初中北师大版第二章 实数综合与测试复习练习题

专题2.8《实数》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）

一、单选题

1．下列各数中的无理数是（       ）

A．0 B． C． D．

2．3的算术平方根是（       ）

A．9 B．-9 C． D．

3．下列计算正确的是（       ）．

A． B． C． D．

4．估算的值在（     ）

A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间

5．下列二次根式中，最简二次根式是（   ）

A． B． C． D．

6．下列二次根式中最简根式是（       ）

A． B． C． D．

7．下列各式中，与是同类二次根式的是（       ）

A． B． C． D．

8．下列运算，结果正确的是（       ）

A． B． C． D．

9．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（   ）

A． B． C． D．

10．如，我们叫集合，其中，，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若二次根式有意义，则的取值范围是______________．

12．的算术平方根为_____，﹣27立方根为_____．

13．化简：__________．

14．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”）

15．若＝0，则（b﹣a）2009＝___．

16．已知，，则_______．

17．如图所示，点B，D在数轴上，，，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是___．

18．已知xy＜0，化简：＝_____．

三、解答题

19．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．

(1)线段AB的长度是       ，线段CD的长度是     ．

(2)若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

20．化简.

(1) ；                 (2)

21．计算：

(1) ；                 (2)

22．如图，点所对应的实数为，已知，请求式子的值．

23．如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．

(1)  求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；

(2)  求阴影部分的面积．

24．阅读下列材料，然后回答问题：

阅读：在进行二次根式的化简与运算时，可以将进一步化简：

方法一:

方法二:

【探究】选择恰当的方法计算下列各式：

（1）；

（2）．

【猜想】＝　   　．

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案．

【详解】

解：选项A： 0是有理数，故本选项不符合题意；

选项B： 是有理数，故本选项不符合题意；

选项C：是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意；

选项D： 是有理数，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点拨】本题考查无理数的概念，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．

2．C

【解析】

【分析】

根据算术平方根的定义，即可求解．

【详解】

解：3的算术平方根是．

故选：C

【点拨】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握一个正数的正的平方根是它的算术平方根是解题的关键．

3．A

【解析】

【分析】

利用算术平方根的性质和立方根的性质依次分析即可．

【详解】

A选项正确；

B选项的计算结果为4，所以错误；

C选项，所以错误；

D选项的计算结果为2，所以错误；

故选：A．

【点拨】本题考查了算术平方根的性质和立方根的性质，解题关键是牢记概念．

4．B

【解析】

【分析】

由，得到，即可解答．

【详解】

解：，

，

，

故选：B．

【点拨】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

5．A

【解析】

【分析】

被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．化简后利用最简二次根式的定义进行判断即可．

【详解】

解：A．是最简二次根式，故选项正确，符合题意；

B．，故选项错误，不符合题意；

C．，故选项错误，不符合题意；

D．，故选项错误，不符合题意．

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式的化简和最简二次根式，掌握二次根式的化简是基础，掌握最简二次根式的定义是关键．

6．B

【解析】

【分析】

根据最简二次根式的概念进行判断分析即可．

【详解】

解：根据最简二次根式的概念，被开方数中不含有开方开得尽的数，不含分数，分母中不含根号．

选项A：，不是最简二次根式，故A错误；

选项B：是最简二次根式，故B正确；

选项C：，仍然有可以开方的数，不是最简二次根式，故C错误；

选项D：的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，故D错误．

综上，只有B正确．

故选：B．

【点拨】本题考查了最简二次根式的概念，明确最简二次根式的概念是解题的关键．本题属于对基础知识的考查，比较简单．

7．B

【解析】

【分析】

先化简二次根式，根据同类二次根式的定义判断即可．

【详解】

解：   

∴与是同类二次根式的是

故选：B．

【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式，掌握定义是解题的关键．

8．D

【解析】

【分析】

分别根据二次根式的加减乘除运算法则计算出各选项结果，再进行判断即可．

【详解】

解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意；

B. 4与不是同类二次根式，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；

C. ，故选项C计算错误，不符合题意；

D. ，故选项D计算正确，符合题意；

故选：D

【点拨】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

9．A

【解析】

【分析】

由题意易得，则有，设边上的高为，进而问题可求解．

【详解】

解：由题意，得：，，；

；

；

设边上的高为，则，

，

故选：．

【点拨】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．

10．B

【解析】

【分析】

根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．

【详解】

解：∵A＝B，x≠0，≠0，

∴＝0，＝2，|x|＝x或＝0，＝x，|x|＝2（无解），

∴y＝0，x＝，

∴x−y＝−0＝，

故选：B．

【点拨】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出x，y的值．

11．

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件即可求解．

【详解】

解：由题意得：

，解得，

故答案为：．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意列出不等式并求解不等式是解题的关键．

12．     2；     ﹣3

【解析】

【分析】

根据算术平方根与立方根的性质即可求出答案．

【详解】

解：∵＝4，4的算术平方根为2，

∴的算术平方根为2；

∵，

∴﹣27立方根为﹣3，

故答案为：2；﹣3

【点拨】本题考查算术平方根与立方根的性质，属于基础题型．

13．

【解析】

【分析】

根据算术平方根的性质，即可求解．

【详解】

解：

故答案为：

【点拨】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．

14．>

【解析】

【分析】

先利用平方法比较它们的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可比较．

【详解】

解：∵，，，

∴，

∴，

故答案为：>．

【点拨】本题考查实数的大小比较，掌握平方法是解题关键．

15．1

【解析】

【分析】

先由算术平方根的非负性求出b-a=1，再代入求解即可．

【详解】

解：∵＝0，

∴a-b+1=0，则b-a=1，

∴（b﹣a）2009=12009=1．

故答案为：1．

【点拨】本题考查代数式求值、算术平方根的非负性，利用整体代入思想求解是解答的关键．

16．

【解析】

【分析】

根据立方根的定义进行计算即可．

【详解】

解：∵，

∴

．

故答案为：-0.12645．

【点拨】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．

17．

【解析】

【分析】

根据题意利用勾股定理得出DC，结合题中作法得出DC=DA=，即可得出结果．

【详解】

解：∵OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，

∴DB=4，

∴DC=，

∴DC=DA=，

∴OA=，

故答案为：．

【点拨】题目主要考查实数在数轴上的表示方法，理解题意，掌握勾股定理及实数在数轴上的表示方法是解题关键．

18．

【解析】

【分析】

根据被开方数非负可得y＜0，进行化简即可．

【详解】

解：∵xy＜0，

∴x＜0 ，y＞0或者y＜0 ，x＞0，

∵被开方数≥0，x2＞0

∴-y＜0，

∴x＜0 ，y＞0，

∴

故答案为：．

【点拨】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

19．(1)，2

(2)以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据勾股定理，可以求得AB和CD的长；

（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形．

(1)

解：由图可得，

AB==，CD==2，

故答案为：，2；

(2)

解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，

理由：∵AB=，CD=2，EF=，

∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2，

∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．

【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．

20．(1)﹣1

(2)2﹣5．

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．

（2）根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．

(1)

解：

＝|3﹣m|﹣|m﹣2|，

∵m＞3，

∴3﹣m＜0，m﹣2＞0，

∴原式＝﹣（3﹣m）﹣（m﹣2）

＝﹣3+m﹣m+2

＝﹣1．

(2)

解：∵2＜＜3，

∴﹣2＞0，﹣3＜0，

∴

＝|﹣2|﹣|﹣3|

＝﹣2+（﹣3）

＝﹣2+﹣3

＝2﹣5．

【点拨】本题考查二次根式的性质与化简、二次根式的加减，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．

21．(1)4

(2)

【解析】

【分析】

（1）先计算二次根式的乘法，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减运算即可；

（2）先计算二次根式的除法，二次根式的乘法，再计算加减运算即可．

(1)

解：

=

=

=4

(2)

=

=

=

=

【点拨】本题考查的是零次幂与负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．

22．

【解析】

【分析】

根据题意，即，代入即可．

【详解】

解：由题意可知，

∴OA=OB=，

∴，

当时，

原式=，

=，

=．

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据题意运用勾股定理求出a的值．

23．(1)正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4

(2)阴影部分的面积为12

【解析】

【分析】

（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可；

（2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积．

(1)

解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32，

∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．

(2)

阴影部分的面积为：

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键．

24．（1）（2）（3）．

【解析】

【分析】

（1）利用分母有理化计算；

（2）先分别分母有理化，然后合并即可；

（3）猜想部分与（2）计算一样，利用规律即可求解.

【详解】

（1）

（2）

=

＝

（3）猜想：原式＝

=

＝

=．

故答案为．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．