高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算当堂检测题

第五章　5.2　5.2.3

A级——基础过关练

1．函数f(x)＝sin2x的导数是(　　)

A．2sinx　 B．2sin2x

C．2cosx　 D．sin2x

【答案】D　【解析】y＝sin2x写成y＝u2，u＝sin x的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cos x，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucos x＝2sin xcos x＝sin 2x.故选D．

2．已知函数y＝cos(lnx)，则y′＝(　　)

A．－sin(lnx)　 B．

C．－　 D．

【答案】C　【解析】y＝cos(ln x)写成y＝cos u，u＝ln x，y′＝－sin u，u′＝，故可以得到y′＝.故选C．

3．已知函数f(x)＝，则f′(x)＝(　　)

A．　 B．

C．　 D．

【答案】C　【解析】因为f(x)＝，故f′(x)＝＝.故选C．

4．(2022年南京期末)已知f(x)＝＋e－x，则f′(0)＝(　　)

A．0 B．2

C． D．－

【答案】A　【解析】∵f′(x)＝(2x＋1)－×2＋e－x×(－1)＝－，∴f′(0)＝1－1＝0.故选A．

5．曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为(　　)

A．2 B．－2

C． D．－

【答案】B　【解析】由f(x)＝cos，得f′(x)＝－2sin，所以f′＝－2sin＝－2.故选B．

6．(多选)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为(　　)

A．　 B．

C．　 D．

【答案】AC　【解析】f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin .若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin ，因此φ＋＝kπ(k∈Z)．又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝或φ＝.

7．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)

A．e2　 B．4e2

C．2e2　 D．e2

【答案】D　【解析】∵y′＝′＝e·′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，即y＝e2x－e2，与坐标轴的交点为(0，－e2)，(2，0)，∴S＝×|－e2|×2＝e2.

8．(2021年海南期末)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)在x＝e处的导数为，则f′(1)＝________．

【答案】　【解析】设g(x)＝f(ln x)，由复合函数的求导法则可得g′(x)＝f′(ln x)．由题意可得g′(e)＝f′(1)＝，解得f′(1)＝.

9．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________．

【答案】1　【解析】∵f′(x)＝[(2x＋a)2]′＝2(2x＋a)·(2x＋a)′＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝4×(4＋a)＝20，∴a＝1.

10．求下列函数的导数．

(1)y＝e2x＋1；

(2)y＝；

(3)y＝5log2(1－x)；

(4)y＝sin3x＋sin3x.

解：(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

∴yx′＝yu′·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

∴yx′＝yu′·ux′＝(5log2u)′·(1－x)′＝

－＝.

(4)函数y＝sin 3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数，

∴yx′＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin 2xcos x＋3cos 3x.

B级——能力提升练

11．已知函数f(x)＝ln(2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝(　　)

A．1　 B．－1

C．2　 D．3

【答案】B　【解析】因为f(x)＝ln(2x－1)＋3xf′(1)，所以f′(x)＝＋3f′(1)，令x＝1，可得f′(1)＝＋3f′(1)，解得f′(1)＝－1.

12．(多选)若直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)可以是(　　)

A．f(x)＝x3＋2x2＋8

B．f(x)＝tanx

C．f(x)＝xex

D．f(x)＝ln

【答案】AC　【解析】因为直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，直线的斜率为，所以y＝f(x)在某点处的导数值为.由f(x)＝x3＋2x2＋8，可得f′(x)＝3x2＋4x，令f′(x)＝3x2＋4x＝，即6x2＋8x－1＝0，因为Δ＝82－4×6×(－1)>0，所以f′(x)＝有解，故选项A正确；由f(x)＝tan x，可得f′(x)＝′＝＝，令f′(x)＝＝，可得cos2x＝2无解，故选项B不正确；由f(x)＝xex，可得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝，即2x＋2＝e－x，作出y＝2x＋2和y＝e－x的图象如下．

所以f′(x)＝有解，故选项C正确；由2x＋1>0，可得x>－，所以f(x)＝

ln的定义域为，由f(x)＝ln，可得f′(x)＝－，令f′(x)＝－＝，可得x＝－不满足x>－，所以f′(x)＝－＝无解，故选项D不正确．故选AC．

13．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝________．

【答案】－2　【解析】由题得y′＝(x＋1)ex－a，所以y′＝a＋1＝3，所以a＝2，所以f(x)＝xex－2，所以f(2)＝2·e2－2＝2，所以切点为(2，2)，将(2，2)代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.

14．(2022年济宁期中)已知函数f(x)＝且f′(1)＝，则a＝________，曲线y＝f(x)在x＝e处的切线斜率为________．

【答案】0　0　【解析】由f(x)＝，得f′(x)＝＝.∵f′(1)＝，∴＝，得a＝0，∴f(x)＝，f′(x)＝＝，则f′(e)＝＝0，即曲线y＝f(x)在x＝e处的切线斜率为0.

15．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1.

又因为f(2)＝－2，

所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，

即x－y－4＝0.

(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，

因为f′(x)＝3x2－8x＋5，

所以切线方程为y－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)·(x－x0)，

即y＝－2x＋3xx－8x0x＋4x＋5x－4.

因为(2，－2)在切线上，所以－2＝6x－2x－16x0＋4x＋6.整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.

当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0；

当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0.

故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.