人教版高中数学必修第二册第十章概率检测试题含答案

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第十章　检测试题选题明细表知识点、方法题号事件关系及其运算1,3,4,6,9,10古典概型5,8,11,15,18事件的独立性12,14,16,17频率与概率2,7,13,概率综合应用19,20,21,22一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为85%”,这是指(　D　)(A)明天该地区有85%的地区降水,其他地区不降水(B)明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水(C)气象台的专家中有85%的人认为会降水,另外15%的专家认为不降水(D)明天该地区降水的可能性为85%2.某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动,若甲、乙至多有一人被选中的概率是,则甲、乙均被选中的概率是(　B　)(A) (B) (C) (D)解析:由题意可知事件“甲、乙至多有一人被选中”与事件“甲、乙均被选中”为对立事件,则甲、乙均被选中的概率是P=1-=.故选B.3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米648石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得288粒内夹谷32粒,则这批米内夹谷约为(　B　)(注:石dàn古代重量单位,1石=60千克)(A)74石 (B)72石 (C)70石 (D)68石解析:设送来648石米内夹谷约为x石,因为抽样取米一把,数得288粒内夹谷32粒,可得=,解得x=72.故选B.4.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”.若表示B的对立事件,则一次试验中,事件A+发生的概率为(　C　)(A) (B) (C) (D)解析:依题意P(A)==,P(B)==,P()=1-=.因为表示“出现5点或6点”的事件,A表示“出现小于5的偶数点”,所以A与互斥,所以P(A+)=P(A)+P()=.故选C.5.从含有3件正品2件次品的5件产品中,任意取出2件产品,则取出的2件产品中至少有一件次品的概率为(　A　)(A) (B) (C) (D)解析:设3件正品为A,B,C,2件次品为a,b,则任意取出2件产品的情况有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10种,其中至少有一件次品的情况有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共7种,则取出的2件产品中至少有一件次品的概率为.故选A.6.一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项,其中,中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.32,中鼓励奖的概率为0.42,则不中奖的概率为(　A　)(A)0.16 (B)0.12 (C)0.18 (D)0.58解析:由于奖项一等奖、二等奖、鼓励奖和不中奖四个事件是相互独立,且构成事件为必然事件,所以不中奖的概率为1-0.1-0.32-0.42=0.16.故选A.7.甲、乙两名同学相约学习某种技能,该技能需要通过两项考核才能拿到证书,每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是,通过第二项考核的概率是;乙同学拿到该技能证书的概率是,那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是(　D　)(A) (B) (C) (D)解析:由已知得甲拿到该技能证书的概率为×=,则甲、乙两人都没有拿到证书的概率为(1-)×(1-)=,所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是1-=.故选D.8.2020年11月5日—11月10日,在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会,其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观,则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是(　C　)(A) (B) (C) (D)解析:分别记“高档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专区为A,B,C,D,E,从这五个专区中选择两个专区参观,所包含的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区(即E专区),所对应的基本事件有AE,BE,CE,DE,共4个,因此,选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是P==.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.有甲、乙两种套餐供学生选择,记事件A为“只选甲套餐”,事件B为“至少选一种套餐”,事件C为“至多选一种套餐”,事件D为“不选甲套餐”,事件E为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是(　AD　)(A)A与C是互斥事件(B)B与E是互斥事件,且是对立事件(C)B与C不是互斥事件(D)C与E是互斥事件解析:事件A为“只选甲套餐”;事件B为“至少选一种套餐”,包括选甲套餐,选乙套餐,甲、乙两种套餐都选;事件C为“至多选一种套餐”,包括选甲套餐,选乙套餐,甲、乙两种都不选;事件D为“不选甲套餐”,包括选乙套餐,甲、乙两种都不选;事件E为“一种套餐也不选”.事件A与C既不互斥也不对立,故A错误;事件B与E是互斥事件,且是对立事件,故B正确;事件B与C不互斥,故C正确;事件C与E不互斥,故D错误.故选AD.10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是(　ABC　)(A)P(B)=    (B)P(A∪B)=(C)P(A∩B)=0 (D)P(A∪B)=P(C)解析:由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,所以P(B)=,P(A)=,P(C)=,则P(A∪B)=,故A,B正确,D错误.故选ABC.11.某次数学考试的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,下列表述正确的是(　ABC　)(A)甲同学仅随机选一个选项,能得3分的概率是(B)乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是(C)丙同学随机选择选项,能得分的概率是(D)丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是解析:甲同学仅随机选一个选项,共有4个基本事件,分别为{A},{B},{C},{D},随机选择一个选项能得3分的基本事件有{C},{D},故能得3分的概率为,故A正确;乙同学仅随机选两个选项,共有6个基本事件,分别为{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D},随机选择两个选项能得5分的基本事件有{C,D},故能得5分的概率为,故B正确;丙同学随机选择选项(丙至少选择一项),由题意可知共有基本事件15种,分别为选择一项:{A},{B},{C},{D};选择两项:{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D};选择三项或全选:{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D},{A,B,C,D},随机选择选项能得分的基本事件有{C},{D},{C,D},故能得分的概率为=,故C正确;丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知,共有基本事件11个,随机至少选择两个选项能得分的基本事件有{C,D},故能得分的概率为,故D错.故选ABC.12.如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣分别为A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是(　BD　)(A)A,B所在线路畅通的概率为(B)A,B,C所在线路畅通的概率为(C)D,E所在线路畅通的概率为(D)当开关合上时,整个电路畅通的概率为解析:由题意知,A,B,C,D,E保险闸被切断的概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=,所以A,B两个箱子畅通的概率为×=,因此A错误;D,E两个箱子并联后畅通的概率为1-×=1-=,因此C错误;A,B,C三个箱子混联后畅通的概率为1-×=1-=,B正确;根据上述分析可知,当开关合上时,电路畅通的概率为×=,D正确.故选BD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员捕到这种动物1 200只做过标记后放回,一星期后,调查人员再次捕到该种动物1 000只,其中做过标记的有100只,估算保护区有这种动物　　　　只. 解析:设保护区内有这种动物x只,因为每只动物被捕到的概率是相同的,所以=,解得x=12 000.答案:12 00014.某商场举行促销活动,凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会.第一次抽奖中奖的概率是0.5,第二次抽奖中奖的概率是0.3,两次抽奖是否中奖互不影响,那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是　　　　. 解析:因为两次抽奖中至少有一次中奖的对立事件是两次都不中奖,所以两次抽奖中至少有一次中奖的概率为P=1-(1-0.5)×(1-0.3)=0.65.答案:0.6515.甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会,其中甲医院有2男1女,乙医院有1男2女,若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名,则选出的2名医生性别不相同的概率是　　　　　. 解析:记甲医院2男1女为A,B,0,乙医院1男2女为C,1,2,从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名,则基本事件有(A,C),(A,1),(A,2),(B,C),(B,1),(B,2),(0,C),(0,1),(0,2),共有9种,所以选出的2名医生性别不相同有(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(0,C),共5种,选出的2名医生性别不相同的概率P=.答案:16.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球.从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为　　　　. 解析:设从甲袋中任取一个球,事件A为“取得白球”,则事件为“取得红球”,从乙袋中任取一个球,事件B为“取得白球”,则事件为“取得红球”.因为事件A与B相互独立,所以事件与相互独立.所以从每袋中任取一个球,取得同色球的概率为P(AB∪ )=P(AB)+P( )=P(A)P(B)+P()P()=×+×=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)甲、乙两人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.7,乙破译密码的概率为0.6.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙两人都破译密码的概率;(2)求恰有一人破译密码的概率.解:(1)事件“甲、乙两人都破译密码”可表示为AB,事件A,B相互独立,由题意可知P(A)=0.7,P(B)=0.6,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.6=0.42.(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为B+A,且B,A互斥,所以P(B+A)=P(B)+P(A)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.7)×0.6+0.7×(1-0.6)=0.46.18.(本小题满分12分)某校高一年级1 000名学生全部参加了体育达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图如图所示.(1)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数;(2)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人,求其中恰有1人体育成绩在[60,70)的概率.解:(1)根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为14+3+13=30,所以估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为1 000×=750.(2)体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2,3,分别记为a,b,A,B,C.若随机抽取2人,则所有的基本事件为(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10个.其中恰有1人体育成绩在[60,70)的基本事件的个数有6个,设A为“恰有1人体育成绩在[60,70)”,则P(A)==.19.(本小题满分12分)已知A,B,C为三个独立事件,若事件A发生的概率是,事件B发生的概率是,事件C发生的概率是,求下列事件的概率:(1)事件A,B,C只发生两个;(2)事件A,B,C至多发生两个.解:(1)记“事件A,B,C只发生两个”为A1,则事件A1包括三种彼此互斥的情况:AB,AC,BC,由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,得P(A1)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=++=,所以事件A,B,C只发生两个的概率为.(2)记“事件A,B,C至多发生两个”为A2,则事件A2包括彼此互斥的三种情况:事件A,B,C一个也不发生,记为A3,事件A,B,C只发生一个,记为A4,事件A,B,C只发生两个,由(1)知为A1,故P(A2)=P(A3)+P(A4)+P(A1)=++=.所以事件A,B,C至多发生两个的概率为.20.(本小题满分12分)质量监督局检测某种产品的三个质量指标x,y,z,用综合指标Q=x+y+z核定该产品的等级.若Q≤5,则核定该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,2)(2,2,2)(1,3,1)(1,2,3) 产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,3,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,1,1)(1)利用表格提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标均满足Q≤4”,求事件B的概率.解:(1)计算10件产品的综合指标Q,如表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10Q4565656634其中Q≤5的有A1,A2,A4,A6,A9,A10,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有等可能结果为(A1,A2),(A1,A4),(A1,A6),(A1,A9),(A1,A10),(A2,A4),(A2,A6),(A2,A9),(A2,A10),(A4,A6),(A4,A9),(A4,A10),(A6,A9),(A6,A10),(A9,A10),共15种.在该样本的一等品中,综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1,A9,A10,则事件B发生的所有等可能结果为(A1,A9),(A1,A10),(A9,A10),共3种,所以P(B)==.21.(本小题满分12分)某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过1小时还车的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为,;两人租车时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.解:(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2元,4元,6元.都付2元的概率为P1=×=;都付4元的概率为P2=×=;都付6元的概率为P3=×=.故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=.(2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A,B,C,P(A)=×+×+×=;P(B)=×+×=;P(C)=×=.设甲、乙两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=A+B+C,所以甲、乙两人费用之和大于或等于8的概率为P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.22.(本小题满分12分)为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试,试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为.(1)求p和q的值;(2)试求两人共答对三道题的概率.解:(1)设A={甲同学答对一道题},B={乙同学答对一道题},则P(A)=p,P(B)=q.设C={甲、乙两人均答对一道题},D={甲、乙两人中恰有一人答对一道题},则C=AB,D=A+B.由于两人答题互不影响,且每人各题答题结果互不影响,所以A与B相互独立,A与B互斥,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B),P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由题意可得即解得或由于p>q,所以p=,q=.(2)设Ai={甲同学答对了i道题},Bi={乙同学答对了i道题},i=0,1,2.由题意得,P(A1)=×+×=,P(A2)=×=,P(B1)=×+×=,P(B2)=×=.设E={甲、乙两人共答对三道题},则E=A1B2+A2B1.由于Ai和Bi相互独立,A1B2与A2B1互斥,所以P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=.所以甲、乙两人共答对三道题的概率为.