【期末满分冲刺】人教版数学八年级上册-专题04《等腰三角形的综合问题》期末重难点突破

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专题04 等腰三角形的综合问题



1．在等腰中，，，动点F在射线BC上，点E是AF上一点．
(1)如图，若点F在延长线上，点D为内一点，且满足，，求证：．


(2)如图，若点F在边BC上，且满足，，面积为33，求AE的长．


【答案】(1)见解析
(2)AE的长为6
【分析】（1）根据证明，即可得出答案；
（2）过点C作较的延长线于点G，连接，根据证明，得出，，证明，根据三角形面积公式得出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：过点C作较的延长线于点G，连接，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
故AE的长为6．
【我思故我在】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，解题关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．

2．在中，经过点的直线交边于点，，是直线上一动点，以为边在的左侧作，使且，连接．

(1)如图，求证：；
(2)探究点的运动路径，并直接写出你得到的结论；（提示：尝试取几个不同位置的点，画图探索结论）
(3)当时，若，求的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)证明见解析
(2)点的运动路径是经过点且垂直于的直线
(3)或
【分析】（1）先证明，证明，根据全等三角形对应边相等，即可得证；
（2）取的中点，连接，由（1）得到，继而得出，，根据三线合一，得出，，则，证明，得出，则点的运动路径为过点且垂直于的直线；
（3）取的中点为，连接，设，分当点在的上方与当点在的下方时，根据构造方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解，如图

，
∴，
即，
在与中，

∴，
∴；
（2）解：如图1，

如图1，取的中点为，连接，
由(1)得，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动路径为过点且垂直于的直线；
（3）如图2，取的中点为，连接，设，

当点在的上方时，如图2，
由（1）（2）得，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
当点在的下方时，如图3

由（1）（2）得，，，
∴
，
，
在中，，
∴，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的度数为或．
【我思故我在】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，分类讨论，利用方程的思想解决问题是解题的关键．
3．等腰三角形的一个角为，则其余两角的度数是（    ）
A．， B．，
C．，或， D．无法确定
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和是，由题干条件即可得出答案．
【详解】解：因为三角形的内角和是，三角形是等腰三角形，需考虑2种情况：
（1）当顶角是时，两个底角的度数为：
（2）当底角是时，则另两个角的度数分别为和
故选：C
【我思故我在】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和是的知识点，掌握等腰三角形的性质是关键．
4．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为(　　)

A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意先过点作的延长线的垂线，证明，再证明得到，最后可以得到，即可求解．
【详解】如图，过点作的延长线的垂线于点，
是等边三角形，
=，
，
=，
又，
，
又，
，
，
同理可证， ，
，
，
．
故选：A ．

【我思故我在】本题属于全等三角形的综合问题，考查作辅助线，全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是关键．
5．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是、，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
③若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，然后由等角对等边及三角形内角和定理及三角形外角的性质依次判断证明即可．
【详解】解：①如图所示：，，

∴，
作的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴与为等腰三角形，故①正确；
②如图所示：为直角三角形，，

∴，，
作交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，为等腰三角形，故②正确；
③如图，∠C=α，∠A=2α，

作∠DBC=α，交AC于D
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2α=∠A，
∴BD分成的两个三角形都是等腰三角形，
如果三个角分别是50°，100°，30°不成立，
故结论③错误；
④如图所示：，设，则，
∴，
过点B作，
∴为等腰三角形；，，
∴,
∴为等腰三角形，故④正确；
综上可得：①②④正确，符合题意；
故选：C．
【我思故我在】题目主要考查等腰三角形等角对等边及三角形内角和定理、三角形外角的性质，理解题意作出相应图形求解是解题关键．
6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（　　）

A．36° B．54° C．18° D．64°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-36°=54°．
故选：B．
【我思故我在】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
7．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其分为周长之差为的两部分，则腰长为（    ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质设腰长为，一腰上的中线为，根据已知条件列式求解即可；
【详解】解：如图，在中，，D为边的中点．

设腰长为，一腰上的中线为，
则或，解得或1，
∴或2．①三边长为时，符合三角形三边关系；②三边长为时，，不符合三角形三边关系．
故选B
【我思故我在】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，结合三边关系进行求解是关键．
8．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ）秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设运动的时间为x秒，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x，
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4
故选：D．
【我思故我在】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
9．如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则的度数是（    ）．

A．60度 B．55° C．50° D．45°
【答案】C
【分析】连接EB，先求出∠BAE=25°，进而求出∠EBC=40°，求出∠CEF=∠ECB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
【详解】解：如图，连接BE，
∵∠BAC=50°，AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠BAE=25°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-25°=40°．
∵AE为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=40°，
∵将∠ACB沿FG折叠，
∴EF=CF，
∴∠CEF=∠ECF=40°；
在△ECF中，∠EFC=180°-∠CEF-∠ECF=180°-40°-40°=100°，
∴∠CFG=∠CFE=50°．
故选：C．

【我思故我在】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
10．如图，已知在中，，点三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④；⑤若，则． 其中结论正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；再利用得到垂直于，本选项正确；根据周角计算，再计算出就可以进行判断．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，本选项正确；
∵，
若 则，
∵不一定等于，
∴不一定成立，本选项不正确；
，
，
，
则，本选项正确；
⑤∵，
∴，
∴
，
Rt中，

，
又∵．
∴，
∴，
∴，
故此选项正确，
故选：C．
【我思故我在】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
11．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ）个．
①；②；③；④．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用ASA证明△BDN≌△CDM，得DN=DM，从而说明△DMN是等腰直角三角形，可知①正确；过点D作DF⊥MN于F，利用AAS证明△DEF≌△CEM，得ME=EF，CM=DF，可说明②正确；设EF=x,则EM=x,MC=MF=DF=2x,NE=3x,得EM：MC：NE=1：2：3，可知③正确；由△BED≌△CAD，知S△BED=S△CAD，而点N并不是BE的中点，可说明④错误．
【详解】解：①∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴BD=CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB=∠ADC=90°，
∴∠A+∠DBN=90°，
∠A+∠DCM=90°，
∴∠DBN=∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN=90°，
∵∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN，
∵∠DBN=∠DCM，BD=CD，∠CDM=∠BDN，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN=DM，
∵∠MDN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN=45°，
∴∠AMD=90°-45°=45°，
故①正确；
②由①知，DN=DM，
过点D作DF⊥MN于F，

则∠DFE=90°=∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF=FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△DEF与△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME=EF，CM=DF，
∴FN=CM，
∵NE-EF=FN，
∴NE-EM=MC，
故②正确；
③由ME=EF，MF=NF，
设EF=x,则EM=x,MC=MF=DF=2x,NE=3x,
∴EM：MC：NE=1：2：3，
故③正确；
④如图，∵CD⊥AB，
∴∠BDE=∠CDA=90°，
由①知，∠DBN=∠DCM，BD=CD，
∴△BED≌△CAD（ASA），
∴，
由①知，△BDN≌△CDM，
∴BN=CM，
∵CM=FN，
∴BN=FN，
∴BN＜NE，
∴，
∴，
∴，
故④错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
【我思故我在】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
12．如图，在第一个 中，，，在边上任取一，延长到，使，得到第个，在边上任取一点，延长 到，使，得到第三个，…按此做法继续下去，第 个等腰三角形的底角的度数是________________．

【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角度数．
【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C = =75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°=37.5°；
同理可得，
∠EA3A2= ，∠FA4A3= ，
∴第n个等腰三角形的底角的度数=．
故答案为．
【我思故我在】此题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，进而找出规律是解题的关键．
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_______．

【答案】50°
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD
∵∠DBC=15°
∴∠ABC=∠A+15°
∵AB=AC
∴∠C=∠ABC=∠A+15°
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°
解得∠A=50°
故答案为：50°．
14．如图，在中，平分交于E，平分交于D，图中有__________个等腰三角形．

【答案】5
【分析】利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案；
【详解】∵，
∴是等腰三角形．
∴．
∵平分交于E，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∵平分，
∴．
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形，
∴共有5个等腰三角形，
故答案为：5．
【我思故我在】本题主要考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，准确判断是解题的关键．
15．如图,在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点O作EF∥BC,分别与边AB、AC相交于点E、F,AB=8,AC=7,那么△AEF的周长等于_______.

【答案】15
【分析】由题易知BE=OE，OF=FC，可得到△AEF的周长实际为AB+AC的长度
【详解】∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC, ∠FOC=∠COF
∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠OBC=∠OBE, ∠FOC=∠OCB
∴∠EOB=∠OBC=∠OBE，∠FOC=∠COF=∠OCB
∴BE=OE，OF=FC
∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+FC+AF=AB+AC=8+7=15
故填15
【我思故我在】本题综合了三角形周长计算，等腰三角形性质和平行线性质，能够进行边的替换是解题关键
16．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ___________．

【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．
【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，  
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．等边，D为外一点，，射线与直线相交于点M，射线与直线相交于点N．

(1)当点M、N在边上，且时，猜想之间的数量关系，并且请证明．
(2)当点M、N在边的延长线上时，请画出图形，并写出之间的数量关系．
【答案】(1)，证明见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）在的延长线上截取，连接．可证，即可得，易证得，则可证得，然后由全等三角形的性质，即可得结论；
（2）首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得，则可得．
【详解】（1）解： 之间的数量关系：．
证明：在在的延长线上截取，连接．

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解∶根据题意补全图形，如图：

证明：在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【我思故我在】此题考查了等边三角形，全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
18．如图，和中，，交于点．

(1)如图1，求证：与的数量与位置关系并说明理由；
(2)连接，求证：平分；
(3)如图2，时，直接写出的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）证明得出，可得，，设交于点，根据三角形内角和定理可得；
（2）连接，过点作，证明，得出是等腰直角三角形，结合（1）的结论，即可得证；
（3）方法同（1）证明，根据已知条件即可得证
【详解】（1）证明：，
理由：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴；，
如图，设交于点，

∵，
∴，
∵，，
∴．
∴；
（2）如图，连接，过点作，

∵理由：∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，，
即，
在和中，
，
∴．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（3）解：如图2，

∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
【我思故我在】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点．
(1)如图1，求的度数；

图1
(2)如图2，过点 作于点，若，，求的长度．

图2
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用 证明，再利用三角形外角的性质即可得出答案．
（2）利用全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图1，

图1
∵为等边三角形
∴，
在和中
∵
∴（）
∴
在中，
（2）解：如图2，

图2
∵
∴
在中，

∴

∴
∴．
【我思故我在】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是利用 证明．
20．如图1，在等腰中，，点为边上一点（不与点、点重合），，垂足为，交于点.
（1）请猜想与之间的数量关系，并证明；
（2）若点为边延长线上一点，，垂足为，交延长线于点，请在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立.若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明.

【答案】（1）猜想：.证明见解析；（2）如图2所示，（1）中的结论仍然成立，证明见解析.
【分析】（1）结论：PN=2BM．如图1中，作PE∥AC交BC于E，交BD于F．只要证明（ASA）即可解决问题；
（2）结论不变，证明方法类似（1）；
【详解】（1）猜想：.
证明：如图1，过点作，交于点，
，
，
.
，
.
∴.
，

.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.

（2）如图2所示，（1）中的结论仍然成立
证明：如图2，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，
.
∴，
.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.

【我思故我在】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．

(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)45°

【分析】（1）利用SAS即可证明；
（2）证明，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，过点C作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，由，得到，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．
（1）
证明：如图1中，

在△ACE和△BCD中，

∴（SAS），
（2）
证明：如图2中，

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB＋∠ACD=∠ECD＋∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，

∴（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD；
（3）
∠AFG=45°，理由如下：
如图3，过点C作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，

∵由（2）得：，
∴，AE=BD，
∴，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=∠EFC=45°．
【我思故我在】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解决本题的关键是证明．