高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.2 集合的基本关系练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.2 集合的基本关系练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2⊆A；②{－2}∈A；③∅⊆A；④{－2，2}＝A．则上列式子表示正确的有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ∵集合A＝{－2，2}，故③④正确．
2．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( A )
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
[解析] 由题意可知，1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋2＝－b，,1×2＝c，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－3，,c＝2.))
3．满足{3，4}⊆M⊆{0，1，2，3，4}的所有集合M的个数是( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 由题意知M中必须有3，4这两个元素，则M的个数就是集合{0，1，2}的子集的个数，即23＝8(个)．
4．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( B )
A．MN B．NM
C．M＝N D．M，N的关系不确定
[解析] 由题意，得N＝{0，1}，故NM．
5．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则a的取值范围是( D )
A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
[解析] ∵A⊆B，∴a≥2，故选D．
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅．
其中正确的是__④__．
[解析] ∅不是其自身的真子集，所以④正确．
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为__M＝P__．
[解析] ∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P．
8．已知集合A＝{－1，5，6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B⊆A，则实数m＝__3__．
[解析] ∵B⊆A，∴m2＝6m－9，∴m＝3．
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值．
[解析] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
∵BA，∴当B＝∅时，m＝0符合题意；
当B≠∅时，方程mx＋1＝0的解为x＝－eq \f(1,m)，则－eq \f(1,m)＝－3或2，∴m＝eq \f(1,3)或－eq \f(1,2)．
综上可知，m的值为0或eq \f(1,3)或－eq \f(1,2)．
10．已知集合E＝{x|eq \r(x2)＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析] E＝{x|eq \r(x2)＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2．
①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F．
②当a≠1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，EF．
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|x－5＜0}，则P与Q的关系为( A )
A．PQ B．QP
C．P＝Q D．不确定
[解析] ∵Q＝{x|x－5＜0}＝{x|x＜5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由数轴可知，PQ．
2．已知集合A＝{x|1＜x＜2021}，B＝{x|x≤a}，若AB，则实数a的取值范围是( A )
A．{a|a≥2021} B．{a|a＞2021}
C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}
[解析] ∵AB，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2021，故选A．
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x，y)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))，则下列结论中正确的是( BC )
A．1∈A B．B⊆A
C．(1，1)∈B D．∅∈A
[解析] B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x，y)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))＝{(1，1)}，又点(1，1)在直线y＝x上，故选BC．
4．(多选题)(2021·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( AB )
A．集合S＝{a＋beq \r(3)|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集
[解析] A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1eq \r(3)，y＝a2＋b2eq \r(3)(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)eq \r(3)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S．同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0}⊆T＝{0，1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB．
二、填空题
5．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是__{(1，2)}，{(－3，4)}__．
[解析] 集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是{(1，2)}，{(－3，4)}．
6．已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B⊆A，则a的取值范围为__{a|a＜－8或a≥3}__．
[解析] 利用数轴法表示B⊆A，如图所示，
则a＋3＜－5或a＋1≥4，解得a＜－8或a≥3．
三、解答题
7．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析] 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝1，,xy＝y，))①或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝y，,xy＝1，))②
解①，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y∈R))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))
经检验eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y∈R，))不合题意，舍去，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))
解②，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))经检验eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))不合题意，舍去，
综上得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0.))
8．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
[解析] (1)当P＝∅时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m＜0，所以m＞eq \f(9,4)．
(2)当P≠∅时，易得Q＝{－1，－4，1}．
①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；
②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4，7}，不是集合Q的一个子集；
③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1，2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(m＞\f(9,4)))))．