确；

=4，=2，故B不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C正确；，可知D正确.

故选B.

2．C

解：先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==，

故选C．

【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.

3．D

解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知，故正确；

根据二次根式的乘法，可知，故正确；

根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得，故正确；

根据二次根式的加减，可知与不是同类二次根式，故不正确.

故选D.

4．D

【分析】

根据二次根式的被开数的非负性，求的a的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．

解：等式＝a成立，则a≥2019，

∴a-2018+=a，

∴=2018，

∴a-2019=20182，

∴a-20182=2019．

故选D．

【点拨】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a的取值范围是解题的关键．

5．C

【分析】

利用分母有理化进行计算即可.

解：由原式得：   

所以，因为，,

所以.

故选C

【点拨】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.

6．C

解：根据二次根式有意义的条件可知﹣＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x =﹣•=﹣.

故选C．

7．B

【分析】

把原式去括号后根据算术平方根的性质求解 ．

解：原式=，

∵49<54<64，

∴，

∵，

∴，

∴最接近7，

∴最接近7-3即4，

故选：B．

【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．

8．C

解：∵4＜＜5，∴9＜5+＜10；，8＜＜9，∴10＜＜11，∴整数x=10．故选C．

【点拨】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．

9．A

解：先根据算术平方根的意义，求得=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2.

故选A.

10．A

解：用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001)

由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求.

因为，

而，

所以选取的数最多是4个.

故本题应选A.

【点拨】本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错.

11．D

【分析】

根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.

解：根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.

【点拨】此题考察平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.

12．D

解：由题意分析可知，本题中主要考查与相邻数字的知识，由题知，，所以，故该无理数在2和3之间，所以选D

考点：无理数大小的比较

【点拨】本题属于对无理数和整数的基本大小以及变换的基本知识的考查

13．+1

【分析】

先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.

解：因为,

所以,

故答案为:.

【点拨】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解.

14．

【分析】

先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.

解：∵

∴

∴

所以答案是：

【点拨】本题考查了二次根式的性质.

15．

【分析】

先把x分母有理化求出x= ，求出a、b的值，再代入求出结果即可．

解：

∵

∴

∴

∴

【点拨】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a、b的值．

16．

【分析】

根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．

解：∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点拨】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．

17．-

【分析】

首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．

解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，

解得，x＝8，则y＝18，

∵x＞0，y＞0，

∴原式＝﹣

＝﹣

＝

＝﹣

把x＝8， y＝18代入

原式＝﹣

＝2﹣3

＝-，

故答案为：-．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．

18．

【分析】

先把化为平方的形式，再根据化简即可求解．

解：原式

．

故答案为：．

【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键．

19．

【分析】

因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0后，进行二次根式的化简即可．

解：要使该二次根式有意义，则有

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．

20．2019.5

【分析】

由已知可求，则可求．

解：，

，

，

，

故答案为：2019.5

【点拨】本题考查代数值求值，根据所给条件，探索出是解题的关键．

21．0或﹣1或﹣

【分析】

将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

解：∵﹣2x﹣1＝0，

∴＝2x+1，

∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，

解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．

故答案为：0或﹣1或﹣．

【点拨】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.

22．

【分析】

由于是一个完全平方数，则．可知比大的最小完全平方数是．

解：是一个完全平方数，

的算术平方根是，

∴比的算术平方根大1的数是，

∴这个完全平方数为：．

故答案为：．

【点拨】本题考查了完全平方数．解此题的关键是能找出与之差最小且比大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：．

23．     l     2     3     n    

解：(1)因为＝，1＜＜2，所以的整数部分为1；

(2)因为＝，2＜＜3，所以的整数部分为2；

(3)因为＝，3＜＜4，所以的整数部分为3；

(4)猜想：当n为正整数时，的整数部分为n，小数部分为：.

24．（1）；（2）

【分析】

（1）分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；

（2）先将变形为，然后利用平方差公式计算求解．

解：（1）

（2）

故答案为（1）；（2）．

【点拨】本题考查的是二次根式的混合运算，积的乘方，平方差公式，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键．

25．（1）；（2）4

【分析】

（1）根据绝对值的非负性和算数平方根的非负性得出m和n的值，代入即可求解；

（2）根据二次根式有意义的范围求解x，进而求得y，最后代入即可求解．

解：（1）∵

∴，

∴

∴16的平方根为；

（2）∵

∴根据使二次根式有意义的条件得

∴x=24，y=-8

∴

∴原式的值为4．

【点拨】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义，关键是掌握使二次根式有意义的条件．

26．（1）；（2）12；（3）；（4）0；（5）2

【分析】

（1）将原式展开，然后进行合并即可求解；

（2）将每项化为最简二次根式，然后约分合并即可求解；

（3）将每项化为最简二次根式，分母有理化，然后进行合并即可求解；

（4）将原式化为最简二次根式，然后根号二次根式加减法法则进行计算即可；

（5）首先将原式每一项化为最简二次根式，然后进行合并计算．

解：（1）原式=

=

（2）原式=

=

=12

（3）原式=

=

=

（4）原式=

=

=

=0

（5）原式=

=

=2

【点拨】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

27．970

【分析】

首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．

解：∵，    ，

∴原式

．

【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．

28．（1），；（2）；（3）或46.

试题分析：（1）把等式右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；

（2）由（1）中结论可得： ，结合都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：；

（3）将右边展开，整理可得：，结合为正整数，即可先求得的值，再求的值即可.

解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）由（1）中结论可得： ，

∵都为正整数，

∴ 或 ，

∵当m=1，n=2时，，而当m=2，n=1时，，

∴m=2，n=1，

∴；

（3）∵，

∴， ，

又∵为正整数，

∴， 或者，

∴当时，；当，，

即的值为：46或14.