2020-2021学年7.1 复数的概念教案及反思

《复数的几何意义》教学设计

一、教学内容 

 复平面，复数的模，共轭复数，复数与复平面内点、平面向量的一一对应.

二、教材分析

本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第一节第二课时《复数的几何意义》.

复数本质上是一对有序实数，因此与利用数轴表示实数类似，可以借助建立了直角坐标系的复平面来表示复数.x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数，y轴叫做虚轴，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数.

利用复平面表示复数，可以直接得到复数的两种几何意义：复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的.在引入复数的代数形式时，教科书从复数z=a+bi（a，b∈R）本质是一对有序实数对（a，b）出发，基于有序实数对可以看成是平面直角坐标系中点的坐标，因此，复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的；基于有序实数对也可以看成是平面直角坐标系中向量的坐标，因此复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的．

复数与以原点为起点的平面向量是一一对应的，于是用复数对应的向量的模定义复数的模.依据复数的模的定义，实数的模与实数的绝对值是一致的.熟练地求复数的模是复数代数运算和复数三角形式表示的基础.

利用几何直观引入共轭复数，更多地关注互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称这一几何性质．

复数的几何意义让“神秘”的复数得以直观呈现，在对复数的几何意义的探究过程中，可以提升学生的逻辑推理、直观想象素养．

三、教学目标

1、知识与技能目标：

理解复数的几何意义；能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量及求复数的模.

2、过程与方法目标：

通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力.

3、情感、态度与价值观目标：

通过复数几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣.

四、教学重点

复数的几何意义及复数的模；

五、教学难点

复数的几何意义及复数的模的综合应用.

六、教学方法

探究法

七、教学过程

（一）复习回顾，引入新课

1.为了解决在实数范围内无解的问题，人们引入了一个新数，并规定：

我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所构成的集合叫做复数集，用大写字母表示。  

 2.复数的代数形式：

    复数通常用小写字母表示，即,这一表示形式叫做复数的代数形式，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部。

3.复数的分类

对于复数

当且仅当时，复数表示__实数__

当时，复数叫做__虚数__

当且时，复数叫做__纯虚数__

4.复数相等的充要条件

设计意图：通过复习回顾复数概念等相关知识,使学生对这一知识结构有初步认知,逐渐过渡到对复数几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.

（二）问题探究

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数有什么几何意义呢？

问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 都可以由一个有序实数对 唯一确定；反之也对，由此你能想到复数的几何表示方法吗？

我们容易联想到平面直角坐标系，因为任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序实数对是一一对应的。而有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。

设计意图：通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系，从而找到复数的几何意义

复平面的概念：点的横坐标是，纵坐标是，对于复数 可用点表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.        

例如：复平面内的原点（0,0）表示实数0，实轴上的点（2,0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2,3）表示复数-2+3i等.

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系：

这是复数的一种几何意义.

设计意图：理解复数集合意义中的一一对应关系，认识复平面

问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？

如图，设复平面内的点Z表示复数，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数O与零向量对应），即：

这是复数的另一种几何意义

为了方便，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一复数.

问题3：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？

复数的模：，从几何上来看复数的模表示点到原点的距离。

设计意图：通过在复平面中寻找两个复数对应的点和向量，理解复数的几何意义，体会数形结合的思想.

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数，那么.

设计意图：加深对复数几何意义的理解

（三）总结

1.复数的几何意义

2.复数的模

设计意图：通过课堂小结,增强学生对复数几何意义的理解， 引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华，使知识系统化。让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验，促进学习目标的完成。