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专题08 轴对称中的翻折、旋转问题专训-2023-2024八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）
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这是一份专题08 轴对称中的翻折、旋转问题专训-2023-2024八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版），文件包含专题08轴对称中的翻折旋转问题专训解析版docx、专题08轴对称中的翻折旋转问题专训原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
题型一 轴对称中的翻折问题专训
题型二 轴对称中的旋转问题专训
重难点专训
轴对称中的15道翻折问题专训
轴对称中的15道旋转问题专训
【知识梳理】
知识要点一 ： 翻折（对折）的定义
一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.
知识要点二： 翻折（对折）的特点
翻折问题实际上就是对称变换；
翻折是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折㡾所在直线）是对应点的连线的垂直平分线，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。
知识要点三： 翻折（对折）的基本图形及图形特点
翻折图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出翻折前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。
翻折特点：有翻折----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。
【经典例题一 轴对称中的翻折问题专训】
【例1】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）．
3．（2023秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校联考期末）【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到，
．
，．
，
．
，
∴的周长为：．
(1)【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，求证：平分；
(3)【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．若，，，直接写出长；
(4)若，求证．
【经典例题二 轴对称中的旋转问题专训】
【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，将绕顶点旋转，两边，分别交，于点，．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【变式训练】
1．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，在中，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．当在内绕点P旋转时，对于下列结论：①；②，③；④，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）在中，，；将一块三角板的直角顶点放作斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．当是等腰三角形时，的度数为______（写出所有可能的值）．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用上面结论或所学解决下列问题：
(1)若，求证：；
(2)连接，当点D在线段上时．
①如图②，若，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ；
②如图③，若，为中边上的高，判断的度数及线段之间的数量关系说明理由．
【重难点训练】
轴对称中的15道翻折问题专训
1．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（ ）
A．18°B．54°C．60°D．72°
2．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，将一个等腰直角三角形按如图方式折叠，若，，下列四个结论：
①平分；
②长为；
③是等腰三角形；
④的周长等于的长，
其中，正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
4．（2023春·七年级单元测试）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（ ）
A．48°B．46°C．44°D．42°
6．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在点、处．若，，则与之间的数量关系可用等式表示为___________．
7．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为________．
8．（2023春·江苏·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，过点D将折叠，使点C落在下方的点处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，的度数为___________．
9．（2022春·四川成都·七年级统考期末）如图是一张直角三角形纸片，其中．请按下列步骤操作：①沿的垂直平分线/折叠，折痕与交于点D：②沿过点C的直线l，折叠，使点A落到上的点E处，若，则的度数为__________．
10．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）已知，点P是射线BC上一动点，把沿AP折叠，B点的对应点为点D，当是等腰三角形时，的度数为______．
11．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
(1)如图1，若，则______°，______°．
(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
12．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点．
研究（1）：如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是 ；
研究（1）：如果折成图2的形状，猜想，和的数量关系是 ；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想，和的数量关系是什么，并说明理由．
13．（2023·全国·八年级假期作业）已知是一张三角形的纸片．
(1)如图①，沿折叠，使点落在边上点的位置，与的之间存在怎样的数量关系？为什么？
(2)如图②所示，沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？
(3)如图③，沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？
14．（2023春·全国·七年级专题练习）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
(1)如图（1），已知，填空：
∵是的平分线（已知）
∴________________________
(2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？
理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
∴________，
∴射线________是∠________的角平分线．
拓展应用
(3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论；
①若度，求的度数；
②若度，求的度数；
③的补角有________；的余角有________．
15．（2023秋·河南周口·八年级统考期末）综合与实践
在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解
如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：_______________筝形（填“是”或“不是”）
(2)性质探究
如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明．
(3)拓展应用
如图3，是锐角的高，将沿AB边翻折后得到，将沿AC边翻折后得到，延长EB，FC交于点G．
①请写出图3中的“筝形”：____________；（写出一个即可）
②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
轴对称中的15道旋转问题专训
1．（2023·广东深圳·校考三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（ ）米
A．12B．C．D．21
2．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，在中，，，，点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正确的结论有（ ）．
A．个B．个C．个D．个
3．（2022春·湖南张家界·七年级统考期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
4．（2021秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末）如图，已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，绕顶点A旋转，连接．以下三个结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
5．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：
①△ABF≌△AEH；
②连接AG、FH，则AG⊥FH；
③当AD⊥BC时，DF的长度最大；
④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：
①；②是等腰直角三角形；③；④，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．
7．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②，当时，此时.继续旋转三角尺，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）其他所有可能符合条件的度数为_______
8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交与点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形．
9．（2021秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是：_______________．（填序号）
10．（2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则=_______．
11．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知：如图1，点C为线段上一点，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：为等边三角形；
(3)将绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
12．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接、．
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：
①试猜想与的数量关系，不用说明理由；
②你能求出与所成的锐角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．
13．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）【探究发现】（1）如图所示，和均为等边三角形，绕点C旋转，其中，交于点M，交于点N，交于点O，如图1所示当旋转到点B、C、E在同一条直线上时，以下结论成立的是：
①；②；③平分；④．
【类比探究】（2）当旋转到外部时，且点B、C、E不在同一条直线上时，如图2，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若②正确请进行论证，若不正确，请说明理由；
【类比应用】（3）当旋转到与有部分重叠时，如图3，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若③正确请进行论证若不正确，请说明理由；
14．（2023秋·陕西西安·八年级高新一中校考期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E．
(1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ；
(2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；
(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中．
(1)如图2，当时，连接，求证：；
(2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分；
(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由．
题型一 轴对称中的翻折问题专训
题型二 轴对称中的旋转问题专训
重难点专训
轴对称中的15道翻折问题专训
轴对称中的15道旋转问题专训
【知识梳理】
知识要点一 ： 翻折（对折）的定义
一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.
知识要点二： 翻折（对折）的特点
翻折问题实际上就是对称变换；
翻折是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折㡾所在直线）是对应点的连线的垂直平分线，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。
知识要点三： 翻折（对折）的基本图形及图形特点
翻折图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出翻折前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。
翻折特点：有翻折----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。
【经典例题一 轴对称中的翻折问题专训】
【例1】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）．
3．（2023秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校联考期末）【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到，
．
，．
，
．
，
∴的周长为：．
(1)【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，求证：平分；
(3)【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．若，，，直接写出长；
(4)若，求证．
【经典例题二 轴对称中的旋转问题专训】
【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，将绕顶点旋转，两边，分别交，于点，．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【变式训练】
1．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，在中，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．当在内绕点P旋转时，对于下列结论：①；②，③；④，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）在中，，；将一块三角板的直角顶点放作斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．当是等腰三角形时，的度数为______（写出所有可能的值）．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用上面结论或所学解决下列问题：
(1)若，求证：；
(2)连接，当点D在线段上时．
①如图②，若，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ；
②如图③，若，为中边上的高，判断的度数及线段之间的数量关系说明理由．
【重难点训练】
轴对称中的15道翻折问题专训
1．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（ ）
A．18°B．54°C．60°D．72°
2．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，将一个等腰直角三角形按如图方式折叠，若，，下列四个结论：
①平分；
②长为；
③是等腰三角形；
④的周长等于的长，
其中，正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
4．（2023春·七年级单元测试）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（ ）
A．48°B．46°C．44°D．42°
6．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在点、处．若，，则与之间的数量关系可用等式表示为___________．
7．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为________．
8．（2023春·江苏·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，过点D将折叠，使点C落在下方的点处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，的度数为___________．
9．（2022春·四川成都·七年级统考期末）如图是一张直角三角形纸片，其中．请按下列步骤操作：①沿的垂直平分线/折叠，折痕与交于点D：②沿过点C的直线l，折叠，使点A落到上的点E处，若，则的度数为__________．
10．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）已知，点P是射线BC上一动点，把沿AP折叠，B点的对应点为点D，当是等腰三角形时，的度数为______．
11．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
(1)如图1，若，则______°，______°．
(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
12．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点．
研究（1）：如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是 ；
研究（1）：如果折成图2的形状，猜想，和的数量关系是 ；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想，和的数量关系是什么，并说明理由．
13．（2023·全国·八年级假期作业）已知是一张三角形的纸片．
(1)如图①，沿折叠，使点落在边上点的位置，与的之间存在怎样的数量关系？为什么？
(2)如图②所示，沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？
(3)如图③，沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？
14．（2023春·全国·七年级专题练习）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
(1)如图（1），已知，填空：
∵是的平分线（已知）
∴________________________
(2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？
理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
∴________，
∴射线________是∠________的角平分线．
拓展应用
(3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论；
①若度，求的度数；
②若度，求的度数；
③的补角有________；的余角有________．
15．（2023秋·河南周口·八年级统考期末）综合与实践
在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解
如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：_______________筝形（填“是”或“不是”）
(2)性质探究
如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明．
(3)拓展应用
如图3，是锐角的高，将沿AB边翻折后得到，将沿AC边翻折后得到，延长EB，FC交于点G．
①请写出图3中的“筝形”：____________；（写出一个即可）
②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
轴对称中的15道旋转问题专训
1．（2023·广东深圳·校考三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（ ）米
A．12B．C．D．21
2．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，在中，，，，点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正确的结论有（ ）．
A．个B．个C．个D．个
3．（2022春·湖南张家界·七年级统考期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
4．（2021秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末）如图，已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，绕顶点A旋转，连接．以下三个结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
5．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：
①△ABF≌△AEH；
②连接AG、FH，则AG⊥FH；
③当AD⊥BC时，DF的长度最大；
④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：
①；②是等腰直角三角形；③；④，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．
7．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②，当时，此时.继续旋转三角尺，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）其他所有可能符合条件的度数为_______
8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交与点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形．
9．（2021秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是：_______________．（填序号）
10．（2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则=_______．
11．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知：如图1，点C为线段上一点，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：为等边三角形；
(3)将绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
12．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接、．
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：
①试猜想与的数量关系，不用说明理由；
②你能求出与所成的锐角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．
13．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）【探究发现】（1）如图所示，和均为等边三角形，绕点C旋转，其中，交于点M，交于点N，交于点O，如图1所示当旋转到点B、C、E在同一条直线上时，以下结论成立的是：
①；②；③平分；④．
【类比探究】（2）当旋转到外部时，且点B、C、E不在同一条直线上时，如图2，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若②正确请进行论证，若不正确，请说明理由；
【类比应用】（3）当旋转到与有部分重叠时，如图3，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若③正确请进行论证若不正确，请说明理由；
14．（2023秋·陕西西安·八年级高新一中校考期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E．
(1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ；
(2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；
(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中．
(1)如图2，当时，连接，求证：；
(2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分；
(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由．
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