人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教案及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教案及反思，共14页。教案主要包含了做一做1，做一做2，做一做3，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4等内容，欢迎下载使用。

2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第三节《直线的交点坐标与距离公式》。以下是本单元的课时安排：
第二章 直线和圆的方程
课时内容
2.1直线的倾斜角与斜率
2.2直线的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
所在位置
教材第51页
教材第59页
教材第70页


新教材
内容
分析
直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。

在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础.
围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．

核心素养培养
通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。

通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
教学主线
直线的方程的应用




在学生亲身体验点到直线的距离公式的探索和推导过程，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。


1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式，理解两条平行线间的距离公式的推导，培养逻辑推理的核心素养。.
2.掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离，能应用点到直线距离公式解决有关距离问题，提升数学运算的核心素养.
3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力，培养逻辑推理的核心素养.


重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；
点到直线的距离公式的应用．
理解和掌握两条平行线间的距离公式
难点：应用距离公式解决综合问题


（一） 新知导入
【问题1】在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?



【问题2】立定跳远测量的是什么距离？

A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C. 点到点的距离


（二）点到直线的距离、两条平行直线间的距离
◆知识点1 点到直线的距离
【探究1】1．如图，什么是平面上点P到直线l的距离？

【提示】点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足．
2．如上图，设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，如何求垂足Q的坐标？如何求|PQ|的长？
【提示】由PQ⊥l，直线l的斜率为－，可得l的垂线PQ的斜率为，因此，垂线PQ的方程为y－y0＝(x－x0)，即Bx－Ay＝Bx0－Ay0.
解方程组得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为

于是|PQ|＝
＝ ＝.
3．我们知道，向量是解决距离、夹角问题的有力工具．如图，设n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，

如何从向量投影的角度得出的模的表达式？
【提示】设M(x，y)是直线l上的任意一点，则是在n上的投影向量，||＝|·n|.
4．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？　　　
【提示】＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量．把Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量(A，B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量，我们取n＝(A，B)．
5．根据问题3,4的内容，你能得出|PQ|的长吗？



【提示】·n＝(x－x0，y－y0)·(A，B)＝ [A(x－x0)＋B(y－y0)]
＝(Ax＋By－Ax0－By0)．
因为点M(x，y)在直线l上，所以Ax＋By＋C＝0.所以Ax＋By＝－C.代入上式，得
·n＝(－Ax0－By0－C)．
因此，|PQ|＝||＝|·n|＝.

◆点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝.
【点睛】(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.
(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
（3）点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值。

【做一做1】(教材P77练习1改编) 原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：d＝＝＝.
答案：D

◆知识点2 两条平行直线间的距离
【探究2】1．两条平行直线间的距离是指什么线段的长？
【提示】两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
2．直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
【提示】、、.均相等，平行线之间的距离处处相等．
3．已知l1：Ax＋By＋C1＝0(A，B不同时为0)，l2：Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)，如何推导出l1与l2间的距离公式呢？
【提示】在直线l1：Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2：Ax＋By＋C2＝0的距离就是这两条平行直线间的距离，即d＝.
又Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝＝＝.
◆两条平行直线间的距离：
(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．
(3)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
【做一做2】(教材P78例7改编) 两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　)
A．3 B．2
C．1 D.
解析：d＝＝1.
答案：C
【做一做3】(教材P79练习2改编) 已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：2x+2y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________.
解析：由两平行直线的距离公式：
d＝＝＝，∴|a＋1|＝2，
∴a＝－3或a＝1.
答案：－3或1
（三）典型例题
1.点到直线距离公式的应用
例1.求点P0(－1,2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
【分析】对于(1)可用点到直线的距离公式求解，对于(2)(3)除了公式法求距离外还可以用数形结合法求解．
【解析】(1)由点到直线的距离公式知d＝＝＝2.
(2)法一：直线方程化为一般式为x－2＝0.
由点到直线的距离公式知d＝＝3.
法二：∵直线x＝2与y轴平行，∴由图①知d＝|－1－2|＝3.

(3)法一：由点到直线的距离公式得d＝＝1.
法二：∵直线y－1＝0与x轴平行，∴由图②知d＝|2－1|＝1.

例2.　求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程．
【解析】法一：当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
由条件得＝，解得k＝0或k＝－.
故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
法二：设直线l满足题意．
由平面几何知识知，l∥AB或l过AB中点．
kAB＝－，若l∥AB，则l的方程为x＋2y＝0.
若l过AB的中点N(1,1)，则直线方程为y＝1，
∴所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
【类题通法】1.在使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解．
2.在已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可．

【巩固练习1】1.若点M(－2,1)到直线x＋2y＋C＝0的距离为1，则C的值为______．
解析：由点到直线的距离公式可知＝＝1，∴C＝±，∴C的值为±.
答案：±
2．求过点A(－1,2)且到原点的距离等于的直线方程．
【解析】显然直线x＝－1到原点的距离为1，所以所求直线的斜率是存在的．
设所求直线的方程为y－2＝k(x＋1)，化成一般式为kx－y＋2＋k＝0.
由题意得＝，解得k＝－1或－7.
故适合题意的直线方程为y－2＝－(x＋1)或y－2＝－7(x＋1)，即x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.

2.两条平行直线间的距离
【例3】已知直线l与直线3x＋4y－1＝0平行，且两直线间的距离为4，则直线l的方程为________．
解析：设所求的直线方程为3x＋4y＋C＝0，
由题意得＝4，得C＝19或C＝－21.
∴直线l的方程为3x＋4y＋19＝0或3x＋4y－21＝0.
答案：3x＋4y＋19＝0或3x＋4y－21＝0
【类题通法】 求两平行直线间距离的两种思路
1.)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.
【巩固练习2】直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．
【解析】若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.
根据平行线间的距离公式得：d＝＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝.
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，满足条件．
则满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
l1：x＝0，l2：x＝5.

3.对称问题
例4.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（3）直线l关于点A对称的直线l′的方程．
【解析】（1）设A′(x，y)，
则解得即A′.
（2）在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
解得即M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
（3）法一：设所求直线l':2x-3y+m=0，则点-1,-2到直线l:2x-3y+1=0与l':2x-3y+m=0的距离相等，所以 513=4+m13,解得m=1或m=-9，所求直线方程为2x－3y－9＝0．

法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，
∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
【类题通法】对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型。
点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组求得．
【巩固练习3】根据条件求直线方程．
（1）已知直线，求其关于对称的直线的直线方程；
（2）求直线关于直线对称的直线的方程．
【解析】（1）设所求直线，则点到直线与的距离相等，所以 -45=-3+m5,解得：或m=-1，所求直线方程为．
（2）由，解得，的交点，
是直线的点，它关于直线的对称点为，
则，解得，所以，则都在直线上，所以所在直线为，故直线的方程为．
4.最值问题
例5.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
【解析】　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3，

当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0 (2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－＝－＝－3，
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【类题通法】数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．类似地，当一条直线过定点A时，点B到这条直线l的距离d也是当l⊥AB时最大，l过B点时，最小为零．
【巩固练习4】点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ）
A． B．2
C． D．2
解析：点到的距离为：，所以的最小值为．故选B.
答案：B


（四）操作演练 素养提升
1.如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　)
A． B． C． D．
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
3.直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
4.直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
答案：1.A 2.C 3.C 4.C
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：



2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？




（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？




【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第77页 练习 第1，2，3题
第79页 练习 第1，2，3题
第79页 习题2.3 第6,7,8,11,13,14,15题