2022-2023学年上学期人教版八年级数学期末复习培优练习-第15章+分式（广西中考）

2022-2023学年上学期人教版八年级数学期末复习培优练习-第15章 分式 解答题（广西中考）

1．（2020•贺州）今年夏天，多地连降大雨，某地因大雨导致山体塌方，致使车辆通行受阻，某工程队紧急抢修，需要爆破作业．现有A，B两种导火索，A种导火索的燃烧速度是B种导火索燃烧速度的，同样燃烧长度为36cm的导火索，A种所需时间比B种多20s．

（1）求A，B两种导火索的燃烧速度分别是多少？

（2）为了安全考虑，工人选燃烧速度慢的导火索进行爆破，一工人点燃导火索后以6m/s的速度跑到距爆破点100m外的安全区，问至少需要该种导火索多长？

2．（2020•百色）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2021．

3．（2020•广西）先化简，再求值：（+1）•，其中x＝．

4．（2020•贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．

（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

5．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．

（1）求每副围棋和象棋各是多少元？

（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？

6．（2020•河池）先化简，再计算：+，其中a＝2．

7．（2020•广西）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．

8．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．

（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

9．（2022•河池）先化简，再求值：÷﹣（2a﹣1），其中a＝3．

10．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

11．（2022•梧州）解方程：1﹣＝．

12．（2022•贺州）解方程：＝﹣2．

13．（2022•玉林）解方程：＝．

14．（2022•桂林）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．

（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？

（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．

15．（2021•梧州）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+．

16．（2021•梧州）某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．

（1）原来每天生产健身器械多少台？

（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？

17．（2021•柳州）解分式方程：＝．

18．（2021•广西）解分式方程：＝+1．

参考答案与试题解析

1．（2020•贺州）今年夏天，多地连降大雨，某地因大雨导致山体塌方，致使车辆通行受阻，某工程队紧急抢修，需要爆破作业．现有A，B两种导火索，A种导火索的燃烧速度是B种导火索燃烧速度的，同样燃烧长度为36cm的导火索，A种所需时间比B种多20s．

（1）求A，B两种导火索的燃烧速度分别是多少？

（2）为了安全考虑，工人选燃烧速度慢的导火索进行爆破，一工人点燃导火索后以6m/s的速度跑到距爆破点100m外的安全区，问至少需要该种导火索多长？

【解答】解：（1）设B、A两种导火索的燃烧速度分别是xcm/s、xcm/s，

由题意得：﹣＝20，

解得：x＝0.9，

经检验，x＝0.9是原方程的解，且符合题意，

则x＝0.6，

答：A，B两种导火索的燃烧速度分别是0.6cm/s、0.9cm/s；

（2）设需要该种导火索的长度为ym，

0.6cm＝0.006m，

由题意得：6×≥100，

解得：y≥0.1，

答：至少需要该种导火索0.1m．

2．（2020•百色）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2021．

【解答】解：（﹣）÷

＝•

＝•

＝，

当x＝2021时，原式＝＝．

3．（2020•广西）先化简，再求值：（+1）•，其中x＝．

【解答】解：原式＝•

＝•

＝，

当x＝时，原式＝＝1+．

4．（2020•贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．

（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，

根据题意，得：＝．

解方程，得：x＝4．

经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．

所以x﹣1.5＝2.5．

答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；

（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，

根据题意，得：2.5×2m+4m≤3800．

解不等式，得：m≤422．

因为m为正整数，所以正整数m的最大值为422．

答：增加购买A型口罩的数量最多是422个．

5．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．

（1）求每副围棋和象棋各是多少元？

（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？

【解答】解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元，

根据题意，得＝．

解得x＝18．

经检验x＝18是所列方程的根．

所以x﹣8＝10．

答：每副围棋18元，则每副象棋10元；

（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，

根据题意，得18m+10（40﹣m）≤600．

解得m≤25．

故m最大值是25．

答：该校最多可再购买25副围棋．

6．（2020•河池）先化简，再计算：+，其中a＝2．

【解答】解：原式＝+

＝+

＝，

当a＝2时，原式＝＝3．

7．（2020•广西）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．

【解答】解：原式＝÷（﹣）

＝÷

＝•

＝，

当x＝3时，原式＝＝．

8．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．

（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，

依题意得：＝，

解得：x＝2，

经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，

∴x+1＝2+1＝3．

答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．

（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，

依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，

解得：m≤6．

答：甲种农机具最多能购买6件．

9．（2022•河池）先化简，再求值：÷﹣（2a﹣1），其中a＝3．

【解答】解：原式＝×﹣（2a﹣1）

＝a﹣2a+1

＝﹣a+1，

当a＝3时，原式＝﹣3+1＝﹣2．

10．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，

根据题意，得，

解得x＝7，

经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，

∴x+23＝30，

答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．

（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，

根据题意，得7×3m+30m＝510，

解得m＝10，

∴3m＝30，

答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．

11．（2022•梧州）解方程：1﹣＝．

【解答】解：去分母得：x﹣3+2＝4，

解得：x＝5，

当x＝5时，x﹣3≠0，

∴x＝5是分式方程的根．

12．（2022•贺州）解方程：＝﹣2．

【解答】解：方程两边同时乘以最简公分母（x﹣4），

得3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4），

去括号，得3﹣x＝﹣1﹣2x+8，

解方程，得x＝4，

检验：当x＝4时，x﹣4＝0，

∴x＝4不是原方程的解，原分式方程无解．

13．（2022•玉林）解方程：＝．

【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，

解得：x＝﹣1，

检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，

所以原分式方程的解为x＝﹣1．

14．（2022•桂林）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．

（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？

（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．

【解答】解：（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，

由题意可得：，

解得：x＝40，

经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，

∴x+10＝50，

∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．

（2）在乙商店租用服装的费用较少．

理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，

甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），

乙商店的费用为：40×20＝800（元），

∵900＞800，

∴乙商店租用服装的费用较少．

15．（2021•梧州）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+．

【解答】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+

＝x2﹣4x+4﹣x2+x+x﹣4

＝﹣2x．

16．（2021•梧州）某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．

（1）原来每天生产健身器械多少台？

（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？

【解答】解：（1）设原来每天生产健身器械x台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，

依题意得：+＝8，

解得：x＝50，

经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．

答：原来每天生产健身器械50台．

（2）设使用m辆大货车，使用n辆小货车，

∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，

∴50m+20n≥500，

∴n≥25﹣m．

又∵运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元，

∴，即，

解得：8≤m＜10．

又∵m为整数，

∴m可以为8，9．

当m＝8时，n≥25﹣m＝25﹣×8＝5；

当m＝9时，n≥25﹣m＝25﹣×9＝，

又∵n为整数，

∴n的最小值为3．

∴共有2种运输方案，

方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；

方案2：使用9辆大货车，3辆小货车．

方案1所需费用为1500×8+800×5＝16000（元），

方案2所需费用为1500×9+800×3＝15900（元）．

∵16000＞15900，

∴运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元．

17．（2021•柳州）解分式方程：＝．

【解答】解：去分母得：x+3＝2x，

解得：x＝3，

检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，

∴分式方程的解为x＝3．

18．（2021•广西）解分式方程：＝+1．

【解答】解：去分母得：3x＝x+3x+3，

解得：x＝﹣3，

检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，

∴分式方程的解为x＝﹣3．