高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案

《6．4.2 向量在物理中的应用举例》

导学案  参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题1】　两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力.

【问题2】物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.

【思考】力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等；力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理，如图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为W＝F·s.

（二）平面向量在几何中的应用

1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

2.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法：

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．

【做一做】  答案：（1）D  （2）　(－3，－4)

（三）典型例题

【例1】解：（1）如图，两根绳子的拉力之和＋＝，

且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.

在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，

从而||＝||·cos 30°＝150(N)，

||＝||·sin 30°＝150(N)，

所以||＝||＝150(N).

答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.

（2）解析：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方  

向行驶时，船的航程最短，

如图，设，则

此时，船的航行时间

所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min.

【巩固练习1】（1）解析：因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，

所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).

（2）解析：如图，用v1表示河水的流速，v2表示船的速度，

则v＝v1＋v2为船的实际航行速度．

由图知，||＝4，||＝8，则∠AOB＝60°.

又|v2|＝2，∴|v1|＝|v2|·tan 60°＝2.

即河水的流速是2 km/h.

答案：2

【例2】解：(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，

如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为

WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；

支持力FN与位移方向垂直，不做功，

所以WN＝FN·s＝0；

重力G对物体所做的功为

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J).

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为

W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J).

【巩固练习2】 解析：F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.

答案：D

（四）操作演练  素养提升

答案：1.C      2. C     3.10        4.3