高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计

《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第一节《直线的倾斜角与斜率》。以下是本单元的课时安排：

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。

1.理解两条直线平行与垂直的条件,培养数学抽象的核心素养.

2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养.

3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养.

1.重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件

2.难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直

（一）新知导入

   过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?

（二）两条直线的平行与垂直

知识点1  平行

【探究1】如图，对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？

【提示】α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，

当α1＝α2≠90°时，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.

当α1＝α2＝90°时，k1，k2不存在．

【探究2】对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？

【提示】一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tan  α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.　

◆设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时分别为k1，k2.则对应关系如下：

【做一做】已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为(　　)

A．0　　　　　　 B．－8

C．2  D．10

解析：由题意得＝＝－2，得m＝－8.

答案：B

知识点2 垂直

【探究3】设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，方向向量分别为a，b，试用k1，k2写出向量a，b的坐标．

【提示】a＝(1，k1)，b＝(1，k2)．

2．如果l1⊥l2，那么方向向量a，b有什么关系？你会得出怎样的关系式？

【提示】a⊥b，l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1·k2＝－1.

3．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？

【提示】 直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．

◆两条垂直直线斜率之间的关系

【做一做1】(教材P57例5改编) 以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)

A．锐角三角形                               B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形             D．以B点为直角顶点的直角三角形

解析：kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．

答案：C

【做一做2】 (教材P57练习2改编) 直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.

解析：∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，

∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.

答案：－1　7

（三）典型例题

1.两条直线平行

例1.(1)下列各对直线互相平行的是(　　)

A．直线l1经过A(0,1)，B(1,0)，直线l2经过M(－1,3)，N(2,0)

B．直线l1经过A(－1，－2)，B(1,2)，直线l2经过M(－2，－1)，N(0，－2)

C．直线l1经过A(1,2)，B(1,3)，直线l2经过C(1，－1)，D(1,4)

D．直线l1经过A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过M(1，－1)，N(3,2)

(2)已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________．

【分析】　对于(1)，欲看两直线是否平行，看直线的斜率，若斜率不存在，结合图形判断；对于(2)，利用两条直线平行，列出方程组，求出D点坐标．

解析：　(1)对于A，k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2.结合图形知l1∥l2；

对于B，k1＝＝2，k2＝＝－，k1≠k2，∴l1与l2不平行；

对于C，∵l1过(1,2)，(1,3)，l2过C(1，－1)，D(1,4)，

结合图形可知，l1与l2重合，∴l1与l2不平行；

对于D，由于l1的斜率不存在，k2＝＝，∴两条直线不平行，故答案为A.

(2)设顶点D的坐标为(x，y)，

∵AB∥DC，AD∥BC，∴得∴点D的坐标为(3,4)．

答案：(1)A　(2) (3,4)

【类题通法】1.判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．

2.若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解．

【巩固练习1】直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)

A．(3,0)　　　　　 B．(－3,0)

C．(0，－3)  D．(0,3)

解析：∵k1＝2，l1∥l2，∴k2＝2，设P(0，y)，则k2＝＝y－1＝2，∴y＝3，即P(0,3)．

答案：D

2.两条直线垂直

例2.　1.判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；

(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；

(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．

【解析】(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．

(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.

(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．

直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.

2.已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．

【解析】由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．

当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意．

当l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，

得k1＝＝，k2＝＝.

由l1⊥l2，知k1k2＝－1，

即×＝－1，解得a＝0.

综上所述，a的值为0或5.

【类题通法】利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．

(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．

(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

【巩固练习2】已知三角形三个顶点的坐标为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高的斜率为(　　)

A．2　　　　B．－2　　　　C.　　　　D．－

【解析】BC边上的高所在的直线与BC边所在的直线垂直而kBC＝＝－2，所以BC边上的高的斜率k＝－＝.

【答案】C

3.直线平行与垂直的综合应用

例3.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．

【分析】先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．

【解析】　A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得

kAB＝＝，kCD＝＝，

kAD＝＝－3，kBC＝＝－.

∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.

由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．

又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．

【类题通法】利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

【巩固练习3】已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点的坐标为________．

解析：设点D的坐标为(x，y)，∵kBC＝＝1，

∴得∴点D(2,3)．

答案：(2,3)

（四）操作演练  素养提升

1.已知直线l的倾斜角为10°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为(　　)

A．10°，10°　　　　　　　 B．80°，80°

C．10°，100°  D．100°，10°

答案：C

2.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

解析：由题意得＝＝－1，得m＝－1.

答案：B

3.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.

解析：由题意得AD⊥BC，则kAD·kBC＝－1，所以有×＝－1，解得m＝.

答案：

4.已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．

若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.

解析：设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.

若l1∥l2，设直线l1的斜率为k1，则k1＝－.

又k1＝，则＝－，∴a＝1或a＝6.经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.

若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意．

②当k2≠0时，l2的斜率存在，此时k1＝.

∴由k2k1＝－1，可得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.

答案：1或6　3或－4

答案：1.C  2.B  3. 4.1或6　3或－4

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第57页  练习     第1，2题

         第57 页   习题2.1  第5,6,9,10题