专题11 垂直平分线（中垂线）重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

这是一份专题11 垂直平分线（中垂线）重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版），文件包含专题11垂直平分线中垂线重难点专练解析版-2022-2023学年八年级上册数学专题训练浙教版docx、专题11垂直平分线中垂线重难点专练原卷版-2022-2023学年八年级上册数学专题训练浙教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。

专题11垂直平分线（中垂线）重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2020·浙江宁波市·）如图，在中，，据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论．
【详解】
解：根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点，AE=BE，
∵，
∴CD= AB=AD=BD，
∴∠DBC=∠DCB，∠BAE =∠ACD，
综上所述，A选项错误，B，C，D选项都正确，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
2．（2020·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若 ，，则的周长为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】
根据线段垂直平分线的性质即可得到BD=CD，即可得到的周长．
【详解】
解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=7
∵AB=5，
∴的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+7=12，
故选：C．
【点睛】
本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
3．（2020·浙江金华市·）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线，与交于点P，若，则等于（ ）

A．100° B．120° C．132° D．140°
【答案】C
【分析】
根据基本作图可判断MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，根据垂直平分线的性质可得，再利用等腰三角形的性质得到，，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接、、、、、，

由作法可知垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
4．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）如图所示，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则线段的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接，由三角形全等以及三线合一可知垂直平分线段，推出，设，在中， ，根据构建方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接，
由已知条件可知垂直平分线段，
∴，
设，，
在中， ，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故选：A．

【点睛】
本题考查了基本作图，圆的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（2022·浙江宁波市·八年级期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则的度数是（ ）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．
【详解】
解：∵∠BAC＝100°，
∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠GAC＝∠C，
∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，
∴∠EAG＝100°−80°＝20°，
故选B．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（【新东方】【2022.5.18】【JX】【初二下】【数学】【JX0006】）如图，在菱形中，①分别以为圆心，大于一半长为半径作弧，两弧分别交于点；②作直线交边于点，且直线恰好经过点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）

A． B．若，则 C． D．
【答案】B
【分析】
如图，连接AC，证明△ABC，△ACD都是等边三角形即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AC．

由作图可知，EF垂直平分线段CD，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=BC=AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABC=60°，故A正确，不合题意；
∵AB=CD=2DM，AB∥CD，
∴AB=2DM，
∴S△ABM=2S△ADM，故C正确，不合题意；
∵BC=CD=2CM，故D正确，不合题意；
若，则CM=DM=1，
∵AM⊥CD，AB∥CD，
∴AB⊥AM，，
∴，故B错误，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（【新东方】初中数学1222初二上）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【分析】
证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【详解】
解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，

∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
8．（2020·浙江八年级月考）如图，矩形中，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知M再BE的垂直平分线上运动，根据点到直线的距离垂线段最短可知当DM与BE的垂直平分线垂直时最短，但结合图形可知DM不可能与垂直，所以可知当运动时长的最小，此时为等边三角形，求得，运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，，

∴，，∠ABC=∠C=90°，
∵，
∴AE=2，ED=6，
∴，
∴∠ABE=30°，∠EBC=60°，
连接EM，BM，
∵是线段的中点，
∴，
∴M在BE的垂直平分线上运动，
∴作BE的垂直平分线与BC交于，当运动时长的最小，
此时,
∵∠EBC=60°，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，根据勾股定理
．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质和判定定理，等边三角形的性质和判定，勾股定理等．能根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和垂直平分线的判定定理得出M的运动轨迹是解题关键．
9．（2022·浙江八年级期末）如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由题意易得OB=OC，则有∠OBD=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④．
【详解】
解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：

∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．


二、填空题
10．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM，ON上各取一点B，C，分别连接A，B，C三点组成三角形，则△ABC最小周长为 ________ .

【答案】4
【分析】
作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，再由勾股定理求得A´A´´长，由三角形周长公式结合等量代换即可求得答案．
【详解】
作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，如图，

∴AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，
∵∠MON=45°
∴∠AOA´´=90°
∴A´A´´==4（cm）
∴△ABC 周长=AB+AC+BC=A´B+A´´C+BC=A´A´´=4（cm）
即△ABC的周长最小值为4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了轴对称、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解．
11．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，在△ABC 中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么AB=________

【答案】12
【分析】
根据垂直平分线定理得出DA=DB，再由三角形周长公式结合等量代换得BC+CA=22，由已知条件求得AB长.
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵C△BDC=BC+CD+DB=22，
即BC+CD+DA=BC+CA=22，
∵BC=10，AB=AC，
∴AC=22-10=12，
即AB=12.
故答案为：12.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
12．（2019·浙江宁波市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当的周长最小时，的度数为_________．

【答案】100°
【分析】
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，

作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：A′N= AN，A″M=AM
∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
13．（2020·萧山区高桥初级中学八年级月考）如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．

【答案】100
【分析】
连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【详解】
解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．

【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
14．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）如图在钝角△ABC中，已知∠BAC=135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，则∠DAE=_____

【答案】90°
【分析】
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接DA、EA，如图，

∵∠BAC=135°，
∴∠B+∠C=180°-135°=45°，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，
∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，
∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．
故答案为：90°．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
15．（【新东方】初中数学1150）如图，在等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=6，D、E分别为AB、AC边上的点，将边AD沿DE折叠，使点A落在CD上的点F处，当点F与点C重合时，AD=____________．

【答案】
【分析】
由题意可知，当C和F重合时，DE为AC(F)的中垂线,过C作CG垂直于AB交AB于G点,可得AG=3,CG=4,设：AD=x,则BD=6-x，由已知可得DG=x-3,在Rt△CDG中，由勾股定理列出方程可求得x，即为AD．
【详解】
解：由题意可知，当C和F重合时，如下图

由于AD沿DE折叠至CD，故DE为AC(F)的中垂线过C作CG垂直于AB交AB于G点
设AD=x，由中垂线性质可得，CD=AD=x，
则BD=6-x；
∵AC=5，CG为等腰△ABC底边AB上的高，且AB=6
∴，CG=4，
∴DG=BG-BD=x-3；
在Rt△CDG中，由勾股定理，得：CG²+DG²=CD²；
即：；
解得：；
∴
故答案为：
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于画出图形和掌握作辅助线．
16．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，AD平分，PD垂直平分AB连接BD并延长，交边AC于点E．若是等腰三角形，则的度数为________．


【答案】45°或36°．
【分析】
设∠BAD=∠CAD=α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC、∠BEC和∠C，再分三种情况讨论即可．
【详解】
解：∵AD平分，
∴设∠BAD=∠CAD=α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=，
∵PD垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=，
∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,
当BE=BC时，
∴∠BEC=∠C，即，解得，
∴；
当BE=CE时，∠EBC=∠C，此时E点和A点重合，舍去；
当BC=CE时，
∴∠EBC=∠BEC，即，解得，
∴，
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．
17．（2022·淮北市第二中学）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为___________．


【答案】8
【分析】
连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM＋DM＝AM＋DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB＋DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【详解】
解：连接AD交EF与点M′，连接AM．


∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8．
故答案是：8．
【点睛】
本题主要考查最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
18．（【新东方】【宁波】【初二上】【数学】【00022】）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．

【答案】8
【分析】
先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR的周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
【详解】
解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF，
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=8，即在保持OP=8的条件下△PQR的最小周长为8．
故答案为：8．
．
【点睛】
本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
19．（2020·浙江八年级期末）如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__．

【答案】16
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，然后由△CDM的周长为8，求得平行四边形ABCD的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.
故答案为:16.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质.
20．（2020·瑞安市安阳实验中学八年级月考）如图，是等边三角形，平分，点E在线段上，，的延长线交于点F，，连接交于点H．若，则的面积为_______．

【答案】
【分析】
根据等边三角形的性质和角平分线的性质证明，得到，判断；再求证 ， ，得出，解直角三角形可得到AD,DE,DH长度，进而可求得的面积．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，平分，
∴CD⊥AB，AD=DB，∠BCD=∠ACD=30°
在△ACE和△BCE中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵， ，
∴ ，
∴，
在RT中， ，
∴ ， ，即
∴
∵即
∴，
在RT中，，
∴ ，
∴
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
21．（2019·浙江台州市·八年级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．

【答案】9．
【分析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故答案为9．

【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键.

三、解答题
22．（2020·浙江宁波市·）如图，在中，，为角平分线．

图1 图2
（1）如图1，已知，．求的面积；
（2）在（1）的条件下，垂直平分线与交于点，画图并求的长．
（2）如图2，若为等边三角形，，分别为边，上的动点，且满足．设，，，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）60；（2）图见解析，；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）延长MD至G，使DG＝MD，连接GN、GC，作GH⊥AN交AN的延长线于H，证明△BDM≌△CDG，根据全等三角形的性质得到CG＝BM＝a，∠BCD＝∠B＝60°，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
（1），为角平分线，
，且，
由勾股定理得：，
；
（2）画图如图所示，

垂直平分线与交于点，
，
设，则，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2＋CD2，，
解得：，
即AE=；
（3）延长至，使，连结，，延长，过作于，

在△BDM和△CDG中，，
∴△BDM≌△CDG（SAS），
∴CG＝BM＝a，∠BCD＝∠B＝60°，
∴∠GCH＝60°，
∴∠CGH＝30°，
∴CH＝a，
由勾股定理得，GH＝＝a，
∵MD＝DG，ND⊥MG，
∴GN＝MN＝c，
在Rt△NGH中，GN2＝GH2＋NH2，即c2＝（a）2＋（b＋a）2，
整理得，a2＋ab＋b2＝c2．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及勾股定理．掌握等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
23．（2020·浙江八年级期中）已知，如图，；

（1）请在上作出点，使（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求出的周长．
【答案】（1）见解析；（2）20．
【分析】
（1）作AB的垂直平分线交BC于点D，故可得DA=DB；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，结合题目条件可求出结论．
【详解】
解：（1）如图所示，

（2）由（1）知，DA=DB，
∵
∴的周长=AD+DC+AC=BC+AC=12+8=20．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
24．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在等边中，是的一个外角．
实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）第一步：作的平分线；
第二步：作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点．
（2）在（1）的基础上，若，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）根据角平分线的作法以及垂直平分线的作法解答即可
（2）根据BF是AC的垂直平分线，证得OC=4，OC⊥BF，∠CBF=30°，进而由勾股定理求得OB=，再根据CM平分∠ACD，证得CB=CF，最后可求得BF=OM+OB=.
【详解】
（1）如图，

（2）∵△ABC为等边三角形，且BC=8，
∴AC=BC=8，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°，
∵BF是AC的垂直平分线，
∴OC=AC=4，OC⊥BF，
∴∠CBF=∠ABC=30°，
∴在中，，
∵CM平分∠ACD，
∴∠ACM=∠ACD=60°，
∴∠CFB=30°
∴∠CFB=∠CBF，
∴CB=CF，
∴AC是BF的垂直平分线，
∴OM=OB=，
∴BF=OM+OB=
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、角平分线与垂直平分线的作图及其性质，同时还考查了垂直平分线的逆定理以及勾股定理，熟练掌握角平分线与垂直平分线的性质是解题的关键.
25．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图，中，，边的垂直平分线交、分别于点D，点E，连结．

（1）若，求的度数；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）10°；（2）14
【分析】
（1）由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，然后由Rt△ABC中，∠C=90°，求得∠ABC的度数，继而求得答案；
（2）根据勾股定理得到AC=8，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=40°，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=10°；
（2）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+CE=AC=8，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AC+BC=14．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；勾股定理，应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用．
26．（2020·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）已知：如图，在中，，，点D为AB延长线上一点，点E在CD上，AE交BC于点F，且．

（1）与全等吗？请说明理由．
（2）若点E恰好是CD中点，求证：为等腰三角形．
【答案】（1）全等，详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）根据已知条件利用HL即可证得与全等；
（2）根据△ABF≌△CBD，得到∠AFB=∠D，从而推出∠AED=，即AE⊥CD，得到AE垂直平分CD，证得AC=AD，即可得到结论．
【详解】
（1）与全等，理由如下：
∵，
∴∠CBD=，
在Rt△ABF和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CBD(HL)；
（2）∵△ABF≌△CBD，
∴∠AFB=∠D，
∵∠AFB+∠BAF=，
∴∠D=∠BAF=，
∴∠AED=，即AE⊥CD，
∵点E是CD的中点，
∴AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴为等腰三角形．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等腰三角形的判定定理，正确应用全等三角形的判定及性质是解题的关键．
27．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）在中，，小明用尺规作图的方法作的垂直平分线与的交点P，请你根据如图所示作图方法求出图中线段的长．

【答案】
【分析】
连接AP，根据作图痕迹得到PQ垂直平分AB，继而得到AP=BP，设PC=x，表示出BP即为AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：如图，连接AP，
∵由作图痕迹可得：直线PQ垂直平分AB，
∴AP=BP，
∵，
∴BC==8，
设PC=x，则有AP=BP=BC-PC=8-x，
在Rt△ACP中，AC=6，
根据勾股定理得：（8-x）2=x2+62，
整理得：64-16x+x2=x2+36，
解得：x=，
则PC=．

【点睛】
此题考查了勾股定理，线段垂直平分线定理，熟练掌握各自的定理是解本题的关键．
28．（2020·浙江金华市·八年级期末）已知，等腰Rt△ABC，∠BAC=Rt∠，在直角边AB的左侧直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，CE，其中CE交直线AP于点F．

（1）依题意，在图1中补全示意图：当∠PAB=18°时，求∠ACF的度数；
（2）当0°<∠PAB<90°且∠PAB≠45°时，求∠AFB的度数；
（3）如图2，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）27°；（2）135°或45°；（3）FE2+FC2=2AB2，证明见解析
【分析】
（1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出∠EAP=∠PAB=18°，得出∠EAC=126°，证出AE=AC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果
（2）分两种情况：当0°<∠PAB<45°时，当45°<∠PAB<90°时分别求解即可
（3）作CG⊥AP于G，由AAS证明ΔACG≌ΔBAM，得出CG=AM，证出点A是ΔBCE的外接圆的圆心，∠BEC=12∠BAC=45°，得出ΔEFM和ΔCFG是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论
【详解】
解：（1）补全示意图如图所示

连接AE，设AP与BE交于点M，如图：

由轴对称的性质得
AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，∠AME=∠BMA=90°
∴∠EAP=∠PAB=18°
∴∠EAC=90°+2×18°=126°
∵ΔABC是等腰直角三角形
∴AB=AC
∴AE=AC
∴∠ACF=∠AEC=12180°-126°=27°
（2）当0°<∠PAB<45°时，如图：

由（1）得∠AEC=∠ACE，∠EAP=∠PAB，∠CAB=90°
在ΔAEC中
∠AEC+∠ACE+∠EAF+∠BAF+∠BAC=180°
∴2∠AEC+2∠EAF=90°
∴∠AEC+∠EAF=45°
∴∠AFE=135°
∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴ΔAFE≌ΔAFB
∴∠AFB=∠AFE=135°
当45°<∠PAB<90°时，如图：

∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴ΔAFE≌ΔAFB
∴∠FEA=∠FBA
∵AE=AB=AC
∴∠FEA=∠FCA
∴∠FCA=∠FBA即∠FCG=∠ABG
在ΔABG与ΔFCG中
∠FCG=∠ABG，∠AGB=∠FGC
∴∠CFG=∠BAG=90°
∴∠AFB=∠AFE=45°
由上可知，∠AFB的度数为135°或45°
（3）FE2+FC2=2AB2，理由如下：
由（2）得：
FE=FB，∠BFC=90°
∴FB2+FC2=BC2
∴FE2+FC2=BC2
∵在ΔBAC中BC2=2AB2
∴FE2+FC2=2AB2
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键
29．（2020·浙江嘉兴市·）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，AB的垂直平分线MN交AD于点O，连接BO并延长交AC于点E，AH⊥BE，垂足为H．

（1）求证：△ABD≌△BAH．
（2）若∠BAC=30°，AE=4，求BC的长；
（3）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D是AC上的一点，且∠ABD=20°，若BC=12，请你直接写出AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）42；（3）43
【分析】
（1）根据题意利用中线的性质和垂直平分线的性质，即可解答
（2）根据题意和由（1）得到AH=EH，再利用勾股定理得到AH=22，最后利用全等三角形的性质，即可解答
（3）作AE⊥BC于E，AH⊥BD于H，可得△ABE≌△BAH，设DH=x，则AD=2x，利用勾股定理即可解答
【详解】
（1）证明：
∵AB=AC，AD是BC上的中线
∴AD⊥BC
又∵AH⊥BE
∴∠ADB=∠H=90°
∵MN是AB的垂直平分线
∴AO=BO
∴∠OAB=∠ABO
又∵AB=BA
∴在△ABD与△BAH中
∠ADB=∠H∠OAB=∠ABOAB=BA
∴△ABD≌△BAHAAS
（2）解:∵AB=AC， AD是BC上的中线，∠BAC=30°
∴∠BAD=15°
由（1）知，∠ABO=15°
∴∠AEH=∠ABO+∠BAC=45°
∵AH⊥BE
∴∠EAH=45°
∴AH=EH
由AE=4可得
AH=22
∵△ABD≌△BAH
∴BD=AH
∴BC=2BD=2AH=42
（3）如图，作AE⊥BC于E，AH⊥BD于H

仿（1）可得△ABE≌△BAH
且∠ADH=60°
∴AH=BE=12BC=12×12=6
设DH=x，则AD=2x
在RtΔAHD中
62+x2=2x2
得x=23（负值舍去）
∴AD=43
【点睛】
此题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线
30．（2020·浙江）如图，在中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC=30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系并说明理由．

【答案】（1）∠FDC=60°（2）∠AED=2∠B，理由见解析
【分析】
（1）根据垂直平分线及高线的性质即可求解．
（2）根据高的定义和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得EFBC，∠AED=2∠AEF，再根据平行线的性质得∠AEF=∠B，故可得∠AED=2∠B．
【详解】
解：（1）∵AD是BC边上的高线，EF是AD的垂直平分线，∠DAC=30°
∴AF=FD，∠ADC=90°
∴∠FDA=30°，
∴∠FDC=90°-30°=60°．
（2)∵AD是BC边上的高线，EF是AD的垂直平分线，
∴EFBC，EA=ED，
∴∠AED=2∠AEF，
∴∠AEF=∠B，
∴∠AED=2∠B．
【点睛】
本题考查了垂直平分线及高线的性质，平行线的判定及性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线、高线、平行线性质．
31．（2020·浙江八年级期末）已知，如图，线段BC．
（1）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．（用不带刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，在l上取点A（点D除外），连接AC，AB，过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N． 求证:DM=DN．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据垂直平分线的尺规作图方法即可作出直线l；
（2）根据垂直平分线的性质可AB=AC，BD=DC，再根据等腰三角形的三线合一得到∠DAB=∠DAC，然后根据角平分线的性质即可证得DM=DN．
【详解】
解：（1）如图直线l即为所求；

（2）证明：
∵ 直线l是线段BC的垂直平分线，点A是直线l上一点，
∴AB=AC，BD=DC，
∴ ∠DAB=∠DAC
∵ DM⊥AC，DN⊥AB
∴ DM=DN

【点睛】
本题考查了基本尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、角平分线的性质，熟练掌握这些知识的灵活运用是解答的关键．
32．（【新东方】初中数学1233初二上）已知线段，按如下要求作图：

（1）作，使得，；
（2）在中，找到一点，使得到三角形各顶点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）画射线BD，取BC=b，再分别以点B和点C为圆心，以a为半径画弧，交于点A，连接AB和AC即可；
（2）分别作出BC和AB的垂直平分线，交于点P即可．
【详解】
解：（1）如图，△ABC即为所作；
（2）如图，点P即为所作．

【点睛】
本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解垂直平分线上的点到线段两端距离相等．
33．（【新东方】初中数学1243初二上）先填空，后作图：

（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在它的______________上；
（2）到线段两端距离相等的点在它的_______________上；
（3）如图，两条公路与是两个村庄，现在要建一个菜市场P，使它到两个村庄的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）角平分线；（2）垂直平分线；（3）见解析
【分析】
（1）直接利用角平分线的性质分析得出答案；
（2）直接利用线段垂直平分线的性质分析得出答案；
（3）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法画出符合题意的图形即可．
【详解】
解：（1）到一个角的两边距离相等的点在它的角平分线上；
故答案为：角平分线；
（2）到线段两端点距离相等的点在它的垂直平分线上；
故答案为：垂直平分线；
（3）如图所示：点P即为所求．

【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
34．（【新东方】初中数学1174初二上）如图，在中，平分交于点F，垂足是E，与交于点A．

（1）求证：；
（2）求证：是的中垂线；
（3）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）欲证明BF=AC，只要证明△BDF≌△CDA（ASA）即可；
（2）只要证明BC=BA即可解决问题；
（3）连接AF，根据△BDF≌△CDA得到AD=DF，求出AF，再根据垂直平分线的性质可得CF=AF．
【详解】
解：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，
∴∠DBF=∠DCA，
∵BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴BF=AC．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BEA=∠BEC=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠BCA+∠CBE=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴BC=BA，
∵BE⊥AC，
∴CE=EA，
∴BE是AC的中垂线．
（3）连接AF．

∵△BDF≌△CDA，
∴AD=DF=1，AF=，
∵BE垂直平分AC，
∴CF=AF=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
35．（【新东方】【宁波】【初二上】【数学】【00012】）如图，按下列要求作图：
（1）用尺规作出的角平分线；
（2）用尺规在找出点P，使（要求有明显的作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的作法作出∠ACB的平分线即可；
（2）作AB的垂直平分线，交BC于点P即可．
【详解】
解：（1）如图，CD即为所作；
（2）如图，点P即为所作．
可得：AP=BP，
∴∠PAB=∠B，
∴∠APC=2∠B．

【点睛】
本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，利用外角的性质分析∠APC=2∠B，从而得出作法．
36．（【新东方】初中数学1305【初二上】）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．

（1）若，求的度数；
（2）若的周长为30，求的长．
【答案】（1）15°；（2）14
【分析】
（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）根据AE=8，AB=AC，得出CD+AD=16，由△CBD的周长为30，代入即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=（180°-50°）÷2=65°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°；
（2）∵AE=8，
∴AC=AB=2AE=16，
∵△CBD的周长为30，
∴BC=30-（CD+BD）=30-（CD+AD）=30-16=14．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
37．（2022·浙江湖州市·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，如图所示，．

（1）作出关于轴对称的图形；
（2）求出的面积；
（3）在边上找一点连结，使得．（请仅用无刻度直尺按要求画图）
【答案】（1）见解析 （2）8 （3）见解析
【分析】
（1）分别作出A，B，C关于y轴的对称点连接即可；
（2）根据三角形的面积，确定三角形的底和高计算即可；
（3）根据已知条件可知x轴所在的直线为AB线段的垂直平分线，判断即可；
【详解】
解:（1）∵，，，
∴关于y轴对称的点为，，，如图，

（2）过点C作，由题可知：，，
∴；
（3）根据已知条件可得到x轴所在的直线为AB线段的垂直平分线，即可得到点D的位置，如图所示．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系的知识点，结合等腰三角形的性质判断是解题的关键．
38．（2022·浙江宁波市·八年级期末）如图，在中，点D在边的延长线上．完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作边的中点M．
（2）作，且点E在线段的延长线上．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可．
（2）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可．
【详解】
（1）如图：

作法：分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，四弧相交于两点，连接此两点的直线与AB的交点M即为AB的中点．
（2）如图：

作法：分别以A、D为圆心，等长为半径画弧，分别与两边交于点M、N，交CD于点F，再以点F为圆心，MN长为半径画弧，该弧与以点D为圆心，等长为半径所画弧交于点G，连接DG并延长与AC交于点E，则．
【点睛】
本题考查了尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图法，和作一个角等于已知角的方法是解题关键．
39．（2022·浙江八年级期末）如图，在等腰中，，，点关于直线的对称点为点，连接与的延长线交于点，在上取点，使得，连接．
（1）依题意补全图形．
（2）求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用对称的性质得AB垂直平分CD，则BC=BD，AC=AD，利用等腰三角形的性质得∠ADE=∠ACB，再利用AB=AC得到∠ACB=∠ABF，AD=AB，所以∠ABF=∠ADE，然后证明△ABF≌△ADE，从而得到结论．
【详解】
（1）解：如图，

（2）证明：连接，如图，
∵点，关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
40．（2022·浙江八年级期末）在平面直角坐标系中，坐标轴上的三个点，，满足，为射线上的一个动点．
（1）的值为______，的度数为______．
（2）如图，若，且交于点，求证：．
（3）如图，若点运动到的延长线上，且，在的垂直平分线上，求的面积．

【答案】（1）1； 45°；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据非负数的性质可求得的值，得到OA=OB，即可求得∠ABO的度数；
（2）证明△AOE≅△BOC即可证明；
（3）连结OF，过点F作轴，垂足为点G，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OF，证明∠OBC=30°，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
（1）∵，
∴，，
∴，
∵A(a，0)， B(0，b)，
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
故答案为：1；45°；
（2）∵，∴，
∵，∴，
由（1）得：OA=OB，
在和中，
，
∴(AAS)，
∴；
（3）连结，过点作轴，垂足为点，

∵在的垂直平分线上
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∵，
∴C(1，0)，，
∵，，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．