【期末复习】人教版 2023-2024学年 初中数学 八年级上册期末专题复习 专题04 轴对称、等腰三角形 精选试题训练卷 （含解析）

这是一份【期末复习】人教版 2023-2024学年 初中数学 八年级上册期末专题复习 专题04 轴对称、等腰三角形 精选试题训练卷 （含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春•金牛区期末）以下是某些运动会会标，其中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（2022秋•大渡口区校级期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A．B．C．D．
3．（2022秋•莲池区校级期末）已知点和点关于轴对称，则的值为
A．B．5C．D．7
4．（2021秋•泰山区期末）如图，保持的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是
A．关于轴对称
B．关于轴对称
C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位
5．（2022秋•路北区校级期末）如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为
A．4B．5C．6D．5.5
6．（2023春•宁阳县期末）如图，在等边三角形中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为
A．1B．C．D．
7．（2022秋•嵩县期末）如图，是等边的边的中点，为边延长线上一点，，则的度数为
A．B．C．D．
8．（2023春•高州市期末）如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
9．（2022秋•海港区期末）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是
A．6B．10C．8D．12
10．（2022秋•鄂州期末）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画出射线，则
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022秋•孝南区期末）如图，在中，，是高，若，，则的长为 ．
12．（2023春•临清市期末）若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为 ．
13．（2022秋•澄迈县期末）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ．
14．（2022秋•德城区校级期末）如图，已知，平分，且于点，则 ．
15．（2022秋•番禺区校级期末）如图，在中，，，是高．若，则 ．
16．（2023春•开江县校级期末）如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，交于点，若，则线段的长为 ．
17．（2022秋•湖北期末）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 ．
18．（2022秋•历下区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的长是 ．
19．（2023春•梅州期末）如图，在等边中，，分别为边，的中点，，且为上的动点，连接，，则的最小值为 ．
20．（2023春•宝丰县期末）如图，在中，，直线垂直平分，点为的中点，点为线段上一动点，若，等腰面积为12，则的周长的最小值为 ．
三、解答题
21．（2023春•榆林期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
22．（2022秋•垣曲县期末）如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点．
（1）若，则的周长是多少？为什么？
（2）若，求的度数．
23．（2023春•武功县期末）如图，点在内部，点关于、对称的点分别为、，连接交于点，连接交于点，连接，交于点，交于点，连接、．
（1）若，求的周长；
（2）若，，求的度数．
24．（2023春•龙岗区校级期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
（1）若，求的周长；
（2）若，则的度数为 ．
25．（2023春•兴庆区校级期末）如图，中，、在上，且、分别是、的垂直平分线上一点．
（1）若的周长为4，求的长；
（2）若，求的度数；
（3）若，则 ．
26．（2023春•定边县校级期末）已知，如图，是的高线，的垂直平分线分别交，于点，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
27．（2022秋•岳阳县期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
28．（2022秋•金东区期末）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的长．
29．（2023春•建平县期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．
（1）若，，求的度数；
（2）已知的周长，分别连接、、，若的周长为，求的长．
30．（2022春•铜官区期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点，、，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或．
（1）①已知、，则、两点间的距离为 ．
②已知、在平行于轴的直线上，点的纵坐标为4，点的纵坐标为，则、两点的距离为 ；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能确定此三角形的具体形状吗？说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标及的最小值．
31．（2021秋•江油市期末），两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）在轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站，使得抽水站到、两个村庄的距离之和最小，请作出点的位置，并求此时距离之和的最小值．
32．（2022春•福山区期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一点，且的值最小．
（1）求点的坐标；
（2）在轴上有一点，点、、恰好为等腰的三个顶点．
①若为的腰，直接写出点的坐标；
②若为的底边，求点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．【答案】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．
【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点关于轴的对称点为．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
【解答】解：点和点关于轴对称，
，，
的值为：7．
故选：．
4．【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于轴对称．
【解答】解：纵坐标乘以，
变化前后纵坐标互为相反数，
又横坐标不变，
所得三角形与原三角形关于轴对称．
故选：．
5．【答案】
【分析】首先过点作于点，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长．
【解答】解：过点作于点，
，，，
，
，
，，，
，
．
故选：．
6．【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，即可得出的长．
【解答】解：为等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，，
，
故选：．
7．【答案】
【分析】根据“三线合一”可得平分，可得，根据即可作答．
【解答】解：是等边的边的中点，
平分，，
，
，
，
，
故选：．
8．【答案】
【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确；
利用得出，利用8字形可得，可判断②正确；
证明，得，可判断③正确；
由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确．
【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
．
，
，故②正确；
在和中，
，
，
，；故③正确；
，，
是等边三角形；故④正确．
故选：．
9．【答案】
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，根据平行线分线段成比例定理可得，可得结论．
【解答】证明：平分，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
．
故选：．
10．【答案】
【分析】首先连接，由题意易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得的度数．
【解答】解：连接，
根据题意得：，
是等边三角形，
．
故选：．
二、填空题
11．
【分析】求出，根据含角的直角三角形的性质求出，求出，即可得出答案．
【解答】解中，，，
，
是高，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：3．
12．【答案】27．
【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，
，
不能组成三角形，
5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，
能组成三角形，
周长，
综上所述，这个等腰三角形的周长为27．
故答案为：27．
13．
【分析】由等边三角形的性质可得，根据是的高线，可得，再由题中条件，即可求得．
【解答】解：是等边三角形，
，
是的高线，
为的中点，
，
，
，
．
故答案为：3．
14．【答案】12．
【分析】延长交于点，则可知为等腰三角形，则，，可得出．
【解答】解：如图，延长交于点，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：12；
15．
【分析】求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可．
【解答】解：是高，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
16．【答案】2．
【分析】延长交于，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，推出．
【解答】解：延长交于，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
17．【答案】．
【分析】要使最大，则需要最小，而，从而通过圆与相切来解决问题．
【解答】解：方法一、中，，，，
，
垂直平分，
，
若要使最大，则需要最小，
以为圆心，为半径的圆与相切即可，
，
，
，
的最大值为，
方法二：过点作于，连接，
设，则，
，
，
，
解得，
最小值为，的最大值为，
故答案为：．
18．【答案】1．
【分析】设．根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出．再证明，．根据列出方程，求出即可．
【解答】解：设．
的垂直平分线交于点，交于点，
，，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
故答案为：1．
19．【答案】3．
【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，由，根据即可求得的最小值．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，
等边三角形为轴对称图形，
点在线段上，
，
，即的最小值为的长，且此时，
根据等边三角形三边上的高相等，即，
的最小值为3．
故答案为：3．
20．【答案】8．
【分析】连接，，利用线段垂直平分线的性质将转化为另一侧的，再利用两点之间线段最短得到和的最小值为的长，从而求出的周长的最小值．
【解答】解：连接，，
直线垂直平分，
，
点为的中点，，
，，
的周长，
的周长的最小值为的长；
，
，
的周长的最小值为：．
故答案为：8．
三、解答题
21．【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定得出，根据垂直平分线的性质得出，等量代换即可得出结论；
（2）根据等边对等角得出，再根据三角形的外角的性质得出，再根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出答案．
【解答】（1）证明：为的中点，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
22．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到的周长；
（2）依据，，即可得到，，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得到，再根据进行计算即可．
【解答】解：（1）的周长为10．
直线与分别是边和的垂直平分线，
，，
的周长；
（2）直线与分别是边和的垂直平分线，
，，
，，
又，
，
，
．
23．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．
（2）根据轴对称的性质和三角形的内角和定理解答．
【解答】解：（1）根据题意点关于、的对称点分别为、，
故有，；
则．
的周长；
（2）根据题意点关于、的对称点分别为、，
，，
，，
，
．
24．【答案】（1）；
（2）50．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：（1），分别垂直平分边和边，
，，
的周长，
，
的周长为；
（2），
，
，
，，
，
由（1）可知：，，
，，
，
，
故答案为：50．
25．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出的度数，根据等腰三角形的性质求出，根据题意计算即可；
（3）根据（2）的方法解答．
【解答】解：（1）、分别是、的垂直平分线上一点，
，，
的周长，
，即的长为4；
（2），
，
，，
，，
，
；
（3），
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
26．【答案】（1）；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的概念得到，证明，根据平行线的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到，由（1）的结论证明即可．
【解答】（1）解：是的垂直平分线，
，
，
，
；
（2）证明：是的垂直平分线，
，，
，
由（1）可知，，
．
27．
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得，结合（1）中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1），
，
，
是等边三角形．
解：
（2）是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
，，
，
，
是直角三角形．
（3）是等边三角形，
．
，，
，
，
．
①当时，，
．
②当时，，
．
③当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
28．【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到，故此可得到，即可得是等腰三角形；
（2）先求得，然后由进行求解即可．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
；
，
，，
；
，
，
，
，
，
．
为等腰三角形；
（2）解：由（1）可知，
，
又，
，
．
29．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，可求出答案；
（2）连接，，，根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，计算即可．
【解答】解：（1），，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
同理，，
，
；
（2）连接，，，
的周长
，
；
的周长为15，
，
，
，
垂直平分，
，
同理，，
．
30．【答案】（1）①13； ②5；
（2）为等腰三角形，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）①直接利用两点间的距离公式计算；
②根据平行于轴的直线上所有点的横坐标相同，所以、间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值；
（2）先利用两点间的距离公式计算出、、，然后根据等腰三角形的定义可判断为等腰三角形；
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的长度最短，求得直线的解析式为：，于是得到结论．
【解答】解：（1）①，
故答案为：13；
②；
故答案为：5；
（2）为等腰三角形．理由如下：
，，，
，
为等腰三角形；
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时，的长度最短，
，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，，
的最短长度．
31．【答案】，．
【分析】（1）根据图象即可得到答案；
（2）先求出点关于轴的对称点的坐标，连接交轴于，此时最小，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，；
（2）作关于轴的对称点，
连接交轴于，
则点就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即最小的点，
的长度即为的最小值，
的最小值．
32．【分析】（1）如图1中，作点与点关于轴对称，连接交轴于，此时最小．求出的解析式即可解决问题．
（2）①在中，，，可知，分两种情形讨论为等腰三角形的顶角，为等腰三角形的顶角即可．
②如图2中，作的垂直平分线交于，交轴于，设，则，在中，根据，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作点与点关于轴对称，连接交轴于，此时最小．
点的坐标为，
设直线的解析式为，则有，解得，
直线的解析式为，
令，，，
点坐标为．
（2）①在中，，，
，
为的腰，点的坐标为或或．
②如图2中，作的垂直平分线交于，交轴于，
，设，则，
在中，，
，
，
点坐标，．