2020-2021学年7.1 复数的概念教学设计

这是一份2020-2021学年7.1 复数的概念教学设计，共9页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第七章《复数》的第一节《复数的概念》。以下是本章的课时安排：
本节课是在学生学习了复数的概念之后，对复数概念的进一步理解和深化，为下一节课复数加法和减法几何意义的学习提供了理论支撑。因此，本节课具有承上启下的作用。同时对学生加深学生对数形结合思想的认识，发展学生的思维能力具有重要意义。
1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，培养直观想象的核心素养；
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念，培养数学抽象的核心素养；
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，提示数学抽象的核心素养。
1.重点：掌握用向量的模来表示复数的模的方法。
2.难点：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。
（一）新知导入
1. 复数的发展史
19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.
复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.
2.探索交流，解决问题
【问题1】我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？
【提示】复数与复平面内的点有一一对应关系。
【问题2】复数与复平面内以原点为起点的向量有怎样的对应关系？
【提示】一一对应关系．
【问题3】向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模与点Z有什么关系？
【提示】 向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模等于点Z到原点的距离．
（二）复数的几何意义
1.复平面 复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部。
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
【做一做】复数1－2i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：D
3.复数的模
(1)定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R).
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).
【做一做】 复数z＝1＋3i的模等于( )
A．2 B．4 C.eq \r(10) D．2eq \r(2)
答案：C
4.共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用eq \(z,\s\up6(－))__表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi.
【做一做】复数z＝－2＋5i的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))＝________．
答案：－2－5i
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√)
2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)
3.复数的模一定是正实数.(×)
4.两个共轭复数关于x轴对称.(√)
5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×)
答案：(1) (2)× (3)× (4)√ （5）
（三）典型例题
1.复数与复平面内的点
例1.在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
解：复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，
∴2(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq \f(2,5).
【类题通法】利用复数与复平面内的点一一对应解题的步骤：
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
【巩固练习1】当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限内；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)?
解：(1)要使点位于第四象限内，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－8m＋15>0，,m2＋3m－28<0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<3或m>5，,－7(2)要使点位于x轴负半轴上，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－8m＋15<0，,m2＋3m－28＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(3)要使点位于上半平面(含实轴)，需m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
2.复数与复平面内的向量的关系
例2. (1)向量eq \(OZ,\s\up6(→))1对应的复数是5－4i，向量eq \(OZ,\s\up6(→))2对应的复数是－5＋4i，则eq \(OZ,\s\up6(→))1＋eq \(OZ,\s\up6(→))2对应的复数是( )
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
(2)设O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A.－5＋5i B.－5－5i
C.5＋5i D.5－5i
解析：(1)由复数的几何意义，可得eq \(OZ,\s\up6(→))1＝(5，－4)，eq \(OZ,\s\up6(→))2＝(－5，4)，
所以eq \(OZ,\s\up6(→))1＋eq \(OZ,\s\up6(→))2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以eq \(OZ,\s\up6(→))1＋eq \(OZ,\s\up6(→))2对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义，得eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)，
所以eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i.
答案：(1)C (2)D
【类题通法】复数与平面向量的对应关系：
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【巩固练习2】在复平面内，O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为________.
解析：复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为2－i.
答案：2－i
3.复数的模及几何意义
例3. 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
(1)|z|＝2；
(2)1≤|z|≤2.
解：(1)法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|z|≤2，,|z|≥1.))
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.
不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.
【类题通法】1．利用模的定义，得到关于a的不等式，与利用复数相等的充要条件一样，都贯彻了复数问题实数化的思想，这是本章的一种重要思想方法．
2．从几何意义上理解，复数的模表示复数对应的点到原点的距离，所以|z|＝r表示以原点为圆心，r为半径的圆．
【巩固练习3】若复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点Z，则|z|＝eq \r(2)时，a＝________；此时Z与点(1，2)的距离是________.
解析：∵|z|＝eq \r(a2＋1)＝eq \r(2)，∴a＝±1.
∴z＝1＋i或z＝－1＋i.
当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为
eq \r(（1－1）2＋（2－1）2)＝1；
当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为
eq \r(（－1－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(5).
答案：±1 1或eq \r(5)
（四）操作演练 素养提升
1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A.4＋8i B.8＋2i
C.2＋4i D.4＋i
3.若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|eq \(z,\s\up6(－))|＝________.
4.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值是 .
答案：1.B 2.C 3.3 4.2eq \r(2)＋1
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第73页 练习 第1，2，3题
第73 页 习题7.1 第4,5,6,7,8,9,10,11题










第七章 复数
课时内容
7.1复数的概念
7.2复数的四则运算
7.3 复数的三角表示
所在位置
教材第68页
教材第75页
教材第83页
新教材
内容
分析
本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。
上一节我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算，即复数的加、减、乘、除运算及其几何意义。
前面我们研究了复数及其四则运算，本节内容是复数的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究。
核心素养培养
了解数系的扩充过程，理解复数的概念和复数相等的充要条件，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养。
通过实例，明确复数的四则运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，发展学生的数学抽象的核心素养；通过了解复数的辐角及辐角的主值的含义，培养学生的直观想象的核心素养。
教学主线
复数的概念、复数的运算