数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示第1课时同步练习题

这是一份数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示第1课时同步练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( D )
A．3.14 B．－5
C．eq \f(3,7) D．eq \r(7)
[解析] 由题意知元素a为无理数，故选D．
2．下列各项中，不可以组成集合的是( C )
A．所有的正数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
[解析] 由集合元素的特性知C不能组成集合，故选C．
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( C )
A．0∈A B．a∉A
C．a∈A D．a＝A
[解析] 由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
5．由实数x，－x，|x|，eq \r(x2)，－eq \r(x2)所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] ∵eq \r(x2)＝|x|，－eq \r(x2)＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0，它们分别是x，－x，－x，－x，x．最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
6．设x∈N，且eq \f(1,x)∈N，则x的值可能是( B )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
[解析] ∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而eq \f(1,0)无意义，排除A、D，故选B．
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__∉__A，广州__∈__A(填“∈”或“∉”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系为(2，7)__∈__P(填“∈”或“∉”)．
[解析] 直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2，7)∈P．
三、解答题
9．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
[解析] 因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2．解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2．故M含有两个元素－1，2．
10．由a，eq \f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合，求a2020＋b2020的值．
[解析] 由a，eq \f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得eq \f(b,a)＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2020＋b2020＝(－1)2020＋0＝1．
B 组·素养提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( D )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( B )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3．又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( BC )
A．－2∈A B．－11∉A
C．3k2－1∈A D．－34∉A
[解析] 令3k－1＝－2，解得k＝－eq \f(1,3)，－eq \f(1,3)∉Z，
∴－2∉A；
令3k－1＝－11，解得k＝－eq \f(10,3)，－eq \f(10,3)∉Z，∴－11∉A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A．故选BC．
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( ACD )
A．3∈A，－1∉A B．3∈A，－1∈A
C．3∉A，－1∈A D．3∉A，－1∉A
[解析] 当x＞0，y＞0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x＞0，y＜0时，z＝1－1－1＝－1；
当x＜0，y＞0时，z＝－1＋1－1＝－1；
当x＜0，y＜0时，z＝－1－1＋1＝－1．
所以3∈A，－1∈A．故选ACD．
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17__∈__A；－5__∉__A；17__∈__B．
[解析] 令3k＋2＝17，得k＝5，5∈Z，所以17∈A；令3k＋2＝－5，得k＝－eq \f(7,3)，－eq \f(7,3)∉Z，所以－5∉A；令6m－1＝17，得m＝3，3∈Z，所以17∈B．
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__．
[解析] 因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0．
①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，
综上可知，x＝1，y＝0．
三、解答题
7．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1．
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1．
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2，1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－eq \f(1,2)，
此时集合A中含有两个元素－eq \f(7,2)，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－eq \f(1,2)．
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5．
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
8．已知集合A＝{x|x＝m＋eq \r(2)n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－eq \r(2)，x2＝eq \f(1,2－\r(2))，x3＝(1－2eq \r(2))2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
[解析] (1)x1＝－eq \r(2)＝0＋(－1)×eq \r(2)，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；
x2＝eq \f(1,2－\r(2))＝eq \f(2＋\r(2),2)＝1＋eq \f(1,2)×eq \r(2)，因为1∈Z，但eq \f(1,2)∉Z，所以x2∉A；
x3＝(1－2eq \r(2))2＝9－4eq \r(2)＝9＋(－4)×eq \r(2)，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．
(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋eq \r(2)n1，x2＝m2＋eq \r(2)n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，
所以x1·x2＝(m1＋eq \r(2)n1)(m2＋eq \r(2)n2)
＝m1m2＋eq \r(2)(m2n1＋m1n2)＋2n1n2
＝(m1m2＋2n1n2)＋eq \r(2)(m2n1＋m1n2)．
因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．